Математические понятие, предложения и умозаключения

  Понятие натурального  числа, вызванное  потребностью счёта  предметов, возникло  ещё в доисторические  времена. Процесс  формирования понятия  натурального  Число (матем.) протекал в общих чертах следующим образом. На низшей ступени первобытного общества понятие отвлечённого Число (матем.) отсутствовало. Это не значит, что первобытный человек не мог отдавать себе отчёта о количестве предметов конкретно данной совокупности, например о количестве людей, участвующих в охоте, о количестве озёр, в которых можно ловить рыбу, и т.д. Но в сознании первобытного человека ещё не сформировалось то общее, что есть в объектах такого рода, как, например, «три человека», «три озера» и т.д. Анализ языков первобытных народностей показывает, что для счёта предметов различного рода употреблялись различные словесные обороты. Слово «три» в контекстах «три человека», «три лодки» передавалось различно. Конечно, такие именованные числовые ряды были очень короткими и завершались не индивидуализированным понятием («много») о большом количестве тех или других предметов, которое тоже являлось именованным, т. е. выражалось разными словами для предметов разного рода, такими, как «толпа», «стадо», «куча» и т.д. 
  Важным шагом в развитии понятия натурального Число (матем.) является осознание бесконечности натурального ряда Число (матем.), т. е. потенциальной возможности его безграничного продолжения. Отчётливое представление о бесконечности натурального ряда отражено в памятниках античной математики (3 в. до н. э.), в трудах Евклида и Архимеда. В «Началах» Евклида устанавливается даже безграничная продолжаемость ряда простых Число (матем.), в книге Архимеда «Псаммит» — принципы для построения названий и обозначений для сколь угодно больших Число (матем.), в частности больших, чем «число песчинок в мире». 
С развитием понятия натурального Число (матем.) как результата счёта предметов в обиход включаются действия над Число (матем.) Действия сложения и вычитания возникают сначала как действия над самими совокупностями в форме объединения двух совокупностей в одну и отделения части совокупности. Умножение, по-видимому, возникло в результате счёта равными частями (по два, по три и т.д.), деление — как деление совокупности на равные части (см. Умножение, Деление). Лишь в многовековом опыте сложилось представление об отвлечённом характере этих действий, о независимости количественного результата действия от природы предметов, составляющих совокупности, о том, что, например, два предмета и три предмета составят пять предметов независимо от природы этих предметов. Тогда стали разрабатывать правила действий, изучать их свойства, создавать методы для решения задач, т. е. начинается развитие науки о Число (матем.) — арифметики. В первую очередь арифметика развивается как система знаний, имеющая непосредственно прикладную направленность. Но в самом процессе развития арифметики проявляется потребность в изучении свойств Число (матем.) как таковых, в уяснении всё более сложных закономерностей в их взаимосвязях, обусловленных наличием действий. Начинается детализация понятия натурального Число (матем.), выделяются классы чётных и нечётных Число (матем.), простых и составных и т.д. Изучение глубоких закономерностей в натуральном ряду Число (матем.) продолжается и составляет раздел математики, носящий название чисел теория. 
  Натуральные Число (матем.), кроме основной функции — характеристики количества предметов, несут ещё другую функцию — характеристику порядка предметов, расположенных в ряд. Возникающее в связи с этой функцией понятие порядкового Число (матем.) (первый, второй и т.д.) тесно переплетается с понятием количественного Число (матем.) (один, два и т.д.). В частности, расположение в ряд считаемых предметов и последующий их пересчёт с применением порядковых Число (матем.) является наиболее употребительным с незапамятных времён способом счёта предметов (так, если последний из пересчитываемых предметов окажется седьмым, то это и означает, что имеется семь предметов). 
  Вопрос об обосновании понятия натурального Число (матем.) долгое время в науке не ставился. Понятие натурального Число (матем.) столь привычно и просто, что не возникало потребности в его определении в терминах каких-либо более простых понятий. Лишь в середине 19 в. под влиянием развития аксиоматического метода в математике, с одной стороны, и критического пересмотра основ математического анализа — с другой, назрела необходимость обоснования понятия количественного натурального Число (матем.) Отчётливое определение понятия натурального Число (матем.) на основе понятия множества (совокупности предметов) было дано в 70-х гг. 19 в. в работах Г. Кантора. Сначала он определяет понятие равномощности совокупностей. Именно, две совокупности называются равномощными, если составляющие их предметы могут быть сопоставлены по одному. Затем число предметов, составляющих данную совокупность, определяется как то общее, что имеет данная совокупность и всякая другая, равномощная ей совокупность предметов, независимо от всяких качественных особенностей этих предметов. Такое определение отражает сущность натурального Число (матем.) как результата счёта предметов, составляющих данную совокупность. Действительно, на всех исторических уровнях счёт заключается в сопоставлении по одному считаемых предметов и предметов, составляющих «эталонную» совокупность (на ранних ступенях — пальцы рук и зарубки на палочке и т.д., на современном этапе — слова и знаки, обозначающие Число (матем.)), Определение, данное Кантором, было отправным пунктом для обобщения понятия количеств. Число (матем.) в направлении количественной характеристики бесконечных множеств. 
  Другое обоснование понятия натурального Число (матем.) базируется на анализе отношения порядка следования, которое, как оказывается, может быть аксиоматизировано. Построенная на этом принципе система аксиом была сформулирована Дж. Пеано. 
  Исторически первым расширением понятия Число (матем.) является присоединение к натуральным Число (матем.) дробных чисел. Введение в употребление дробных Число (матем.) связано с потребностью производить измерения. Измерение какой-либо величины заключается в сравнении её с другой, качественно однородной с ней и принятой за единицу измерения. Это сравнение осуществляется посредством специфической для способа измерения операции «откладывания» единицы измерения на измеряемой величине и счёта числа таких откладываний. Так измеряется длина посредством откладывания отрезка, принятого за единицу измерения, количество жидкости — при помощи мерного сосуда и т.д. Однако не всегда единица измерения укладывается на измеряемой величине целое число раз, и этим обстоятельством, даже в самой примитивной практической деятельности, не всегда можно пренебречь. Здесь и содержится источник происхождения наиболее простых и «удобных» дробей, таких, как половина, треть, четверть и т.д. Но лишь с развитием арифметики как науки о Число (матем.) созревает идея рассмотрения дробей с любым натуральным знаменателем и представление о дробном Число (матем.) как о частном при делении двух натуральных Число (матем.), из которых делимое не делится нацело на делитель (см. Дробь). 
Дальнейшие расширения понятия Число (матем.) обусловлены уже не непосредственными потребностями счёта и измерения, но явились следствием развития математики. 
3.