Математический анализ в теоретической и практической экономике

     Математический  анализ в теоретической и практической экономике. 

     Математический  анализ является важнейшим инструментом анализа экономических явлений и процессов, построение теоретических моделей, позволяющих отобразить существующие связи в экономической жизни, прогнозировать поведение экономических субъектов и экономическую динамику. Математическое моделирование становится языком современной экономической теории.  
Применяя знания математического анализа можно вычислять и решать разные сложные задачи в экономике.  

     Рассмотрим такой термин как «Производная».

     Понятие - производной мы можем применить  на предприятиях, например, вычисляя производительность труда. 

       Производительность труда есть производная объема продукции по времени. Рассмотрим еще некоторые понятия, иллюстрирующие экономический смысл производной.

     Пусть y(x) -функция, характеризующая, например, издержки производства, где x - количество выпускаемой продукции. Тогда отношение y(x)/x описывает средние издержки, приходящиеся на одно изделие. Средняя величина обозначается Ay или Af (от английского "average".) Среднее приращение, средний прирост, средняя скорость изменения определяется отношением D y/D x. Производная

     

     выражает  предельные (маргинальные от английского "marginal") издержки производства. Величину Mf(x) = y' называют мгновенным приростом или мгновенной скоростью изменения y. Аналогично можно определить предельную выручку, предельный доход, предельную полезность и другие предельные величины.

     Определение 1. Отношение называется темпом прироста функции y. Отношение называется мгновенным темпом прироста.

     Обычно  степень влияния одной переменной на другую, зависимую от нее, измеряют производной данной функции. Однако часто экономистов интересуют относительные изменения величин. Например, если маленькое яблоко подорожало на 2,5 рубля, то при этом большое, скажем, на 5. В тоже время, если яблоки подорожали в 1,5 раза, то в 1,5 раза дороже стало и маленькое, и большое яблоко, и килограмм, и вагон яблок. Поэтому для анализа относительных изменений вместе с понятием производной используют понятие эластичности.

     Определение 2 (эластичность). Эластичностью функции E_x(y) называется величина

     E_x(y) = lim_{D x® 0}(D y/y:D x/x) = x/y lim_{D x® 0}D y/D x = x/y· y'.

     Определение 3. Будем говорить, что y(x) эластична в точке x, если |E_x(y)|>1, y(x) неэластична, если |E_x(y)| <1, и нейтральна, если |E_x(y)| = 1.

     Рассмотрим  некоторые свойства эластичности.

1. Эластичность - безразмерная величина, ее значение не зависит от того, в каких единицах измерены аргумент и функция. Если u = Ax, v = By, то E_u(v) = (dv/du)· u/v=(B/A)· (dy/dx)· (Ax/By) = E_x(y);
2. Эластичности взаимно обратных функций - взаимно обратные величины

     E_y(x) = (dx/dy)·(y/x) = 1/E_x(y).

3. Эластичность функции равна произведению независимой переменной x на темп изменения функции T_y = (ln y)' = y'/y, то есть

     E_x(y) = xT_y.

4. Эластичность произведения (частного) двух функций равна сумме (разности) эластичностей этих функций:

     E_x(uv) = E_x(u)+E_x(v), E_x(u/v) = E_x(u)-E_x(v).

5. Из последнего свойства следуют формулы

     E_x(xy) = E_x(x)+E_x(y) = 1+E_x(y)

     отсюда, если E_x(y)>-1, то xy монотонно возрастает; если E_x(y)<-1, то xy монотонно убывает. Аналогично,

     E_x(y/x) = E_x(y)-E_x(x) = E_x(y)-1

     Пример  . Как связаны предельные и средние полные затраты предприятия, если эластичность полных затрат равна 1?

     Решение. Пусть затраты выражены функцией y(x), где x - объем выпускаемой продукции. Тогда средние затраты равны y/x. Найдем эластичность отношения

     E_x(y/x) = E_x(y)-E_x(x) = E_x(y)-1.

     Но  по условию E_x(y) = 1, поэтому E_x(y/x) = 0. Это означает, что с изменением объема продукции x средние затраты на единицу продукции не меняются, т.е. y/x = c, y = cx. Предельные издержки равны y' = c. Следовательно, предельные издержки совпадают со средними.

     В анализе ценовой политики используется понятие эластичности спроса. Пусть d=d(p) функция спроса от цены товара p. Тогда эластичность определяется по формуле

     

     Для функции предложения s(p) аналогично вводится понятие эластичности

     

     Отметим, что с увеличением цены объем  спроса уменьшается. Поэтому функция  спроса d(p) убывает, а функция предложения  s(p) возрастает с ростом p. Следовательно, d'(p)<0, E_p(d)<0 и E_p(s)>0.

     Отметим три вида спроса:

1. если E_p(d)<-1, то спрос считается эластичным;
2. если E_p(d)>-1, то спрос неэластичен;
3. если E_p(d) = -1, то спрос нейтрален.

     Пример . Пусть известны функции спроса d=7-p и функция предложения s=p+1, где p - цена. Нужно найти равновесную цену и эластичности спроса и предложения.

     Решение. Равновесная цена определяется из условия d=s, поэтому 7-p=p+1, откуда p=3. Найдем эластичность спроса и предложения

     E_p(d) = p/(p-7), E_p(s) = p/(p+1).

     Для равновесной цены p=3 получим E_p(d) = -0,75, E_p(s) = 0,75. Для значения p = 3 спрос является неэластичным, также как и функция предложения.

     Упражнение 2. Пусть функции спроса d=(p+8)/(p+2), и предложения s=p+0,5, где p -цена товара. Найти равновесную цену и эластичность спроса и предложения для этой цены.

     Максимизация  прибыли

     Пусть q – количество реализованного товара, R(q)- функия дохода, C(q)- функция затрат на производство товара. Прибыль от реализации товара равна

     Из  микроэкономики известно, что для  того, чтобы прибыль была максимальной, необходимо, чтобы предельный доход и предельные издержки были равны, т.е. MR(q) = MC(q). Действительно, из необходимого условия экстремума для функции (?) следует, что P'(q) = 0, откуда и следует указанное равенство. Точка q₀, удовлетворяющая равенству P'(q) = 0 является подозрительной на экстремум. Согласно второму достаточному условию существования экстремума, если P''(q₀)<0, то q₀– точка максимума функции P(q). Данное условие выполнится, если, например, R''(q)<0, а C''(q)>0, что согласуется с экономической теорией.

     Пример . Пусть

     R(q) = 100q-q², C(q) = q³-37q²+169q+4000.

     Тогда прибыль определяется формулой

     P(q) = -q³+36q²-69q-4000. P'(q) = -3q²+72q-69=0,

     или q²-24q+23=0. Корни уравнения q₁ = 1, q₂ = 23.

     P''(q) = -6q+72, P''(1) = 66, P''(23) = -66<0,

     следовательно, при q = 23 P_max = 1290.  

     Рассмотрев  данные примеры, можно  сделать следующий  вывод: 

     Благодаря правильному подбору математического  метода исследования, можно увеличить прибыль предприятия и минимизировать издержки производства.