Метод Монте-Карло имитационного моделирования

2.2 Метод Монте- Карло имитационного моделирования.

     Аналитический метод решения проблемы посредством  выполнения большого числа тестовых операций, называемых имитационным моделированием, и получения необходимого решения из объединенных результатов тестов. Метод вычисления распределения вероятностей возможных результатов

     При имитационном моделировании часто  используется метод статистических испытаний (Монте-Карло). Теорию и практику машинных имитационных экспериментов  с моделями экономических систем еще 30 лет назад подробно разобрал Т. Нейлор. Вернемся к внутриэконометрическому применению датчиков псевдослучайных чисел.

     Имитационное  моделирование по методу Монте-Карло (Monte-Carlo Simulation) позволяет построить математическую модель для проекта с неопределенными значениями параметров, и, зная вероятностные распределения параметров проекта, а также связь между изменениями параметров (корреляцию) получить распределение доходности проекта.

     Применение  метода имитации Монте-Карло требует  использования специальных математических пакетов (например, специализированного  программного пакета Гарвардского университета под названием Risk-Master) , в то время, как метод сценариев может быть реализован даже при помощи обыкновенного калькулятора.

     Как уже отмечалось, анализ рисков с  использованием метода имитационного  моделирования Монте-Карло представляет собой “воссоединение” методов  анализа чувствительности и анализа  сценариев на базе теории вероятностей.

     Результатом такого комплексного анализа выступает  распределение вероятностей возможных  результатов проекта.

     Программный пакет Risk-Master позволяет в диалоговом режиме осуществить процедуру подготовки информации к анализу рисков инвестиционного проекта по методу Монте-Карло и провести сами расчеты.

     Первый  шаг при применении метода имитации состоит в определении функции  распределения каждой переменной, которая  оказывает влияние на формирование потока наличности. Как правило, предполагается, что функция распределения являются нормальной, и, следовательно, для того, чтобы задать ее необходимо определить только два момента (математическое ожидание и дисперсию).

     Как только функция распределения определена, можно применять процедуру Монте-Карло.

Алгоритм  метода имитации Монте-Карло

     Шаг 1.Опираясь на использование статистического  пакета, случайным образом выбираем, основываясь на вероятностной функции  распределения значение переменной, которая является одним из параметров определения потока наличности.

     Шаг 2. Выбранное значение случайной  величины наряду со значениями переменных, которые являются экзогенными переменными используется при подсчете чистой приведенной стоимости проекта.

     Шаги 1 и 2 повторяются большое количество раз, например 1000, и полученные 1000 значений чистой приведенной стоимости проекта  используются для построения плотности  распределения величины чистой приведенной  стоимости со своим собственным  математическим ожиданием и стандартным  отклонением.

     Используя значения математического ожидания и стандартного отклонения, можно  вычислить коэффициент вариации чистой приведенной стоимости проекта  и затем оценить индивидуальный риск проекта, как и в анализе методом сценариев.

     Теперь  необходимо определить минимальное  и максимальное значения критической  переменной, а для переменной с  пошаговым распределением помимо этих двух еще и остальные значения, принимаемые ею. Границы варьирования переменной определяются, просто исходя из всего спектра возможных значений.

     По  прошлым наблюдениям за переменной можно установить частоту , с которой та принимает соответствующие значения. В этом случае вероятностное распределение есть то же самое частотное распределение, показывающее частоту встречаемости значения, правда, в относительном масштабе (от 0 до 1). Вероятностное распределение регулирует вероятность выбора значений из определенного интервала. В соответствии с заданным распределением модель оценки рисков будет выбирать произвольные значения переменной. До рассмотрения рисков мы подразумевали, что переменная принимает одно определенное нами значение с вероятностью 1. И через единственную итерацию расчетов мы получали однозначно определенный результат. В рамках модели вероятностного анализа рисков проводится большое число итераций, позволяющих установить, как ведет себя результативный показатель (в каких пределах колеблется, как распределен) при подстановке в модель различных значений переменной в соответствии с заданным распределением.

     Задача  аналитика, занимающегося анализом риска, состоит в том, чтобы хотя бы приблизительно определить для исследуемой  переменной (фактора) вид вероятностного распределения. При этом основные вероятностные  распределения, используемые в анализе  рисков, могут быть следующими: нормальное, постоянное, треугольное, пошаговое. Эксперт присваивает переменной вероятностное распределение, исходя из своих количественных ожиданий и делает выбор из двух категорий распределений: симметричных (например, нормальное, постоянное, треугольное) и несимметричных (например, пошаговое распределение).

     Существование коррелированных переменных в проектном  анализе вызывает порой проблему, не рассмотреть которую означало бы заранее обречь себя на неверные результаты. Ведь без учета коррелированности, скажем, двух переменных - компьютер, посчитав их полностью независимыми, генерирует нереалистичные проектные сценарии. Допустим цена и количество проданного продукта есть две отрицательно коррелированные переменные. Если не будет уточнена связь между переменными (коэффициент корреляции), то возможны сценарии, случайно вырабатываемые компьютером, где цена и количество проданной продукции будут вместе либо высоки, либо низки, что естественно негативно отразится на результате.

     Проведение  расчетных итераций является полностью  компьютеризированная часть анализа  рисков проекта. 200-500 итераций обычно достаточно для хорошей репрезентативной выборки. В процессе каждой итерации происходит случайный выбор значений ключевых переменных из специфицированного интервала  в соответствии с вероятностными распределениями и условиями  корреляции. Затем рассчитываются и  сохраняются результативные показатели. И так далее, от итерации к итерации.

     Завершающая стадия анализа проектных рисков - интерпретация результатов, собранных  в процессе итерационных расчетов. Результаты анализа рисков можно  представить в виде профиля риска. На нем графически показывается вероятность  каждого возможного случая (имеются  в виду вероятности возможных  значений результативного показателя). 
 
 

3.Нахождение числа Pi путем метода Монте-Карло имитационного моделирования.

     Напомним  этапы имитационного моделирования:

• определение вероятностных распределений каждой переменной;
• компьютер выбирает случайное значение для каждой неопределенной переменной, основанное на вероятностном распределении этой переменной;
• отобранное значение вместе с фиксированными факторами (ставкой налогов, амортизационных отчислений и т. д.) используется в модели для определения результативных показателей;
• этапы 2 и 3 повторяются многократно, например 500 раз. В результате получают распределение 500 значений результативного показателя. Обычно это позволяет вы­делить наиболее вероятное значение.

   Преимуществом метода моделирования является тот  факт, что он позволяет увидеть  широкий диапазон вероятных результатов, а не несколько дискретных оценок. Тем не менее метод Монте-Карло мало распространен на практике из-за трудоемкости и сложности выявления всех взаимосвязей и корреляции переменных.

   Для вычисления числа p с помощью метода Монте-Карло рассмотрим круг радиуса 1 с центром в точке (1,1). Круг вписан в квадрат, S_КВ=2×2=4.        

Выбираем  внутри квадрата N случайных точек. Выбрать точку – это значит задать ее координаты: числа x и y. Обозначим N_{КР -} число точек, попавших при этом внутрь круга.

Исходными данными являются сторона  квадрата, содержащего круг, и количество точек, которые мы будем случайным  образом выбирать внутри квадрата. Результатом является площадь круга.

Точка принадлежит квадрату, если 0 =< x =< 2 и 0 =< y =<2.

Если (x-1)²+(y-1)² =< 1, то точка попадает в круг, иначе она вне круга. Это и есть математическое соотношение, позволяющее для каждой точки определять, лежит ли она в круге. 

Геометрически очевидно, что , отсюда   

т. е. , т. к.  , получаем   (1) 

      Формула (1) дает оценку числа p. Чем больше N, тем больше точность этой оценки. Следует заметить, что данный метод вычисления площади будет справедлив только тогда, когда случайные точки будут не "просто случайными", а еще и "равномерно разбросанными" по всему квадрату.

     Для моделирования равномерно распределенных случайных чисел в интервале  от 0 до 1 в языке программирования Паскаль используется датчик случайных  чисел - функция RANDOM¹. Таким образом, суть компьютерного эксперимента заключается в обращении к функции RANDOM для получения координат точки x и у N раз. При этом определяется попадет ли точка с координатами (х, у) в круг единичного радиуса. В случае попадания увеличивается на 1 значение величины  Nкруга. 
 
 
 
 
 

Алгоритм

Программа(Pascal ABC²)

PROGRAM MONTE_KARLO; (Название программы)

VAR I,N,N1:LONGINT;(Задаем тип переменных, длинное целое число)

X,Y,PI:REAL;(Задаем тип переменных, вещественное число)

BEGIN (Начало программы) 

RANDOMIZE; (Функция, выдающая случайные числа)

WRITE('Введите  количество точек N='); (Вывод сообщения на экран) 

READLN(N);(Ввод с клавиатуры кол-ва точек) 

FOR I:=1 TO N DO (Цикл нахождения случайных точек внутри круга и квадрата)

BEGIN     

X:=2*RANDOM;      

Y:=2*RANDOM;

IF SQR(X-1)+SQR(Y-1)<=1 THEN N1:=N1+1;   

END;

PI:=4*N1/N;

WRITELN('PI=',PI:15:11); (Вывод числа Пи) 

END. 
 

Вычислительный  эксперимент и  анализ результатов

     

     Выводы:

     1)С увеличением точности вычислений увеличивается время работы программы;