Задача  № 1

                 Найти пределы, не пользуясь  правилом Лопиталя

     Решение. а) Знаменатель и числитель дроби стремятся к бесконечностям при . Имеем неопределенность вида . Разделив числитель и знаменатель на x в наибольшей степени, т.е. на , получим

,

т.к. при  каждая из дробей стремятся к нулю, то есть числитель стремится к 0, а знаменатель к 2.

     б) Имеем: х=-1 не входит в область определения  данной функции. Тогда предел не существует. 0/0.

     в) Воспользуемся первым замечательным  пределом . Имеем:

     

     г) Имеем неопределенность вида , поэтому воспользуемся вторым замечательным пределом .После перехода к новой переменной y = 3х+6, получим

 

 

Задача  № 2

       Задана функция . Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж.

Решение:

Данная  точка является кусочно-непрерывной. Точками разрыва могут быть только точки х=-2 и х=0, так как в  остальных точках функция непрерывна.

Итак, односторонние  пределы не совпадают, но существуют, значит, в данной точке х=-2 функция  разрывна типа скачок.

Итак, односторонние  пределы не совпадают, но существуют, значит, в данной точке х=0 функция разрывна типа скачок.

 

Задача  № 3

                   Найти производные  и для заданных функций.

Решение:

 

А)

Б)

 

Задача  № 4

       Исследовать функции методом  дифференциального исчисления и  построить их графики.

 

      Решение.

      А) Воспользуемся следующей схемой исследования функции.

     1. Найдем область определения функции.  Функция определена всюду. Следовательно,  .

     2. Определим точки пересечения  графика функции с осями координат.  Таким точками будут точки .

     3. Исследуем функцию на четность, нечетность и периодичность. Имеем  , то есть функция не является ни четной, ни нечетной. Функция не является периодической. 

     4. Определим точки возможного экстремума. Для этого найдем производную

.

     Приравнивая ее нулю, получаем , в точке производная не существует. 

     5. Определим точки возможного перегиба. Для этого найдем вторую производную

.

     Вторая  производная равна 0 при x=6/5 и не существует при х=1.

     6. На основании пунктов 4,5, найдем  промежутки возрастания и убывания, точки экстремума, промежутки выпуклости  и точки перегиба. Результаты  исследования удобно оформить  в виде таблицы, в которой отражены изменения знака первой и второй производных.

7. Исследуем функцию на наличие у ее графика асимптот.

Найдем уравнение наклонной асимптоты y = kx+b.

     

        

     Следовательно, наклонных асимптот нет. 

     8. Используя результаты исследования, строим график функции, предварительно  нанеся на чертеж точки пересечения  с осями координат, точки экстремума, перегиба и асимптоты.

 

     Б)

     1. Найдем область определения функции.  Функция не определена в точках, где знаменатель обращается в  нуль и существует числитель,  то есть  .

     2. Определим точки пересечения графика функции с осями координат. Единственной такой точкой будет точка .

     3. Исследовать функцию на четность, нечетность нет смысла, так как функция определена только при положительных х. Функция не является периодической. 

     4. Определим точки возможного экстремума. Для этого найдем производную

.

     Приравнивая ее нулю, получаем .

           Точка , в которых производная не существует, не является точкой возможного экстремума, так как она не входит в область определения функции. 

     5. Определим точки возможного перегиба. Для этого найдем вторую производную

.

     Вторая  производная равна 0 при  .

     6. На основании пунктов 4,5, найдем  промежутки возрастания и убывания, точки экстремума, промежутки выпуклости  и точки перегиба. Результаты  исследования удобно оформить в виде таблицы, в которой отражены изменения знака первой и второй производных.

8. Исследуем функцию на наличие у ее графика асимптот.

Найдем  уравнение наклонной асимптоты  y = kx+b.

     

         

     Следовательно, прямая y = 0 является горизонтальной асимптотой. 

     8. Используя результаты исследования, строим график функции, предварительно  нанеся на чертеж точки пересечения  с осями координат, точки экстремума, перегиба и асимптоты.

 

 

Задача  № 5.  

 Вычислить  w(z)  при заданном  z, если

                          w(z) =  .

      12.   ;

   Решение. Действия над комплексными числами и выполняются по следующим правилам:

,

,

     Если  , то называется комплексно сопряженным.

 

 

Задача  №6.

 Найти  все значения корня. 

12.   

     Решение. Пусть надо найти все значения . Запишем z в тригонометрическом виде . Здесь , . Воспользуемся формулой .

      , _;

     Придавая  k значения 0, 1, 2, 3,  получим  4 различных значений корня. Тогда = . Полагая k = 0, 1, 2, 3, находим четыре значения корня:

      ,        

 

   Задача  № 7.

   Найти неопределенные интегралы. Результат  пункта а) проверить дифференцированием.

   12      a)          б)

               в)                      г)

   Решение:

   _А)

   Б)

   _В)

   _Г)

   _{Разложим  подынтегральную  функцию на простые  множители:}

     
 

 

      Задача  № 8.

      Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, уравнения которых заданы: а) в декартовой системе координат, б) в полярной системе координат. В обеих задачах сделать чертеж.

   12.а) ;              ;              б) .

                   

   Рис.1                                             Рис.2

     Решение. Сделаем чертеж (Рис.1). Найдем абсциссы точек пересечения линий: ;              . Для этого приравняем правые части уравнений: =- х.

     Решая полученное уравнение, найдем: x₁ =0,   х ₂ =-1/4.

     Воспользуемся формулой площади криволинейной  трапеции, ограниченной линиями   у = у(х),  х = а,  х = b,  у = 0:

                                  S  

     В нашем случае площадь фигуры можно получить как разность площадей S₁ и S ₂  двух криволинейных трапеций, ограниченных линиями и у=х+3,  соответственно.

     В результате получим 

 S = S₁ - S ₂

     Б) Используется формула

                  S 

    S  

 

      Задача  № 9.

      Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.

2.              

      Решение.

= =

      Следовательно, интеграл сходится.