Математическое моделирование с помощью временных рядов

.                                                (1.22)

  Среднеквадратическая ошибка (Меаn Squared Error, MSE) – это другой способ оценки метода прогнозирования. Каждая ошибка или погрешность возводится в квадрат; эти величины затем суммируются и делятся на количество наблюдений. Поскольку каждое значение отклонения возводится в квадрат, этот метод подчеркивает большие ошибки прогноза.

.                                              (1.23)

  Иногда предпочтительнее вычислять не абсолютные величины ошибок, а их процентное отношение. Средняя абсолютная ошибка в процентах (Mean Absolute Percentage Еггог, МАРЕ) вычисляется путем отыскания абсолютной ошибки в каждый момент времени и деления ее на действительно наблюдаемое значение (в этот момент времени) с последующим усреднением полученных абсолютных процентных ошибок. Этот подход полезен в том случае, когда размер или значение прогнозируемой величины важны в оценке точности прогноза. МАРЕ подчеркивает, насколько велики ошибки прогноза в сравнении с действительными значениями ряда.

.                                              (1.24)

  Часто необходимо определить, является ли метод прогнозирования смещенным (полученный прогноз постоянно оказывается заниженным или завышенным) [13, C.78]. В этих случаях используется средняя процентная ошибка (Mean Percentage Еггог, МРЕ). Она вычисляется посредством нахождения ошибки в каждый момент времени и деления ее значения на действительное значение в этот момент времени с последующим усреднением полученных процентных выражений ошибок.

.                                              (1.25)

Часть решения о выборе соответствующего метода прогнозирования состоит  в определении того, дает ли данный метод достаточно малые ошибки прогноза. Действительно, естественно ожидать, что правильно подобранный метод  будет давать относительно малые ошибки прогноза.

Определенные  выше четыре способа оценки точности прогноза используются для следующих целей:

1)  сравнение  точности двух различных методов;

2)  оценка  полезности и надежности метода;

3)  отыскание  оптимального метода. 

 

 

Метод экспоненциального  сглаживания с  учетом тренда

  В 1957 г. Хольт разработал метод экспоненциального сглаживания, получивший название двухпараметрического метода Хольта. В этом методе учитывается локальный линейный тренд, присутствующий во временных рядах [14, C.117].

  Если во временных рядах имеется тенденция к росту, то вместе с оценкой текущего уровня необходима и оценка наклона. В методике Хольта значения уровня и наклона сглаживаются непосредственно, при этом используются различные постоянные сглаживания для каждого из них. Эти постоянные сглаживания позволяют оценить текущий уровень и наклон, уточняя их всякий раз, когда появляются новые наблюдения. Одним из преимуществ методики Хольта является ее гибкость, позволяющая выбирать соотношение, в котором отслеживаются уровень и наклон.

  Ниже приведены три уравнения, составляющие метод Хольта.

1.  Экспоненциально  сглаженный ряд или оценка текущего уровня:

.                             (1.26)

2.  Оценка  тренда:

.                             (1.27)

3.  Прогноз  нар периодов вперед:

,                                              (1.28)

где

 – новая  сглаженная величина;

  – постоянная сглаживания для данных ( );

  – новое наблюдение или реальное значение ряда в период ;

 – постоянная сглаживания для оценки тренда ( );

  – оценка тренда;

– количество периодов вперед, на которое делается прогноз;

 – прогноз  на  периодов вперед.

Постоянная  нужна для сглаживания оценки тренда.

  Постоянные и выбираются субъективно или путем минимизации ошибки прогнозирования, например значения MSE. Чем большие значения весов будут взяты, тем более быстрый отклик на происходящие изменения будет иметь место.

  Для минимизации значения MSE нужно создать сетку значений и (т.е. все комбинации и ) и выбрать ту комбинацию, которая даст меньшее значение MSE.

  Для того чтобы воспользоваться алгоритмом уравнения (1.34), нужно иметь набор из начальных величин и тренда. Одно из возможных решений состоит в том, чтобы первую оценку положить равной первому наблюдению. При этом тренд будет равен нулю. Другое решение – это определить начальное значение как среднее для первых пяти или шести наблюдений. Тогда тренд можно оценить наклоном линии, образованной этими пятью или шестью точками.

  На основе аддитивной модели

  Фактическое значение = трендовое значение + сезонная вариация + ошибка.

  На первом шаге нужно исключить влияние сезонной вариации, воспользовавшись методом скользящей средней. Далее необходимо провести десезонализацию данных.

Уравнение линии тренда:

.                                                   (1.29)

Ошибки  вычисляются с помощью формул (1.22, 1.23).

  На основе мультипликативной модели

  Фактическое значение = трендовое значение * сезонная вариация * ошибка. Значения сезонной вариации – это доли. Число сезонов равно 4.

  На первом шаге нужно исключить влияние сезонной вариации, воспользовавшись методом скользящей средней. Далее необходимо провести десезонализацию данных.

Уравнение линии тренда:

.                                                   (1.30)

Ошибки  вычисляются с помощью формул (1.22, 1.23).

  Использование индексов

  Расчёт производится путём деления суммарного годового объема рынка бытовой техники на суммарный объем прошлого года, усреднении этого индекса и умножении его на данные последнего рассматриваемого года.

  Оценка адекватности и точности модели

  Одной из наиболее эффективных оценок адекватности модели является коэффициент детерминации, который рассчитывается по формуле (1.39):

                                       (1.31)

  Рассчитывается коэффициент детерминации и делается вывод об адекватности модели. 

Заключение

  Анализ временных рядов -- совокупность математико-статистических методов анализа, предназначенных для выявления структуры временных рядов и для их прогноза. Сюда относятся, в частности, методы регрессионного анализа. Выявление структуры временного ряда необходимо для того, чтобы построить математическую модель того явления, которое является источником анализируемого временного ряда. Прогноз будущих значений временного ряда используется для эффективного принятия решений.

 Для временных рядов главный интерес представляет описание или моделирование их структуры. Цель таких исследований, как правило, шире моделирования, хотя некоторую информацию можно получить и непосредственно из модели, делая выводы о выполнении тех или иных экономических законов (скажем, закона паритета покупательной способности) и проверяя различные гипотезы. Построенная модель может использоваться для экстраполяции или прогнозирования временного ряда, и тогда качество прогноза может служить полезным критерием при выборе среди нескольких моделей. Построение хороших моделей ряда необходимо и для других приложений, таких, как корректировка сезонных эффектов и сглаживание. Наконец, построенные модели могут использоваться для статистического моделирования длинных рядов наблюдений при исследовании больших систем, для которых временной ряд рассматривается как входная информация. 

Литература

1. Безручко  Б. П., Смирнов Д. А. Математическое  моделирование и хаотические  временные ряды. -- Саратов: ГосУНЦ "Колледж", 2005. -- ISBN 5-94409-045-6

2. Блехман И. И., Мышкис А. Д., Пановко Н. Г., Прикладная математика: Предмет, логика, особенности подходов. С примерами из механики: Учебное пособие. -- 3-е изд., испр. и доп. -- М.: УРСС, 2006. -- 376 с. ISBN 5-484-00163-3

3. Введение  в математическое моделирование.  Учебное пособие. Под ред. П.  В. Трусова. -- М.: Логос, 2004. -- ISBN 5-94010-272-7

4. Горбань  А. Н., Хлебопрос Р. Г., Демон Дарвина: Идея оптимальности и естественный отбор. -- М: Наука. Гл ред. физ.-мат. лит., 1988. -- 208 с. (Проблемы науки и технического прогресса) ISBN 5-02-013901-7 (Глава «Изготовление моделей»).

5. Журнал  Математическое моделирование (основан в 1989 году)

6. Малков  С. Ю., 2004. Математическое моделирование  исторической динамики: подходы  и модели // Моделирование социально-политической  и экономической динамики / Ред.  М. Г. Дмитриев. -- М.: РГСУ. -- с. 76-188.

7. Мышкис А. Д., Элементы теории математических моделей. -- 3-е изд., испр. -- М.: КомКнига, 2007. -- 192 с ISBN 978-5-484-00953-4

8. Самарский  А. А., Михайлов А. П. Математическое  моделирование. Идеи. Методы. Примеры.. -- 2-е изд., испр.. -- М.: Физматлит, 2001. -- ISBN 5-9221-0120-X

9. Советов  Б. Я., Яковлев С. А., Моделирование  систем: Учеб. для вузов -- 3-е изд., перераб. и доп. -- М.: Высш. шк., 2001. -- 343 с. ISBN 5-06-003860-2