Математическое моделирование и теория массового обслуживания

 

Рис. 2.

 

Провести  оптимизацию по двум параметрам: числу  инспекторов и затратам на ускоряющее оборудование. Определить параметры  работы системы при паре оптимальных  параметров. Сравнить с оптимизацией по каждому отдельному параметру.

 

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ

 

Формализуем задачу.

Данную  задачу можно отнести к задачам  СМО с ограниченной очередью. Максимальная длина очереди равна m=5. Интенсивность потока требований (в качестве которого выступает поток нарушителей) равна водителей в час. Исходно имеется пять каналов обслуживания (пять инспекторов находятся на посту единовременно): n=5. Среднее время обслуживания одним каналом (среднее время, которое тратит инспектор на один автомобиль) равно , тогда авт./мин авт./час.

Найдем  параметры работы исходной задачи.

 

30,4 % нарушителей не будет оштрафовано.

 

Процент оштрафованных нарушителей равен  69,6 %.

В среднем 24,35 автомобилей будет оштрафовано в час.

Почти все  инспекторы (4,8 из 5)заняты.

Найдем  среднюю длину очереди:

В среднем  ожидает оформления 3 машины.

Время в  очереди и системе:

часа = 7,2 мин.

Таким образом, среднее время, которое тратит водитель в ожидании оформления протокола, равно  7,2 мин.

Найдем  среднюю сумму штрафов за месяц  . Так как авт./час., сумма штрафа в среднем равна 250 руб., в месяце 30 дней по 10 рабочих часов, то:

тыс.руб.

Так как  затраты на одного инспектора равны f=35000 руб./мес., а инспекторов по трижды по 5 человек, то месячные затраты на пост ДПС равны:

руб. = 525 тыс. руб.

«Прибыль» поста складывается из суммы штрафов («дохода») минус затраты на инспекторов («расхода»). Таким образом, месячная «прибыль» поста равна:

 тыс.руб.

Определить  оптимальное число инспекторов  можно двумя способами. Во-первых, вручную вычислить все интересующие величины. Во-вторых, все величины можно  вычислить в пакете MS Excel.

Составим  таблицу 1. В строках 1-5 записаны исходные данные задачи. В столбце А с 10-й по 24-ую строку введены числа инспекторов.

 

Таблица 1.

 

В последнем столбце получено значение прибыли поста за месяц. Построим график этой величины в зависимости от числа инспекторов (рис.3). Тип диаграммы – точечная.

 

Рис. 3.

 

Из графика  и по значениям в таблице 1 видно, что максимальная прибыль достигается  при значении n=8 и равна 1635431 руб. в месяц.

Вывод: При  прочих постоянных параметрах, выгоднее нанять 24 инспектора (по 8 инспекторов одновременно).

Определим оптимальные капиталовложения на ускорение  оформления протоколов при пяти инспекторах. Требуется формализовать задачу.

Как видно из графика (рис.2), стоимость аренды оборудования для одного инспектора (будем ее обозначать R) линейно зависит от скорости оформления протокола (интенсивности ), т.е.

.

Найдем  значения параметров R₀ и R₁. При авт./час R=0. При авт./час R=2000 руб./день. Тогда:

 

Откуда  получаем:

Т.о.

.

При этом

Оказывается удобнее выразить затраты на аренду через  , потому что все формулы содержат именно этот параметр. Так как авт./час, то

и следовательно

. (1)

При этом

Месячная  «прибыль» поста в этом случае будет вычисляться по формуле:

 (2)

При n=5 получаем:

(руб./мес.). (3)

Подставляя (1) в (3) получаем:

 (4) (тыс. руб./мес.) при

Определив, при каком  достигается максимум функции прибыли , мы определим по формуле (1) оптимальные затраты на аренду оборудования.

Распишем  функцию  :

Однако, анализировать такие громоздкие формулы неудобно. Анализ проведем в MS Excel. В табл. 2 показаны проведенные расчеты.

В строках 1-4 приведены данные задачи.

В столбце  А с 7 по 42 строки протабулирован параметр

 

 

Таблица 2.

 

Построим график прибыли (рис.4):

 

Рис. 4.

 

Уточним оптимальное значение параметра , дополнительно разбив промежуток на более мелкие интервалы. График функции на этом промежутке приведен на рис.5.

 

Рис. 5.

 

Фрагмент  уточненной таблицы приведен в таблице 3.

 

Таблица 3.

 

Из графиков и по таблице 3 с высокой степенью точности можем принять в качестве оптимального значения , а оптимальная прибыль равна примерно 1764 тысячи 17 рублей в месяц.

Определим, при каких затратах на аренду мы получим такую прибыль. Из (1):

 руб./день.

Это позволит оформлять протоколы с интенсивностью

 маш./час.

Вывод: если на посту работает одновременно 5 инспекторов, то наиболее выгодно вложить 1581 рубль  в день в аренду техники для каждого инспектора. Тогда прибыль за месяц будет оптимальной и равной примерно 1764 тыс. 17 рублей.

Необходимо  провести оптимизацию по двум параметрам n и .

Имеем функцию  от двух переменных. Будем использовать формулу . (1)

Определив, при каких  и n достигается максимум функции прибыли , мы определим по формуле (1) оптимальные затраты на аренду оборудования.

Составим  таблицы 4 – 5. В таблице 4 - n=3, n=4, n=5,n=6, в таблице 5 - n=7, n=8, n=9, n=10 . Рассмотрим промежуток

 

Таблица 4.

 

Таблица 5.

 

Рис. 6.

 

Из значений таблицы и графика, оптимальное  число инспекторов равно 4. Построим для n=4 уточненный график (рис.7).

 

Рис. 7.

 

Из значений таблицы можно определить, что  оптимальная интенсивность нагрузки равна . Тогда оптимальные затраты на аренду равны:

 руб./день.

Интенсивность работы инспектора равна:

 маш./час.

Вывод: имея возможность менять число  инспекторов на посту и арендовать ускоряющую технику, нужно организовать работу так, чтобы на посту одновременно находилось 4 инспектора, и для каждого из них арендовать техники на 2000 рублей в день. Это позволит получить прибыль 1779337 рублей в месяц.

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

В данном курсовом проекте представлена тема "Математическое моделирование и оптимизация системы массового обслуживания". Системы массового обслуживания имеют огромное практическое применение в наше время, что показано в рассмотренном примере.

Целью данного  курсового проекта было определение

- параметров  работы системы;

- оптимального числа инспекторов на посту при сохранении остальных условий задачи;

- оптимальных  затрат на оборудование при  неизменных остальных условиях  задачи

- параметров  работы системы при паре оптимальных  параметров.

Данная  задача является СМО с ограниченной очередью или СМО с ожиданием. В данной работе в первой части решения задачи проводится ее анализ, т.е. определяются основные параметры функционирования СМО при неизменных, наперед заданных исходных характеристиках. Исходные характеристики – это интенсивность потока требований , максимальная длина очереди m, количество каналов обслуживания n, среднее время обслуживания одним каналом , интенсивность обслуживания требований . В ходе решения первой части задачи мы определили такие основные параметры функционирования СМО: интенсивность нагрузки , предельные вероятности и вероятность отказа , относительную пропускную способность Q, абсолютную пропускную способность , среднее число заявок, связанных с системой , среднюю длину очереди D, время в очереди W₀, время в системе W_c, среднюю сумму штрафа за месяц С_штр, затраты на один канал f, затраты на пост в месяц F, прибыль поста Z. При решении задачи использовались формулы Эрланга. Во второй, третьей и четвертой частях решения задачи проводился синтез – оптимизация СМО. Здесь действия направлены на поиски оптимальных параметров СМО. Во второй и третьей частях определяются оптимальное число инспекторов на посту и затраты на оборудование соответственно, при неизменных остальных условиях задачи. Рассматриваются функции и , строятся их графики. В четвертой части решения задачи проводится оптимизация по двум параметрам, т.е рассматривается функция .

 Модель  СМО реализована с помощью  программы MS Excel. Все расчеты выполнялись при помощи данной программы, что упростило процесс решения задач оптимизации. В процессе нескольких реализаций работы СМО были получены результаты функционирования системы. На основе полученных данных были построены графики, позволяющие провести исследование работы СМО. С помощью графиков проведен анализ полученных данных и сделаны выводы о работе системы. Из графика (рис.3) и по значениям в таблице 1 видно, что максимальная прибыль достигается при значении n=8 и равна 1635431 руб. в месяц. При прочих постоянных параметрах, выгоднее нанять 24 инспектора (по 8 инспекторов одновременно). Из графиков (рис.4, 5) и по значениям таблиц 2 и 3 видно, что если на посту работает одновременно 5 инспекторов, то наиболее выгодно вложить 1581 рубль в день в аренду техники для каждого инспектора. Тогда прибыль за месяц будет оптимальной и равной примерно 1764 тыс. 17 рублей. Из графиков (рис.6, 7) и таблиц 4,5 видно, что имея возможность менять число инспекторов на посту и арендовать ускоряющую технику, нужно организовать работу так, чтобы на посту одновременно находилось 4 инспектора, и для каждого из них арендовать техники на 2000 рублей в день. Это позволит получить прибыль 1779337 рублей в месяц.

Итак, создание имитационной модели системы массового обслуживания позволяет получить информацию, характеризующую приспособленность рассматриваемой системы для выполнения поставленных перед ней задач. Анализ численных значений критериев позволяет сделать выводы относительно реальной эффективности системы и выработать рекомендации по ее повышению.

 

СПИСОК  ЛИТЕРАТУРЫ

 

Основная литература:

1. Клейнрок Л. Теория массового обслуживания. М.: Машиностроение, 1979.

2. Матвеев В.Ф., Ушаков В.Г. Системы массового обслуживания. М.: Изд-во МГУ, 1984.

3. Советов Б.А., Яковлев С.А. Моделирование систем, М: Высшая школа, 1985.

Периодические издания:

4. Иголкин В.Н. Об оптимизации одной системы массового обслуживания // Вопросы механики и процессов управления. Вып.15. СПб.: Изд-во СПбГУ, 1992.

Интернет-ресурсы:

5. http://lib.vvsu.ru/books/Bakalavr01/page0220.asp

6. http://masteroid.ru/content/view/909/42/