Матрицы

Содержание

Введение…………………………………………………………………………...3
1. Матрицы, их виды и операции над ними………….………………………….4

1.1             Понятие матрицы и ее виды………………………………………...4

1.2             Основные действия над матрицами………………………………...5

1.3             Обратная матрица и ее вычисление………………………………...7

2. Системы линейных уравнений…………………………………..…………….9

2.1.  Понятие системы линейных уравнений……………………………..9

2.2. системы линейных уравнений с переменными………...…..10

2.2.1.  метод обратной матрицы и формулы Крамера...………...10

2.2.2.  Метод Гаусса ……………………………………………….12

Заключение………………………………………………………………………17

Cписок используемой литературы……...……………………………………....18

Введение

Матрицы, определители, системы линейных уравнений – очень интересная и важная тема. Первая часть реферата посвящена теме матриц. В ней раскрываются матрицы: основные понятия и определения, различные действия над матрицами, определители матриц и их свойства,обратные матрицы. Во второй части непосредственно рассматриваются системы линейных уравнений и некоторые методы их решения: правило Крамера и метод Гаусса.На каждое правило приведены примеры, наглядно представляющие материал.

Многие теоретические и практические вопросы приводят не к одному уравнению, а к целой системе уравнений с несколькими неизвестными. Особенно важен случай системы линейных уравнений, т.е. системы m уравнений 1-ой степени с n неизвестными:

Здесь x1, …, xn – неизвестные, а коэффициенты записаны так, что индексы при них указывают на номер уравнения и номер неизвестного.

Решение систем линейных уравнений составляет существенную часть при численном решении разнообразных прикладных задач. Цель работы заключается в том, чтобы изучить свойства матриц, а также матричный способ  решения систем линейных уравнений для применения их на практике. Для достижения целей данной работы необходимо выполнить следующие задачи: исследовать литературу по темам матриц, и систем линейных уравнений; отобрать и классифицировать исследуемый материал.

1.      Матрицы, их виды и операции над ними

1.1.Понятие матрицы и ее виды

Прямоугольная таблица чисел называется матрицей с m – строками и  n – столбцами (типа ).

Если т.е. число строк совпадает с числом столбцов, то матрица называется квадратной матрицей порядка n, диагональ этой матрицы идущая от левого верхнего угла к правому нижнему углу называется главной диагональю (т.е. ).

Матрицы обозначаются прописными буквами латинского алфавита, например: А, В, С, …, а для обозначения элементов матрицы используются строчные буквы с двойной индексацией: , где номер строки, номер столбца.

Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей (вектором) – строкой, а из одного столбца – матрицей (вектором) -столбцом: ; .

Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковый размер и все их соответствующие элементы совпадают.

Матрица, все элементы которой на главной диагонали равны 1, а остальные нули называется единичной и обозначается Е. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается .Матрицы, все элементы которой не стоящие на главной диагонали равны нулю,  называется диагональной.

Прямоугольная матрица размера , у которой ый столбец ()совпадает с -ой строкой матрицы размера называется

транспонированной к матрицеА и обозначается .

1.2. Основные действия над матрицами

Умножение матрицы на число. Произведением матрицы начисло  называется матрица того же размера, у которой . При этом каждый элемент матрицы умножается на число .

Примеры: 1.     ;        2.   

Свойства умножения матриц на число:

1.

2. 

3. 

Сложение матриц.Суммой двух матриц и одного и того же размера называется матрица того же размера, у которой . При этом матрицы складываются поэлементно.

Пример: 1. 

Свойства сложения матриц

1.

2.

3.

4.

5.

6.и т.д.

7.если положить , то; ; .

Умножение матриц. Произведением  матрицы размера и матрицы размера называется матрица у которой элемент равен сумме произведений элементов ой строки матрицы А на соответствующие элементы го столбца матрицы В.

Произведением  размера и матрицы  размера является матрица размера , т.е.

Примеры: 1.    ;

2.   .

Свойства умножения матриц

1.      Умножение не перестановочно т.е.

Действительно,

, а

.

2.

3.

4.

Определители квадратных матриц.Определителем квадратной матрицы второго порядка называется число .

Определителем квадратной матрицы третьего порядка

называется число

1.3. Обратная матрица и ее вычисление

Квадратная матрицаА называется обратимой, если существует такая матрица Х, что . Всякую матрицу Х удовлетворяющую уравнению  называют обратной к матрице А. матрицу обратную к  матрице А обозначают .Квадратная матрица А обратима тогда и только тогда, когда .

Способы нахождения обратной матрицы.

1 способ. Теорема: Если квадратная матрицаА обратима, то

где  – определитель матрицыА, алгебраическое дополнение к элементу матрицы А.

пример.  Найти матрицу, обратную к матрице .

Решение. Определитель  матрицыА равен 2, т.е. . Алгебраические дополнения ее элементов: Следовательно,

2 способ. Элементарные преобразования строк

1.      Отбрасывание нулевой строки.

2.      Умножение всех элементов строки матрицы на число, не равное нулю.

3.      Изменение порядка строк.

4.      прибавление к каждому элементу одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на любое число.

Алгоритм нахождения обратной матрицы к матрицеА, используя элементарные преобразования.

1.                  К данной матрицеА приписать справа единичную матрицу

2.                  С помощью элементарных преобразований объединенной матрицы привести матрицуА к единичной матрице

3.                  Матрица имеет вид

Обратная матрица позволяет найти решения следующих матричных уравнений: решением этих уравнений являются соответственно матрицы если А и В имеют обратные матрицы.

2. Системы линейных уравнений

2.1. Понятие системы линейных уравнений

Системой линейных уравнений с переменными называется система вида:

Если система (1) имеет хотя бы одно решение, то ее называют совместной.Если система (1) не имеет  решений, то ее называют несовместной.

Если система (1) имеет бесконечно много решений, то ее называют неопределенной.

матрица , составленная из коэффициентов при переменных системы (1), называется основной матрицей системы (1).

Матрица называется матрицей–столбцом свободных членов.

Матрица , полученная из основной матрицы добавлением столбца свободных членов системы (1), называется расширенной матрицей системы (1).

Система (1) в матричной форме имеет вид: , где – матрица-столбец переменных.

Решением системы (1) называется такая совокупностьn чисел ,  при подстановке которых каждое уравнение системы превращается в верное равенство.

2.2. системы линейных уравнений с переменными

2.2.1. метод обратной матрицы и формула Крамера

Пусть число уравнений системы (1) равно числу переменных, т.е. . Тогда основная матрица системы (1) является квадратной, а ее определитель называется определителем системы.

Если , то единственное решение системы определяется:

1.                  Методом обратной матрицы по формуле:

    (2)

2.                  По формулам Крамера:

Теорема: Пусть  – определитель основной матрицыА системы  (1), а определитель матрицы, получаемой из матрицы А заменой го столбца столбцом свободных членов. Тогда, если , то система  (1) имеет единственное решение, определяемое по формулам: ,  т.е. .

Формулы (3) получили название формул Крамера.

Пример. Методом обратной матрицы решить систему уравнений:

Решение. Обозначим:

Тогда в матричной форме система имеет вид: . определитель матрицы , т.е.  обратная матрица существует: .

Теперь по формуле (2): .

Ответ. .

Пример 2. По формулам Крамера решить систему уравнений:

Решение.Определитель,  , следовательно, по Теореме Крамера система имеет единственное решение. Вычислим определители матриц полученных из матрицыА заменой соответственно первого, второго и третьего столбцов свободных членов:

Теперь по формулам Крамера (3):

Ответ.

2.2.2. Метод Гаусса

Метод гаусса – метод последовательного исключения переменных –  заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного вида), из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.

Теорема. Если одна система линейных уравнений получается из другой системы линейных уравнений в результате цепочки элементарных преобразований, то эти системы равносильны. Элементарные преобразования над системой сводятся к соответствующим элементарным преобразованиям над строчками расширенной матрицы.

Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений называются следующие преобразования:

1.      Умножение какого-нибудь уравнения системы на число не равное нулю;

2.      Прибавление к уравнению другого уравнения системы умноженного на любое число;

3.      Исключение из системы или присоединение к системе линейного уравнения с нулевыми коэффициентами и нулевым свободным членом ;

4.      Перемена местами двух уравнений в системе.

Методом Гаусса можно решить любую систему линейных уравнений.

Суть метода:При помощи элементарных преобразований систему (1) приводят к такому виду, из которого все ее решения усматриваются непосредственно. А именно, с помощью этих преобразований стараются привести систему (1) к системе S у которой в основной матрице по главной диагонали стоят отличные от нуля элементы (желательно число 1), а над и под главной диагональю нули.

Сначала нули получают под главной диагональю, а затем над. В процессе этих преобразований возможны следующие случаи:

1.В процессе этих преобразований получили систему, содержащую уравнение (т.е. система решений не имеет).

2.Либо этого не случилось, тогда возможны следующие ситуации:

a.                  Расширенная матрица системы (1) примет вид:

где .

Количество уравнений не может быть больше числа переменных.

Этой матрице соответствует система:

отсюда получаем единственное решение:

b.                  Или расширенная матрица системы (1) примет вид:

где

Отсюда выражаем переменные через переменные :

Полученная система дает представление о решении исходной системы. Придавая произвольные значения переменным , мы будем получать соответствующие значения для переменных , тем самым, получая решение системы (1).

Переменные , коэффициенты которых стоят по главной диагонали матрицы, называются зависимыми переменными, а все остальные переменные, т.е. называются свободными переменными.

В рассматриваемом случае система имеет  бесконечно много решений.

Пример. Методом Гаусса решить систему равнений:

Решение.

Выпишем расширенную матрицу системы. Необходимо на первом шаге, чтобы , но удобнее для вычислений, чтобы . поэтому поменяем местами первую и четвертую строки, чтобы стал равным 1:

Шаг 1.  Умножим элементы первой строки на -5, 3 и -2 и прибавим их соответственно к элементам второй, третьей и четвертой строке, чтобы под элементом в первом столбце образовалась «ступенька» из нулей.