Автор: Пользователь скрыл имя, 13 Января 2012 в 02:26, реферат
Легко проверить, что множество векторов трехмерного простраства является вещественным линейным пространством. Действительно, первые четыре свойства векторов из теоремы 1 означают, что векторы образуют абелеву группу по сложению, а последние четыре свойства из той же теоремы соответствуют требованиям 1-4 к операции умножения на элементы поля (в данном случае на вещественные числа).
Определение и примеры
Определение Пусть -- поле, -- некоторое множество, на котором задана операция сложения, обозначаемая знаком "+", и операция умножения на элемент поля , то есть любому элементу , , и любому элементу , , сопоставляется элемент из множества , называемый произведением на и обозначаемый . Множество называется линейным или векторным пространством над полем , если по отношению к операции сложения множество является абелевой группой, и для любых из поля и любых из множества выполнены равенства:
В дальнейшем в качестве поля используется или поле вещественных чисел, или поле комплексных чисел. В первом случае множество называется вещественным линейным пространством, во втором -- комплексным линейным пространством.
Легко проверить, что множество векторов трехмерного простраства является вещественным линейным пространством. Действительно, первые четыре свойства векторов из теоремы 1 означают, что векторы образуют абелеву группу по сложению, а последние четыре свойства из той же теоремы соответствуют требованиям 1-4 к операции умножения на элементы поля (в данном случае на вещественные числа).
По аналогии с трехмерным векторным пространством элементы любого линейного пространства называются векторами, хотя природа этих элементов может быть совсем иная.
Другими примерами вещественных линейных пространств могут служить:
В примерах 2-4 нулевым вектором является многочлен или функция тождественно равная нулю, то есть равная нулю при всех значениях аргумента. Проверку того, что указанные множества являются линейными пространствами, предоставляем читателю.
Если в примерах 1-3 слово "вещественными" заменить на "комплексными", то получим примеры комплексных линейных пространств.
Пример
Рассмотрим еще один пример линейного
пространства. Пусть имеется однородная
система линейных уравнений, которую запишем
в матричном виде
, где
-- матрица системы, а
-- столбец неизвестных. В силу предложения
15.3 столбцы-решения
системы можно складывать и умножать на
число. При этом будут получаться снова
решения этой системы. Значит, на множестве
решений определены операции сложения
и умножения на число. Легко проверить,
что эти операции удовлетворяют требованиям
из определения линейного пространства.
Итак, множество решений однородной системы
линейных уравнений является линейным
пространством. Если матрица
имеет вещественные элементы, то и пространство
будет вещественным, если комплексные --
то и пространство будет комплексным.
Базис и размерность пространства
Так как в линейном пространстве векторы можно складывать и умножать на числа, то из них можно составлять линейные комбинации и можно ввести понятия линейной зависимости и линейной независимости системы векторов так же, как это было сделано в разделе "Линейная зависимость векторов". На случай произвольного линейного пространства определения 10.14 и 10.15 переносятся дословно. Предложения 10.6, 10.7, 10.8 переносятся дословно вместе с доказательствами.
На основе линейной зависимости в линейном пространстве вводится определение базиса. Оно почти дословно совпадает с определением 10.16.
Определение 2 Базисом линейного пространства называется такая конечная упорядоченная линейно независимая система векторов, что любой вектор пространства является линейной комбинацией этих векторов.
В отличие от трехмерного пространства векторов, в некоторых линейных пространствах базис не существует.
Пример 2 Пусть -- линейное пространство всех многочленов с веществеными коэффициентами. Покажем, что в этом пространстве базис не существует.
Предположим противное. Пусть векторы образуют в этом пространстве базис.
Каждый вектор пространства -- это многочлен. Пусть
|
|
|
|
|
|
|
Из степеней многочленов выберем наибольшую и обозначим ее буквой . Возьмем многочлен . Так как и векторы образуют базис, то , где -- вещественные числа. Следовательно, является суммой многочленов степеней меньших, чем , и поэтому его степень должна быть меньше, чем . С другой стороны, по определению, многочлен имеет степень . Получили противоречие. Значит, предположение о существовании базиса неверно.
Теорема 1 В линейном пространстве любые два базиса содержат одинаковое число векторов.
Доказательство теоремы мы приводить не будем. Желающие могут найти его в любом учебнике по линейной алгебре, например в [1].
Определение 3 Линейное пространство , в котором существует базис, состоящий из векторов, называется -мерным линейным или векторным пространством. Число называется размерностью пространства и обозначается . Линейное пространство, в котором не существует базис, называется бесконечномерным.
Примером бесконечномерного пространства является пространство всех многочленов с вещественными коэффициентами. Как показано в примере 18.2 в этом пространстве базис отсутствует.
Предложение 1 Пространство столбцов из элементов, являющихся вещественными числами, имеет рамерность .
Доказательство. Возьмем систему векторов
Покажем, что
эта система линейно
Преобразуем левую часть, откуда , , . Итак, система векторов -- линейно независима.
Пусть -- произвольный вектор пространства, Очевидно, что
Следовательно, вектор является линейной комбинацией векторов . Тем самым доказано, что векторы образуют базис в пространстве столбцов из элементов. Размерность пространства равна числу векторов в базисе. Следовательно, пространство -- -мерное.
Пространство столбцов из элементов, являющихся вещественными числами, обозначается .
Предложение 2 Пространство столбцов из элементов, являющихся комплексными числами, имеет размерность .
Доказательство такое же, как и в предыдущем предложении. Это пространство обозначается .
Пример
3 Пространство решений однородной
системы линейных уравнений
имеет базис из
решений, где
-- число неизвестных, а
-- ранг матрицы
. Этим базисом служит фундаментальная
система решений
Координаты векторов
Определение 4 Пусть -- -мерное линейное пространство, вещественное или комплексное, -- базис. Тогда произвольный вектор из представим в виде линейной комбинации векторов базиса:
Числа называются координатами вектора в базисе . Столбец из координат вектора называется координатным столбцом вектора .
Предложение 3 Координаты вектора в заданном базисе определяются однозначно.
Доказательство. Предположим противное. Пусть -- базис, в котором у вектора есть два различных набора координат:
Тогда
то есть
Так как наборы координат различны, то хотя бы один из коэффициентов справа отличен от нуля. Следовательно, векторы -- линейно зависимы, что противоречит определению базиса. Полученное противоречие означает, что предположение о наличии двух различных наборов координат неверно.
Предложение 4 Пусть в -мерном пространстве задан базис . Тогда координатный столбец суммы векторов равен сумме координатных столбцов слагаемых, координатный столбец произведения вектора на число равен координатному столбцу вектора, умноженному на это число.
Доказательство. Пусть векторы и имеют координатные столбцы и соответственно. Отсюда следует, что
Поэтому
Это равенство означает, что координатный столбец вектора имеет вид . Первая часть предложения доказана. Доказательство второй части предоставляем читателю.
Из последнего
предложения следует, что как
только в
-мерном пространстве зафиксирован базис,
каждый вектор можно заменить его координатным
столбцом, и операциям сложения и умножения
на число соответствуют такие же операции
над их координатными столбцами. Таким
образом, каждое
-мерное пространство является, с точки
зрения алгебры, копией пространства
в вещественном случае, а в комплексном --
копией
Изменение координат вектора при изменении базиса
Пусть в -мерном линейном пространстве выбран базис , который мы будем для удобства называть "старый" и другой базис , который мы будем называть "новый". Возьмем призвольный вектор из . Его координатный столбец в старом базисе обозначим , а в новом -- . Нам нужно выяснить, как связаны друг с другом координаты в старом и в новом базисе. Для этого нам сначала нужно "связать" друг с другом старый и новый базисы. Запишем разложения новых базисных векторов по старому базису
Составим матрицу, столбцами которой служат координатные столбцы векторов нового базиса
Эта матрица называется матрицей перехода от старого базиса к новому.
Замечание 1 Матрица перехода всегда невырождена, то есть .
Предложение 5 Координатные столбцы в старом базисе и в новом базисе связаны формулой
|
где справа стоит произведение матрицы перехода на матрицу-столбец.
Доказательство. Так как -- координатный столбец вектора в новом базисе, то
Заменив векторы их разложениями по старому базису, получим
В силу предложения 14.3 изменим порядок суммирования
Здесь мы получили разложение вектора по старому базису, причем координата вектора с номером равна . Элемент с номером столбца будет иметь такой же вид. Следовательно, формула (18.1) доказана.