Матрицы

Доказательство. Если

  

,

то                

   Упражнение. Доказать единственность обратной перестановки.

2 ^о. Знак перестановки.

Определение 3. Пусть – перестановка степени и пусть . Тогда пара называется инверсией относительно , если .

Перестановка  называется четной, если число инверсий относительно четное, и перестановка называется нечетной, если число инверсий − нечетное.

Знак  перестановки – это , где – число инверсий.

Обозначение: .

     Таким образом, если – четная, то , и если – нечетная, то .

Пример. . Возможные пары . Их них подчеркнутые – инверсии. Таким образом, , т.е. – четная.

Теорема 1.

1. Знак единичной перестановки равен 1.
2. Если .
3. .

Доказательство.

1. В  единичной перестановке инверсий нет; поэтому .

2. Пусть  – множество инверсий относительно , а – множество инверсий относительно .

Легко видеть, что если , то . Следовательно, между множествами устанавливается взаимнооднозначное соответствие

.

3. Пусть – множество инверсий относительно ,

                – множество инверсий относительно ,

                – множество инверсий относительно : .

Тогда надо доказать, что  , т.е. . Таким образом, надо показать, что |A|+|B|+|C| – четное число.

Пусть ,

           ,

           ,

           .

Введем  следующее обозначение: пусть  - это множество пар . Тогда справедлива следующая множественная схема: 

Между множествами существует взаимнооднозначное соответствие : .

 Поэтому  из картинки видно  , т.е. четное число. ▄

Следствие. .

2^о. Транспозиция как пример нечетной перестановки. Разложение перестановки в произведение транспозиций.

Определение 4. Перестановку вида , где точками обозначены элементы, остающиеся на своих местах, называют транспозицией (или -перестановкой).

Теорема 2. Транспозиция является нечетной перестановкой.

Доказательство. Вычислим число инверсий. Инверсиями являются пары , где ; пары , где ; и пара . Их всего будет , т.е. нечетное число. ▄

Замечание. Для вычисления произведения и транспозиции вида необходимо в нижней строке поменять местами и .

Упражнение. Как вычисляется произведение ?

Замечание. , т.е. эти транспозиции совпадают.

Теорема 3. Каждая перестановка является произведением конечного числа транспозиций.

Доказательство. Пусть . Покажем, что нижняя строка может быть получена из строки за конечное число шагов, каждый из которых состоит в том, что два числа меняются местами.

Пример.

 т.е. .

     Аналогично  в общем случае.

     Пусть на r-ом шаге поменяются местами . Тогда ввиду замечания . ▄

Упражнение. Показать, что каждая перестановка является произведением конечного числа транспозиций вида .

      Очевидно, что любая перестановка может быть представлена в виде произведения транспозиций различными способами.

      Пример.

.

Теорема 4. При всех разложениях перестановки в произведения транспозиций, четность числа транспозиций одна и та же; она совпадает с четностью перестановки.

Доказательство. Пусть , где – транспозиция. Тогда знак равен знаку произведения транспозиций – четно, если – четно. ▄