Математика Древнего Египта, Древнего Вавилона

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН

Западно-Казахстанский  государственный университет им. М.Утемисова

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доклад

На тему: «Математика  Древнего Египта, Древнего Вавилона»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнила: ст. гр. 304113

Сатыбалдина А.Г.

Проверила: Орлова Л.Г.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уральск 2013

 

Самые ранние математические тексты, известные в наши дни, оставили две  великие цивилизации древности - Египет и Месопотамия. Именно там  появились первые математические задачи, решения которых требовала повседневная жизнь.

Уровень древнеегипетской математики был довольно высок. Источников, по которым можно судить об уровне математических знаний древних египтян, совсем немного. Во-первых, это папирус Райнда, названный  так по имени своего первого владельца. Он был найден в 1858 г., расшифрован и издан в 1870 г. Рукопись представляла собой узкую (33 см) и длинную (5,25 м) полосу папируса, содержащую 84 задачи. Теперь одна часть папируса хранится в Британском музее в Лондоне, а другая находится в Нью-Йорке. Во-вторых, так называемый Московский папирус - его в декабре 1888 г. приобрёл в Луксоре русский Египтолог Владимир Семёнович Голенищев. Сейчас папирус принадлежит Государственному музею изобразительных искусств имени А. С. Пушкина. Этот свиток длиной 5,44 м и шириной 8 см включает 25 задач. И наконец, "Кожаный свиток египетской математики", с большим трудом расправлённый в 1927 г. и во многом проливший свет на арифметические знания египтян. Ныне он хранится в Британском музее. Подобные папирусы, по-видимому, служили своего рода учебниками. В папирусах есть задачи на вычисление - образцы выполнения арифметических операций, задачи на раздел имущества, на нахождение объёма амбара или корзины, площади поля и т. д.

Все правила счёта древних египтян  основывались на умении складывать и вычитать, удваивать числа и дополнять дроби до единицы. Умножение и деление сводили к сложению при помощи особой операции - многократного удвоения или раздвоения чисел. Выглядели такие расчёты довольно громоздко. Для дробей были специальные обозначения. Египтяне использовали дроби вида 1/n, где n - натуральное число. Такие дроби называются аликвотными. Иногда вместо деления m:n производили умножение m*(1/n). Надо сказать, что действия с дробями составляли особенность египетской арифметики, в которой самые простые вычисления порой превращались в сложные задачи.

Сравнительно небольшой круг задач  в египетских папирусах сводится к решению простейших уравнений  с одним неизвестным. При решении  подобных задач для неизвестного использовали специальный иероглиф со значением "куча". В задачах про "кучу", решаемых единым методом, можно усмотреть зачатки алгебры как науки об уравнениях.

В египетских папирусах встречаются  также задачи на арифметическую и  геометрическую прогрессии, что ещё  раз подчёркивает не только практический, но и теоретический характер древней математики. Поразительно, но при довольно примитивной и громоздкой арифметике египтяне смогли добиться значительных успехов в геометрии. Они умели точно находить площадь поля прямоугольной, треугольной и трапециевидной формы. Известно, что в середине І тысячелетия до н. э. для построения прямого угла египтяне использовали верёвку, разделённую узлами на 12 равных частей. Концы верёвки связывали и затем натягивали её на 3 колышка. Если стороны относились как 3:4:5, то получался прямоугольный треугольник. И это - единственный прямоугольный треугольник, который знали в Древнем Египте.

Важным достижением геометрической науки египтян было очень хорошее  приближение числа π, которое  получается из формулы для площади круга диаметра d. Этому правилу из 50-ой задачи папируса Райанда соответствует значение π»3,1605. Однако каким образом египтяне получили саму формулу, из контекста неясно. Заметим, что на всём Древнем Востоке при вычислениях использовалось значение π=3. Так что в этом отношении египтяне намного опередили другие народы.

Среди пространственных тел самым "египетским" можно  считать пирамиду, ведь именно такую  форму имеют знаменитые усыпальницы  фараонов. Так вот, оказывается, кроме  объёма куба, параллелепипеда, призмы и цилиндра египтяне умели вычислять объём усечённой пирамиды, в основаниях которой лежат квадраты со сторонами a и b, а высота h. Для этого они применяли специальную формулу. Эта формула считается высшим достижением древнеегипетской математики.

Математика в Древнем  Египте представляла собой совокупность знаний, между которыми ещё не существовало чётких границ. Это были правила  для решения конкретных задач, имевших  практическое значение. И лишь постепенно, очень и очень медленно, задачи начали обобщаться и приобретать более абстрактные черты.

Как могло появиться  первое приближение числа π 

 

По поводу формулы  площади круга нам кажется  весьма правдоподобной гипотеза автора многочисленных книг по истории математика А.Е. Раик: площадь круга диаметра d сравнивается с площадью описанного вокруг него квадрата, из которого по очереди удаляются малые квадраты со сторонами (1/6)d и (1/9)d.

В наших обозначениях вычисления будут выглядеть так. В первом приближении площади круга S равна разности между площадью квадрата со стороной d и суммарной площадью 4-ёх малых квадратов А со стороной (1/6)d:

S»d²-4(1/6*d)²=d²(1-1/9)=(8/9)d²

Далее из полученной площади  нужно вычесть площадь 8-ми квадратов В со стороной (1/9)d, и тогда площадь круга будет приближённо равна следующему выражению:

S»(1-1/9)d²-8(1/9*d)²=(1-1/9)d²-1/9*(8/9)d²=(1-1/9)d²-1/9(1-1/9)d²=(1-1/9)²d²

 

Завоевав Месопотамию, вавилоняне унаследовали культуру  Шумера  и  Аккада, приняли аккадский язык, сохранив мифы шумеров и поклонения их богам. 

При правлении царя Хаммурапи Вавилон превратился в столицу Аморейского царства,которое стало империей, вобравшей в себя всю Южную Месопотамию.  

Хаммурапи считается величайшим из царей первой династии Вавилона.

Свод законов Хаммурапи созданный в конце его правления (в 1750-х годах до н. э.), является одним из древнейших законодательных памятников. 

Этот свод из 282 законов (37 уничтожено) представляет собой чёрный базальтовый столб. 

 

Законы выбиты клинописью на обеих сторонах столба на классическом вавилонском диалектеаккадского языка.

Аккадский язык во II тысячелетии до н. э. стал общепризнанным языком дипломатической переписки.

Клинописью написаны многочисленные документы, религиозные  тексты, сказания. Вавилонскую клинопись  изучали даже в писцовых школах Египта.

Вавилоняне писали клинописными значками на глиняных табличках, более 500 тысяч которых дошли до наших дней (из них около 400 - связаны с математикой). Математика древнейВавилонии была создана к концу III тысячелетия до н. э.  

В вавилонской математике был осуществлён принцип, согласно которому одна и та же цифра имеет  различную числовую значимость в  зависимости от места, занимаемого ею в числовом контексте - позиционная система.

Шумеры и вавилоняне использовали 60-ричную позиционную систему счисления, увековеченную в нашем делении круга на 360°, часа на 60 минут и минуты на 60 секунд.   

 

Вавилонская расчётная  техника была намного совершеннее  египетской.

На вавилонских табличках  есть задачи на решение уравнений  второй степени, геометрическиепрогрессии.

При решении применялисьпропорции, средние арифметические, проценты. Встречаются также кубические уравнения. Линейные и квадратные уравнения решались ещё в эпоху Хаммурапи в XVIII в. до н. э. 

 

Вавилоняне развили 60-ричную систему вычисления до уровня арифметической виртуозности.

Древний Вавилон обладал  формулой для вычисления квадратного корня 2 с точностью до пяти знаков после запятой (1,41421…) на основе 60-ричного счисления.

За тысячу лет до открытий Пифагора вавилонянам была известна формула построения всех пифагорейских форм (например, треугольника со сторонами 3, 4, и 5). 

 

Вавилоняне умели вычислять  площади правильных многоугольников  и площадь круга. В ранних документах упоминается значение π = 3; позже применялось значение π =3,125.

Вавилонские математики являлись основоположникамиалгебры, поскольку они решали уравнения с тремя неизвестными, они могли также извлекать квадратные и кубические корни.

Вавилонские писцы решали планиметрическиезадачи, используя свойства прямоугольных треугольников, сформулированные впоследствии в виде пифагоровой теоремы, а в стереометрии решали такую сложную задачу, как измерение объёма усечённой пирамиды. 

 

Ассирийский царь Саргон II (VIII столетие до н. э.) первым использовал гематрические принципы (каждой букве алфавита соответствует определенное число).

При возведении стены Дур-Шаррукин (Крепость Саргона) он использовал число 16283 - протяженность стены в кубитах (1 кубит = 45,72 сантиметра), соответствовавшая числовой характеристике его имени.

Число 60 - основание вавилонской шестидесятеричной системы счисления, используется до сих пор в исчислении времени иуглов.  

Шестидесятилетний цикл использует Китайский циклический календарь, который является комбинацией циклов по 10 лет («небесные стволы») и по 12 лет («земные ветви»). Половина сочетаний (у которых разная чётность) не используется, таким образом, календарный цикл повторяется через 10·12/2=60 лет.

Теолог Сергей Неаполитанский в книге «Сакральная геометрия» пишет: «часы со стрелками - это живая реликвия, доставшаяся нам в наследство от шумеров. Сам циферблат можно рассматривать как мандалу - символ отмеренного времени и вечного движения».