Матрица. Метод Гаусса

"МАТРИЦЫ.  МЕТОД ГАУССА" 

ЛЕКЦИЯ  № 2 / 3

Обсуждено на заседании  кафедры № 9

«____»___________ 2003г.

Протокол  № ___________

Кострома, 2003 

Cодержание  

Введение

1.   Действия над матрицами.

2.   Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

Заключение

Литература  

1.   В.Е. Шнейдер и др., Краткий курс высшей математики,том I, гл.2,§6, 7.

2.   В.С. Щипачев,  Высшая математика, гл. 10, § 1, 7.   
 
 

ВВЕДЕНИЕ  

На лекции рассматривается  понятие матрицы, действия над над матрицами, а также метод Гаусса для решения систем линейных уравнений. Для частного случая, так называемых квадратных матриц, можно вычислять определители, понятие о которых рассмотрено на предыдущей лекции. Метод Гаусса является более общим, чем рассмотренный ранее метод Крамера решения линейных систем. Разбираемые на лекции вопросы используются в различных разделах математики и в прикладных вопросах. 

1-ый учебный  вопрос               ДЕЙСТВИЯ  НАД  МАТРИЦАМИ  

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.   Прямоугольная  таблица из m,  n чисел, содержащая  m – строк  и   n – столбцов, вида:

называется     матрицей  размера    m ´ n

Числа, из которых  составлена матрица, называются  элементами матрицы.

Положение элемента а_{i j}  в матрице характеризуются двойным индексом:         

 первый  i – номер строки;         

 второй  j – номер столбца, на пересечении которых стоит элемент.

Сокращенно матрицы  обозначают заглавными буквами: А, В, С…

Коротко можно  записывать так:   

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.   Матрица,  у  которой  число  строк равно числу столбцов, т.е.  m = n ,  называется    квадратной.

Число  строк  (столбцов)  квадратной  матрицы   называется порядком      матрицы.  

ПРИМЕР.         

 

ЗАМЕЧАНИЕ 1.  Мы будем рассматривать матрицы, элементами которых являются числа. В математике и ее приложениях встречаются матрицы, элементами которых являются другие объекты, например, функции, векторы.  

ЗАМЕЧАНИЕ 2.  Матрица – специальное математическое понятие. С помощью матриц удобно записывать различные преобразования, линейные системы и т.д., поэтому матрицы часто встречаются в математической и технической литературе.  

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.   Матрица   размера   1 ´ n,   состоящая  из  одной   строки,  называется    матрицей – строкой.                                      

  Матрица  размера  т ´ 1,   состоящая   из  одного   столбца, называется     матрицей – столбцом.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.    Нулевой  матрицей  называют   матрицу,  все  элементы   которой   равны   нулю.  

Рассмотрим квадратную матрицу порядка n:

                                                                            побочная диагональ

                                                                                                                                           

  главная диагональ

Диагональ квадратной матрицы, идущая от верхнего левого элемента таблицы к правому нижнему, называется  главной  диагональю  матрицы  (на главной диагонали стоят элементы вида  а _{i i}).

Диагональ, идущая от правого верхнего элемента к левому нижнему, называется побочной диагональю матрицы.

Рассмотрим некоторые  частные виды квадратных матриц.

1)   Квадратная матрица называется  диагональной, если все элементы, не стоящие на главной диагонали, равны нулю.

2)   Диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны единице, называется  единичной. Обозначается:

3)   Квадратная матрица называется  треугольной,  если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю:                                   

                                                                

 верхняя                                   нижняя                                      

 треугольная  матрица            треугольная  матрица

Для квадратной матрицы вводится понятие: определитель матрицы. Это определитель, составленный из элементов матрицы. Обозначается:

Ясно, что определитель единичной матрицы равен 1:   ½Е½ = 1  

ЗАМЕЧАНИЕ.   Неквадратная матрица определителя не имеет.

Если определитель квадратичной матрицы отличен от нуля, то матрица называется    невырожденной,  если определитель равен нулю, то матрица называется вырожденной.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5.     Матрица,  полученная  из  данной  заменой  ее строк  столбцами  с  теми  же   номерами,   называется   транспонированной  к  данной.

Матрицу, транспонированную  к  А, обозначают  А^Т.

ПРИМЕР.

                                                            

2  3                                       3  2                                               

  

ОПРЕДЕЛЕНИЕ.  Две матрицы одного и того же размера называются равными, если равны все их соответственные элементы.

Рассмотрим  действия над матрицами.

СЛОЖЕНИЕ  МАТРИЦ.   

Операция сложения вводится только для матриц одинакового  размера.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7.    Суммой двух матриц А = (а_{i j}) и  В = (b_{i j})  одинакового  размера называется матрица  С = (с_{i j})  того же размера,   элементы которой равны  суммам  соответствующих  элементов  слагаемых   матриц, т.е.     с _{i j  =}  a _{i  j} + b _{i  j}

Обозначается  сумма  матриц  А + В.  

ПРИМЕР.

  

УМНОЖЕНИЕ  МАТРИЦ  НА  ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ  ЧИСЛО

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8. Чтобы умножить матрицу на число k,  надо умножить   на это число каждый элемент  матрицы:

если  А= (а _{i j} ), то k · A= (k · a _{i j} )               

  ПРИМЕР.

  

СВОЙСТВА   СЛОЖЕНИЯ   МАТРИЦ   И  УМНОЖЕНИЯ  НА  ЧИСЛО

1. Переместительное  свойство:       А + В = В + А

2. Сочетательное  свойство:             ( А + В ) + С = А + ( В + С )

3. Распределительное  свойство:     k · ( A + B ) = k A + k B, где  k  – число  

УМНОЖЕНИЕ  МАТРИЦ

Матрицу А назовем   с о г л а с о в а н н о й   с матрицей  В , если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В , т.е. для согласованных матриц матрица А имеет размер m ´ n , матрица В  имеет размер n ´ k . Квадратные матрицы согласованы, если они одного порядка.   

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9. Произведением матрицы А размера m ´ n на матрицу В размера n ´ k  называется матрица С размера   m ´ k,  элемент которой а_{i j} ,  расположенный  в  i –ой строке и  j – ом столбце, равен сумме   произведений   элементов   i – ой  строки  матрицы  А   на соответствующие   элементы   j – столбца   матрицы  В,   т.е. 

c _{i j} = a _{i 1}  b _{1 j} + a _{i 2} b _{2 j} +……+ a _{i n} b _{n j}

Обозначим:    С = А ·  В.

Если    то         

 

Произведение В ´ А не имеет смысла, т.к. матрицы  не согласованы.

ЗАМЕЧАНИЕ 1.            Если  А ´ В имеет смысл, то В ´ А может не иметь смысла.

ЗАМЕЧАНИЕ 2.            Если имеет смысл А ´ В и В ´ А, то, вообще говоря

А ´ В ¹ В ´ А,  т.е. умножение матриц не обладает   переместительным законом.          

 ЗАМЕЧАНИЕ  3.    Если А – квадратная матрица и Е – единичная матрица того же  порядка, то А ´ Е = Е ´ А = А.

Отсюда  следует, что единичная матрица при умножении играет роль единицы.

ПРИМЕРЫ.   Найти , если можно, А ´ В и В ´ А.

1.  

Решение: Квадратные матрицы одного и того же второго порядка согласованы в томи другом порядке, поэтому А ´ В и В ´ А существуют.

2. 

Решение:   Матрицы А и  В согласованы           

 

Матрицы В и  А не согласованы,  поэтому В ´ А  не  имеет смысла.

Отметим, что  в результате перемножения двух матриц получается матрица, содержащая столько  строк, сколько их имеет матрица–множимое и столько столбцов, сколько их имеет матрица-множитель.

СВОЙСТВА  УМНОЖЕНИЯ  МАТРИЦ

1.   Сочетательное свойство: А ´ ( В ´ С ) = (А ´ В ) ´С

2.   Распределительное свойство:  (А + В) ´ С =  А ´ С +  В ´С

Можно показать, что , если А и В – две квадратные матрицы одного порядка с определителями ½ А ½ и ½ В ½, то определитель матрицы С = А ´ В равен произведению определителей перемножаемых матриц, т.е.

½С½ = ½ А ½ ½ В ½

Отметим следующий  любопытный факт. Как известно, произведение двух отличных от нуля чисел не равно  нулю. Для матриц подобное обстоятельство может и не иметь места, т.е. произведение двух ненулевых матриц может оказаться  равным нуль - матрице.

Действие "деление" для матриц не вводится. Для квадратных невырожденных матриц вводится обратная матрица. С понятием обратной матрицы  можно познакомиться в рекомендуемой  литературе. 

2 – ой учебный  вопрос        РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ     

  УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ  ГАУССА

Метод Гаусса (или  метод последовательного исключения неизвестных) применим для решения  систем линейных уравнений, в которых  число неизвестных может быть либо равно числу уравнений, либо отлично от него.

Система т линейных уравнений с п неизвестными имеет вид:                  

                                                  

x₁ , x₂,  …,  x_n – неизвестные.

a_{i j} - коэффициенты при неизвестных.

b_i - свободные члены (или правые части)

Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет решение, и несовместной, если она не имеет решения.

Совместная система  называется определенной, если она имеет единственное решение и неопределенной, если она имеет бесчисленное множество решений.

Две совместные системы называются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений.

К элементарным преобразованиям системы отнесем  следующее:

1.   перемена местами двух любых уравнений;

2.   умножение обеих частей любого из уравнений на произвольное число, отличное от нуля;

3.   прибавление к обеим частям одного из уравнений системы соответствующих частей другого уравнения, умноженных на любое действительное число.