Оглавление

Введение 3

Получение моделей из фундаментальных  законов природы 7

1. Сохранение массы вещества 7

Литература 7 

Введение

Математи́ческая моде́ль— это математическое представление реальности.

Математическое  моделирование— процесс построения и изучения математических моделей.

             Все естественные и общественные науки, использующие математический аппарат, по сути занимаются математическим моделированием: заменяют реальный объект его математической моделью и затем изучают последнюю.

Никакое определение не может в полном объёме охватить реально существующую деятельность по математическому моделированию. Несмотря на это, определения полезны тем, что в них делается попытка выделить наиболее существенные черты.

          По учебнику Советова и Яковлева: «модель (лат. modulus— мера)— это объект-заместитель объекта-оригинала, обеспечивающий изучение некоторых свойств оригинала.» «Замещение одного объекта другим с целью получения информации о важнейших свойствах объекта-оригинала с помощью объекта-модели называется моделированием.» «Под математическим моделированием будем понимать процесс установления соответствия данному реальному объекту некоторого математического объекта, называемого математической моделью, и исследование этой модели, позволяющее получать характеристики рассматриваемого реального объекта. Вид математической модели зависит как от природы реального объекта, так и задач исследования объекта и требуемой достоверности и точности решения этой задачи.»

          По Самарскому и Михайлову, математическая модель — это «„эквивалент“ объекта, отражающий в математической форме важнейшие его свойства — законы, которым он подчиняется, связи, присущие составляющим его частям, и т. д.» Существует в триадах «модель-алгоритм-программа». «Создав триаду „модель-алгоритм-программа“, исследователь получает в руки универсальный, гибкий и недорогой инструмент, который вначале отлаживается, тестируется в пробных вычислительных экспериментах. После того, как адекватность (достаточное соответствие) триады исходному объекту установлена, с моделью проводятся разнообразные и подробные „опыты“, дающие все требуемые качественные и количественные свойства и характеристики объекта.»

                      По Севостьянову А. Г. : «Математической моделью называется совокупность математических соотношений, уравнений, неравенств и т.п., описывающих основные закономерности, присущие изучаемому процессу, объекту или системе.»

          Невозможно представить современную науку без широкого применения математического моделирования. Сущность этой методологии состоит в замене исходного объекта его образом - математической моделью - и дальнейшем изучении модели с помощью реализуемых на компьютерах вычислительно-логических алгоритмов. Этот третий метод познания, конструирования, проектирования сочетает в себе многие достоинства как теории, так и эксперимента. Работа не с самим объектом (явлением, процессом), а с его моделью дает возможность безболезненно, относительно быстро и без существенных затрат исследовать его свойства и поведение в любых мыслимых ситуациях. В то же время вычислительные эксперименты с моделями объектов позволяют, опираясь на мощь современны вычислительных методов и технических инструментов информатики, подробно и глубоко изучать объектов в достаточной полноте, недоступной чисто теоретическим подходам.                   Методология математического моделирования бурно развивается и, охватывая все новые сферы - от разработки технических систем и управления ими до анализа сложнейших экономических и социальных процессов.  
           Элементы математического моделирования использовались с самого начала появления точных наук, и не случайно, что некоторые методы вычислений носят имена таких корифеев науки, как Ньютон и Эйлер, а слово алгоритм происходит от имени средневекового арабского ученого Аль-Хорезми. Второе рождение этой методологии пришлось на конец 40х - начало 50х годов 20 века и было обусловлено по крайней мере двумя причинами. Первая из них - появление компьютеров, хотя и скромных по нынешним меркам, но тем не менее избавивших ученых от огромной по объему рутинной вычислительной работы. Вторая - беспецендентный социальный заказ - выполнение национальных программ СССР и США по созданию ракетно-ядерного щита, которые не могли быть реализованы традиционными методами. Математическое моделирование справилось с этой задачей: ядерные взрывы и полеты ракет и спутников были предварительно осуществлены в недрах ЭВМ с помощью математических моделей и лишь затем претворены на практике. Этот успех во многом определил дальнейшие достижения методологии, без применения которой в развитых странах ни один крупномасштабный технический, экологически или экономический проект теперь всерьез не рассматривается.  
           Технические, экологические, экологические и иные системы, изучаемые современной наукой, очень часто не поддаются исследованию (в нужной полноте) обычными теоретическими методами. Прямой натуральный эксперимент над ними долог, дорог, часто либо опасен, либо попросту невозможен, так как многие из этих систем существуют в единственном экземпляре. Поэтому математическое моделирование является неизбежной составляющей научно-технического прогресса.  
Вопрос математического моделирования можно разбить на три этапа:  
• составление модели  
• построение алгоритма  
• создание программы  
          На первом этапе строится эквивалент объекта, отражающий в математической форме важнейшие его свойства - законы, которым он подчиняется, связи, присущие составляющим его частям и т.д. Математическая модель исследуется теоретическими методами, что позволяет получить важные предварительные знания об объекте.  
       Второй этап - разработка алгоритма для реализации модели на компьютере.  
       На третьем этапе создаются программы, переводящие модель в алгоритм на доступный компьютеру язык.  
Будучи методологией, математическое моделирование не подменяет собой математику, физику, биологию и другие научные дисциплины, не конкурирует с ними. Наоборот, трудно переоценить его синтезирующую роль. Создание и применение триады не возможно без опоры на самые разные методы и подходы - от качественного анализа нелинейных моделей до современных языков программирования.  
         Конечно, математическое моделирование плодотворно лишь при выполнении известных профессиональных требований: четкая формулировка основных понятий и предположений, апостериорный анализ адекватности используемых моделей, гарантированная точность вычислительных алгоритмов и т.д. Если же говорить о трудноформализуемых объектах, то также необходимо добавить аккуратное разграничение математических и житейских терминов (звучащих одинаково, но имеющих разный смысл), осторожное применение уже готового математического аппарата к изучению явлений и процессов (предпочтителен метод от задачи к методу, а не наоборот) и ряд других.

Получение моделей  из фундаментальных  законов природы

1. Сохранение массы вещества

На основе составления  баланса массы вещества и некоторых дополнительных соображений построим модели потока невзаимодействующих частиц и движения грунтовых вод в пористой среде. Опишем ряд свойств полученных моделей и обсудим их возможные обобщения.

Поток частиц в трубе.

В цилиндрической трубе с поперечным сечением S (рис. 20) движутся частицы вещества (пылинки, электроны). Скорость их движения u(t) > 0 вдоль оси х, вообще говоря, изменяется со временем. Например, заряженные частицы могут ускоряться или замедляться под действием электрического поля. Для построения простейшей модели рассматриваемого движения введем следующие предположения:

 а) частицы между собой не взаимодействуют (не сталкиваются, не притягиваются и т. д.). Для этого, очевидно, плотность частиц должна быть достаточно малой (в этом случае заряженные частицы не только не сталкиваются, но и не оказывают друг на друга влияния из-за большого расстояния между ними);

б) начальная скорость всех частиц, находящихся в одном и том же поперечном сечении с координатой х, одинакова и направлена вдоль оси х;

в) начальная плотность частиц также зависит только от координаты х

г) внешние силы, действующие на частицы, направлены вдоль оси х.

Предположение а) означает, что скорость частиц может изменяться лишь под действием внешних сил, предположения б)-г) обеспечивают одномерность процесса переноса, т. е. зависимость искомой плот-

ности потока частиц только от координаты х и времени t ^ 0.

Итак, по заданной начальной плотности p{x,t = 0) = ро(х) необ-

ходимо найти  плотность частиц р(х, t) в любой  момент времени для

Литература 

1. Советов Б. Я., Яковлев С. А., Моделирование систем: Учеб. для вузов — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Высш. шк., 2001. — 343 с
2. Самарский А. А., Михайлов А. П. Математическое моделирование. Идеи. Методы. Примеры. — 2-е изд., испр.. — М.: Физматлит, 2001.
3. Мышкис А. Д., Элементы теории математических моделей. — 3-е изд., испр. — М.: КомКнига, 2007. — 192 с
4. Севостьянов, А.Г. Моделирование технологических процессов: учебник / А.Г. Севостьянов, П.А. Севостьянов. – М.: Легкая и пищевая промышленность, 1984. — 344 с.