Математические задачи энергетики

     Первая  матрица соединений позволяет записать I-й закон Кирхгофа для электрической сети в целом в матричной форме. Для этого введем в рассмотрение столбцевые матрицы – токов узлов и токов ветвей  

           (1) 

        

            (2)

      Выражения (1) и (2) представляют собой матричную  запись I-го закона Кирхгофа для электрической сети в целом, они компактны, наглядны и исчерпывающие.  

Частный случай расчета токораспределения

для разомкнутой  сети 

      Представим  входящие в (2) матрицы в их блочной форме. 

           (3) 

           (4) 

      При разомкнутой схеме 

      I_b = 0  ,      (5)

т.е., токораспределение  в разомкнутой сети при заданных нагрузках узлов Jy можно определить только по ее конфигурации, без учета параметров. Матрица = C_0р называется матрицей коэффициентов токораспределения для разомкнутой сети или для дерева сети.

      Задающие  тока узлов Jy или задающие мощности Sy представляют суммарный ток нагрузки или суммарную мощность нагрузки в узле и в задаче расчета режимов являются независимыми переменными величинами.

      Матрица M_a содержит аналитические описание конфигурационных связей (связностей схемы).

      I_a в (5) – это вектор – столбец искомых токов ветвей.

      Домножим  обе части уравнения (5) M_a^-1 слева. Получим 

      

           Е 

      Откуда 

              (6) 
 
 

      Вторая  матрица соединений “ветви - контуры” 

      Вторая  матрица соединений “ветви - контуры” дает контурную модель конфигурации электрической сети. Представляет собой прямоугольную таблицу, у которой столбцы соответствуют ветвям схемы, а строки – независимым контурам.

      Для схемы замещения рис. 2, представленной связанным направленным графом рис. 3, N запишется:

                           N_a               N_b

      

      

      или N = [N_a N_b]

      Количество  строк матрицы N равно k - числу независимых контуров. Элемент матрицы принимает значение N_ij = ±1,0. На пересечении i-й строки и j-го столбца ставится n_ij = 1, если j-я ветвь входит i-й контур и ее направление совпадает с направлением обхода по контуру, n_ij = -1, если ветвь противоположна обходу по контуру, n_ij = 0, если j-я ветвь не входит в j-й контур.

      Направление обхода контура в схеме (рис.3) совпадает  с направлением тока в хорде. Очевидно, что при таком способе формирования контуров N_b - единичная матрица, N_a - прямоугольная матрица. Число столбцов матрицы N равно n + k = m, где m – число ветвей схемы, n – число независимых узлов, равное числу ветвей дерева m_a; k – число замкнутых контуров k=m_b, n=m_a. II матрица инциденций N “контуры – ветви” позволяет аналитически ввести информацию о конфигурации в уравнения II закона Кирхгофа. (II матрица инциденций позволяет из списка ветвей дерева и списка хорд (рис. 3а) и соответствующих им по структуре одномерных массивов для дерева и хорд Z_a, I_a, DU_a и др., Z_b, I_b, DU_b выбрать информацию по ветвям, образующим соответственно I-ый, II-ой и остальные замкнутые контуры). 

      II закон Кирхгофа  

      II закон Кирхгофа в записывается на основании закона Ома для участков цепи.  

        
 
 

      Рис. 4.  

      DU_вi=I_вiZ_вi-E_вi - закон Ома для участка цепи     

      DU_вi=dZ_в I_в - E_в – закон Ома для всей сети     (7)

      Согласно  II закону Кирхгофа, алгебраическая сумма падений напряжений по ветвям замкнутого контура равна 0. 

      NDU_в = 0 – II закон Кирхгофа        (8)

      С учетом (7),

       ,        (9)

где dZ_в- диагональная матрица сопротивлений ветвей сети.

      

       - второй  закон Кирхгофа для всей сети    (10) 

      Обобщенное  уравнение состояния электрической сети

      по  законам Кирхгофа

      Матрицы обобщенных параметров

      

            MI_в = J_y (11)

            NdZ_вI_в=NE_в 

      В выражении (11) все матрицы имеют  известную структуру. Подставим  их в виде блочных матриц  

               (12)

      или

         (13)

      Здесь F – вектор столбец независимых характеристик режима; I – искомые токи ветвей. [A] - матрица, содержит обе конфигурационные модели М и N параметры dZ_в.

      Определим порядок системы уравнений.

      Системы уравнений (12),(13) имеют порядок n + k, равный числу ветвей схемы. Матрица квадратная, блочная, в общем случае невырожденная, обратную к ней А^-1 также представим в виде блоков

             (14)

      Тогда токи ветвей

            (15)

        
 
 

      Обозначим - проводимость (размерность См=1/Ом),

      Тогда I_в = CJ_y + YE_в        (17)

      Выражение (16) позволяет записать токораспределение  в схеме с помощью матриц обобщенных параметров.

      Из  выражения (17) реализующему принципу наложения (суперпозиции), можно найти токораспределение в схеме. Оно представляет сумму двух составляющих С и J_y – обусловленной задающими токами узлов сети, и YE_в – обусловленной наличием ЭДС в ветвях схемы. Особенность ситуации в том, что в электрических сетях режим задают чаще всего узловыми токами J_y или мощностями S_y, а ЭДС в ветвях отсутствуют Е_в = 0, вместо ЭДС ветвей задают напряжения в части узлов сети (БУ, на шинах генераторов ЭДС). Тогда уравнение состояния (17) получает вид

            I_в = CJ_y (18)

      Мы  получаем частный случай уравнения состояния, где С – матрица коэффициентов распределения, E_в = 0. Выражение (18) дает нам метод коэффициентов распределения. Он справедлив с некоторым приближением и для мощностей (если умножить обе части выражения (18) на U_ном, например)

            S_в » CS_y, (19)

      Входящие в выражение (18) и (19) матрицы имеют комплексные элементы.

      Матрица коэффициентов распределения С = [C_ij]_{m n} прямоугольная. Ее элемент С_ij показавает долю тока i-го узла, протекающего по i-й ветвий. Определение элементов этой матрицы громоздко, однако вычисленная один раз, она позволяет безитерационным путем находить приближенное потокораспределение без учета потерь в сети. Приближенное значение потерь мощности на участках DS_i и суммарных потерь в сети легко определятся

              (20)

      На базе матрицы коэффициентов распределения на кафедре “Электрические системы” БГПА разработана полная система быстродействующих алгоритмов анализа и оптимизации режимов энергосистем [          ], предложены методы коррекции элементов матрицы [C] при переключениях в схеме (для анализа ремонтных режимов) и т.п.

      Другой  частный случай уравнений состояния (17) возникает, когда нагрузки в узлах  представляются сопротивлениями или  проводимостями, включенными на землю.

            

      Тогда J_y = 0 и

            I_в = YE_в или S_в » U_н (YE_в). (20а) 

      Здесь Y – матрица собственных и взаимных проводимостей ветвей электрической сети.

      Диагональный  элемент этой матрицы Y_ii (или собственная проводимость источника) определяет I_ii – собственный ток источника, т.е. величину и фазу тока i-ой ветви в цепи данного i-го источника) от действия ЭДС этой же ветви Е_i, т.е.

            

      Побочный  элемент матрицы Y_ij (или взаимная проводимость) определяет взаимный ток I_ij, т.е. величину и фазу тока в цепи i-го источника от действия ЭДС Е_j – j-го источника.

            

      Полный  ток ветви представляет алгебраическую сумму собственного и взаимных токов 

      т.е.

            

      или

        

      Эту матрицу Y используют для записи уравнений установившегося режима при анализе устойчивости электрических систем и называют матрицей собственных и взаимных проводимостей генераторных станций, или матрицей входных и взаимных проводимостей ветвей.