Математическая модель, описываемая обыкновенными дифференциальными уравнениями. Математический маятник

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ  РФ ФГБОУ ВПО «УДМУРТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  УНИВЕРСИТЕТ» ИНСТИТУТ НЕФТИ И ГАЗА ИМЕНИ  М.С.ГУЦЕРИЕВА КАФЕДРА «РАЗРАБОТКА И ЭКСПЛУАТАЦИЯ НЕФТЯНЫХ И ГАЗОВЫХ МЕСТОРОЖДЕНИЙ»             Реферат Математическая  модель, описываемая обыкновенными  дифференциальными уравнениями. Математический  маятник                          Студентов группы   27-31 Касьянова Е.И., Рождественская Л.А.                      Преподаватель Сметанина Л.П.                         Ижевск 2011г

Содержание

 

 

Введение            3

Маятник            7

Уравнение колебаний математического маятника      8

Используемая  литература          9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

Понятия, созданные современной математикой, зачастую кажутся весьма далекими от реального мира. Но именно с их помощью  людям удалось проникнуть в тайны  строения атомного ядра, рассчитать движение космических кораблей, создать весь тот мир техники, на котором основано современное производство. Одним  из основных методов познания природы  является опыт, эксперимент. С помощью  экспериментов были установлены  многие законы природы (закон сохранения вещества и энергии, периодическая  система элементов Д.И.Менделеева и т.д.). Однако не всегда целесообразно проводить эксперимент. За последнее столетие в самых различных областях науки и техники все большую роль стал играть метод математического моделирования.

Чтобы изучить какое-нибудь явление природы  или работу машины, предварительно изучают всевозможные связи между  величинами, их характеризующими. Затем  полученные связи выражают математически  и приходят к системе уравнений. Решая эти уравнения или системы  уравнений, ученые и инженеры делают выводы о том, как в дальнейшем будет развиваться это явление  или как будет работать машина, что надо сделать, чтобы получить требуемые результаты.

При этом уравнения и системы уравнений  бывают алгебраическими и дифференциальными. Чтобы получить уравнения, допускающие  решения, приходиться упрощать задачу, отбрасывая некоторые величины как  несущественные. Но чем точнее нужен  результат, тем больше величин приходиться  учитывать, тем сложнее получается математическая модель.

Математические  модели, которые строили в 19 веке, были сравнительно простыми. Но возрастающие требования к точности ответа, развитие техники, познание разнообразных явлений  привели к построению все более  сложных математических моделей.

Сейчас  с помощью математического моделирования  решают такие задачи, как описание природы морей и океанов, распада  радиоактивных веществ, перевод  текстов с одного языка на другой и т.п. Появилась возможность строить  математические модели экономики, применять  математику в изучении общественных явлений.

Теория  дифференциальных уравнений является одним из самых больших разделов современной математики. Чтобы охарактеризовать её место в современной математической науке, прежде всего необходимо подчеркнуть основные особенности теории дифференциальных уравнений.

Первая  особенность – это непосредственная связь теории дифференциальных уравнений с приложениями. Характеризуя математику как метод проникновения в тайны природы, можно сказать, что основным путем применения этого метода является формирование и изучение математических моделей реального мира. Изучая какие-либо физические явления, исследователь, прежде всего, создает его математическую идеализацию или, другими словами, математическую модель, то есть, пренебрегая второстепенными характеристиками явления, он записывает основные законы, управляющие этим явлением, в математической форме. Очень часто эти законы можно выразить в виде дифференциальных уравнений. Такими оказываются модели различных явлений механики сплошной среды, химических реакций, электрических и магнитных явлений и др.

Исследуя полученные дифференциальные уравнения вместе с дополнительными  условиями, которые, как правило, задаются в виде начальных и граничных  условий, математик получает сведения о происходящем явлении, иногда может  узнать его прошлое и будущее. Изучение математической модели математическими  методами позволяет не только получить качественные характеристики физических явлений и рассчитать с заданной степенью точности ход реального  процесса, но и дает возможность  проникнуть в суть физических явлений, а иногда предсказать и новые  физические эффекты. Бывает, что сама природа физического явления  подсказывает и подходы, и методы математического исследования. Критерием  правильности выбора математической модели является практика, сопоставление данных математического исследования с  экспериментальными данными.

Для составления математической модели в виде дифференциальных уравнений  нужно, как правило, знать только локальные связи и не нужна  информация обо всем физическом явлении  в целом. Математическая модель дает возможность изучать явление  в целом, предсказать его развитие, делать качественные оценки измерений, происходящих в нем с течением времени. На основе анализа дифференциальных уравнений были открыты электромагнитные волны, и только после экспериментального подтверждения Герцем фактического существования электромагнитных колебаний  стало возможным рассматривать  уравнения Максвелла как математическую модель реального физического явления.

Как известно, теория обыкновенных дифференциальных уравнений начала развиваться в  XVII веке одновременно с возникновением дифференциального и интегрального исчисления. Можно сказать, что необходимость решать дифференциальные уравнения для нужд механики, то есть находить траектории движений, в свою очередь, явилась толчком для создания Ньютоном нового исчисления. Законы Ньютона представляют собой математическую модель механического движения. Через обыкновенные дифференциальные уравнения шли приложения нового исчисления к задачам геометрии и механики. В небесной механике оказалось возможным не только получить и объяснить уже известные факты, но и сделать новые открытия (например, открытие Леверье в 1846 году планеты Нептун на основе анализа дифференциальных уравнений).

Изучение математических моделей  конкретных физических задач привело  к созданию в середине XVIII века новой ветви анализа – уравнений математической физики, которую можно рассматривать как науку о математических моделях физических явлений. Основы этой науки были заложены трудами Даламбера (1717 - 1783), Эйлера (1707 - 1783), Бернулли (1700 - 1782), Лагранжа (1736 - 1813), Лапласа (1749 - 1827), Пуассона (1781 - 1840), Фурье (1768 - 1830) и других ученых. Разработанные ими при исследовании конкретных задач математической физики идеи и методы оказались применимыми к изучению широких классов дифференциальных уравнений, что и послужило в конце XIX века основой для развития общей теории дифференциальных уравнений. А. Пуанкаре говорил: «Математика – это искусство давать разным вещам одно наименование». Эти слова являются выражением того, что математика изучает одним методом, с помощью математической модели, различные явления действительного мира.

Итак, первая черта теории дифференциальных уравнений – ее тесная связь с  приложениями. Другими словами, можно  сказать, что теория дифференциальных уравнений родилась из приложений. В этом своем разделе – теории дифференциальных уравнений – математика, прежде всего, выступает как неотъемлемая часть естествознания, на которой  основывается вывод и понимание  количественных и качественных закономерностей, составляющих содержание наук о природе. Именно естествознание является для  теории дифференциальных уравнений  источником новых проблем, оно в  значительной мере определяет направление  их исследований, дает правильную ориентацию этим исследованиям. Более того, дифференциальные уравнения не могут плодотворно  развиваться в отрыве от физических задач.

Второй  особенностью теории дифференциальных уравнений является ее связь с другими разделами математики, такими, как функциональный анализ, алгебра и теория вероятностей. Теория дифференциальных уравнений и особенно теория уравнений с частными производными широко используют основные понятия, идеи и методы этих областей математики и, более того, влияют на их проблематику и характер исследований. Некоторые большие и важные разделы математики были вызваны к жизни задачами теории дифференциальных уравнений. В теории дифференциальных уравнений ясно прослеживается основная линия развития математики: от конкретного и частного через абстракцию к конкретному и частному.

Многие разделы теории дифференциальных уравнений так разрослись, что  стали самостоятельными науками. Можно  сказать, что большая часть путей, связывающих абстрактные математические теории и естественнонаучные приложения, проходит через дифференциальные уравнения. Все это обеспечивает теории дифференциальных уравнений почетное место в современной  науке.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Маятник

 

Маятник — система, подвешенная в поле тяжести и совершающая механические колебания. Колебания совершаются под действием силы тяжести, силы упругости и силы трения. Во многих случаях трением можно пренебречь, а от сил упругости (либо сил тяжести) отказаться, заменив их связями.

Во время колебаний маятника происходят постоянные превращения  энергии из одного вида в другой. Кинетическая энергия маятника превращается в потенциальную энергию (гравитационную, упругую) и обратно. Кроме того, постепенно происходит переход кинетической энергии в тепловую за счёт сил трения.

Одним из простейших маятников является шарик, подвешенный на нити. Идеализацией этого случая является математический маятник (рис1)— механическая система, состоящая из материальной точки, подвешенной на невесомой нерастяжимой нити или на невесомом стержне в поле тяжести.

Если размерами массивного тела пренебречь нельзя, но всё еще можно  не учитывать упругих колебаний  тела, то можно прийти к понятию  физического маятника. Физический маятник — твёрдое тело, совершающее колебания в поле каких-либо сил относительно точки, не являющейся центром масс этого тела, или неподвижной горизонтальной оси, не проходящей через центр масс этого тела.

Рис 1. Математический маятник

 

Мы рассмотрим подробнее математический маятник.

 

 

 

 

 

Уравнение колебаний математического  маятника

Период малых собственных колебаний математического маятника длины L неподвижно подвешенного в однородном поле тяжести с ускорением свободного падения g равен

и не зависит от амплитуды и массы маятника.

Плоский математический маятник со стержнем — система с одной степенью свободы. Если же стержень заменить на растяжимую нить, то это система с двумя степенями свободы со связью.

Колебания математического маятника описываются обыкновенным дифференциальным уравнением вида

                                            

где ω ― положительная константа, определяемая исключительно из параметров маятника. Неизвестная функция x(t) ― это угол отклонения маятника в момент t от нижнего положения равновесия, выраженный в радианах; , где L ― длина подвеса, g ― ускорение свободного падения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнение малых колебаний маятника около нижнего положения равновесия (т. н. гармоническое уравнение) имеет вид:

                                                    .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решения уравнения движения

Маятник, совершающий малые колебания, движется по синусоиде. Поскольку уравнение  движения является обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка, для определения закона движения маятника необходимо задать два начальных условия — координату и скорость, из которых определяются две независимых константы:

где A — амплитуда колебаний маятника, θ₀ — начальная фаза колебаний, ω — циклическая частота, которая определяется из уравнения движения. Движение, совершаемое маятником, называется гармоническими колебаниями

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Используемая литература

1. [ http://ru.wikipedia.org/]

2. [http://physics-lectures.ru/]

3. [http://www.xenoid.ru/]