Матричные игры

Поясним на примере 1.

На плоскости хОу введём систему  координат и на оси Ох отложим  отрезок единичной длины А1, А2, каждой точке которого поставим в  соответствие некоторую смешанную  стратегию игрока 1 (х, 1-х). В частности, точке А1 (0;0) отвечает стратегия А1, точке А2 (1;0) - стратегии А2 и т. д.

На перпендикуляре А1 будем  откладывать выигрыш игрока 1 при  стратегии 1, на втором - при стратегии  А2.

Таким образом, ординаты точек, принадлежащих ломаной оMNс определяют минимальный выигрыш игрока 1 при  применении им любой смешанной стратегии. Эта минимальная величина является максимальной в точке N; следовательно, этой точке соответствует оптимальная  стратегия Х* = (х, 1-х), а её ордината равна цене игры. Координаты точки N находим как пересечение прямых.

Соответствующие два уравнения  имеют вид

следовательно, х = (3/11,9/11), при  цене игры v = 49/11. таким образом мы можем найти оптимальную стратегию  при помощи матрицы

 

Оптимальные стратегии для  игрока 2 можно найти из системы

Укажем основные этапы  нахождения решения игры 2 n (m 2):

1)  Строим прямые, соответствующие стратегиям второго (первого) игрока.

2)  Определяем нижнюю (верхнюю) огибающую графиков, соответствующих столбцам (строкам).

3)  Находим две стратегии второго (первого) игрока, которым соответствует две прямые, пересекающиеся в точке с максимальной (минимальной) ординатой.

4)  Определяем цену игры и оптимальные стратегии игроков.

 

4. Решение игр симплекс-методом

 

  Симплекс-метод является самым  распространенным и наиболее универсальным  методом решения задач линейного  программирования (ЗЛП). Любую матричную  игру можно свести к ЗЛП, точнее, задачам нахождения оптимальных  стратегий первого и второго  игроков в каждой матричной игре соответствует пара двойственных ЗЛП. Благодаря этому становится возможным  применение симплекс-метода для решения  матричной игры.  
        Пусть игрок A играет оптимально, а игрок B вместо выбирает чистую стратегию j. По определению седловой точки, каждому такому отклонению соответствует неравенство:

При j=1

При j=2

При j=n     

Предположим, что V>0. Разделим обе части каждого неравенства на V и введем новую переменную . Тогда мы имеем:

 

 

 

Рассмотрим сумму 

Z==1/V. 

Целью игрока A является получение максимального выигрыша. Легко видеть, что это равносильно уменьшению функции Z. Пользуясь новыми переменными, задачу вычисления оптимальной стратегии игрока A можем теперь сформулировать так:

Найти такие что Z= при ограничениях , i = 1,2,…,m, j = 1,2,…,n, . Здесь , Z=1/V.

Рассуждая аналогично, задачу нахождения оптимальной стратегии  игрока B можно написать следующим образом:

Найти hh такие что W=h при ограничениях h, i = 1,2,…,m, j = 1,2,…,n, h. Здесь h, W=1/V. 

Задачи представляют собой  пару двойственных задач линейного программирования. Суть применения симплекс-метода такова: решая задачу, находим ее оптимальный план и значение , V, .

Заключение

Матричные игры широко используются в системах принятия решений. Они могут служить математическими моделями многих простейших конфликтных ситуаций из области экономики,  математической статистики, военного дела, биологии. Нередко в качестве одного из игроков рассматривают «природу», под которой понимается вся совокупность внешних обстоятельств, неизвестных принимающему решения лицу (другому игроку).

Список литературы

1. Шишкин Е.В., Чхартишвили А.Г. Математические методы и модели в управлении: Учеб. Пособие. – М.: Дело, 2000.
2. Лапшин К.А. Методические указания для студентов экономического факультета «Игровые модели и принятие решений». – М. 2001.
3. http://www.math.kemsu.ru

http://www.sosh.ru