( ).

справедлива   формула

                        

где  , если ; , если совпадает с одним из концов отрезка.

Пример 6. Найдем асимптотику при   полинома Лежандра

                               

где  .

 В данном  случае   . Функция достигает максимума при и По последней формуле находим, что

                       

Пример 7. Покажем, что при 

                         

Здесь , =1.Применяя последнюю формулу, получим 

                

 

5. Вклад от внутренней невырожденной  точки максимума

 

Теорема 2. Пусть - конечный отрезок и выполнены условия:

   1º. достигается только в точке .

   2º. .

   3º. при ,близких к ,и .

 Тогда при   , справедливо разложение

                                        (1.9)

Коэффициенты  имеет вид

                                               (1.10)

Главный член асимптотики (1.9) имеет вид

                                             ( ).      

Это разложение можно дифференцировать любое число  раз.

Доказательство (см. Федорюк М.В. «Метод перевала»)

Точно также  доказывается Теорема 3.

Теорема 3. Пусть все условия теоремы 2 выполнены, за исключением одного: . Тогда при , справедливо разложение

                                                                               (1.11)

Главный член асимптотики  имеет вид

                                                                               (1.12)

(т.е. правая  часть (1.12) отличается от правой  части формулы (1.2) множителем 1/2). 
 

Пример 8. Покажем, что при 

                            . 

Имеем , так что интеграл имеет вид интеграла Лапласа (1.1),

где  Функция достигает максимума при , причем

             

Интеграл вычисляется  по формуле (1.12):

               

Получили формулу:

                                             
 
 
 
 
 
 

 

7. Вклад от точки максимума (общий  случай)

 

Теорема 3. Пусть - конечный отрезок, и

достигается только в одной точке .

Пусть при х, близких к . Тогда:

   1º. Если  a <  < b и

         ,  1 ,   ,

где m 1, то при , ,

                     ,

,

                     .

   2º. Пусть и

                 ,       ,

тогда при  , ,

                      ,

,

.

     Главный член асимптотики в случаях 1º, 2º, соответственно, имеет вид (при )

,

.

     Эти разложения можно дифференцировать по любое число раз.

     Доказательство. В случае 1º основной вклад в асимптотику дает малая окрестность точки . Делая в этой окрестности замену переменной такую, что

     

     (см. Лемму 1.2), получаем эталонный  интеграл вида (1.4). Точно также  исследуется случай 2º. 
 

 

Заключение

 

     В курсовой работе были изучены основные понятия асимптотического анализа, лемма Ватсона и метод Лапласа, который широко используется как для интегралов вида , так и для интегралов Лапласа, содержащих дополнительные параметры. Также были рассмотрены все случаи, когда функция, стоящая под знаком экспоненты в интеграле Лапласа имеет единственный максимум. Рассмотрели примеры построения асимптотических формул и выделение главного члена асимптотик. Каждый случай подтверждается примером.

     Вычислив  интеграл (с. 5), при , получили формулу , которая является одной из основных асимптотических формул для интеграла Лапласа. При вычислении эталонного интеграла (с. 9) получим формулу Для полинома Лежандра (с. 12) высчитали Нашли приближенные значения для интегралов Лапласа (с. 11, с.14)    , при . 
 
 
 

 

Литература

1. Федорюк, М.В. Метод перевалов / М.В. Федорюк - М.:Наука, 1977. -     366 с.
2. Федорюк, М.В. Асимптотика: интегралы и ряды/ М.В. Федорюк - М.:Наука, 1977. – 546 с.
3. Риенкстыш, Э.Я. Асимптотические разложения интегралов Т.2./         З.Я. Риенкстыш - М.:Рига, 1977.- 463 с.
4. Романов, А.С. Элементарные асимптотические методы: Учебное пособие/ А.С. Романов - Новосибирск: НГУ, 2003.- 57 с.