Линейное программирвание

  Столбец симплекс-таблицы, в  котором находится  вводимая в базис  переменная называется ведущим столбцом.

  В примере ведущим будет столбец  при x₂.

  Шаг 3. Если в ведущем столбце все элементы отрицательны, то решения задачи не существует и max f(x. В примере все элементы ведущего столбца положительны, следовательно, можно найти максимальное значение¥ ®)  x₂, при котором одна из старых базисных переменных обратится в ноль. Напомним, что максимальное значение x₂ =min{4/2, 12/2}=2.

  По  таблице это значение вычисляется  как наименьшее из отношений компонент базисного плана (из последнего столбца) к соответствующим положительным элементам ведущего столбца.

  Наименьшее  отношение находится в строке с базисной переменной x_3. Значит переменнаяx₃ исключается из состава базисных переменных (x₃ = 0).

  Строка, содержащая переменную, исключаемую из базиса, называется ведущей  строкой.

  В примере ведущей строкой будет  первая строка.

  Элемент, находящийся на пересечение  ведущей строки и  ведущего столбца, называется ведущим элементом.

  В нашем случае ведущий элемент a₁₂ = 2.

  Табл. 2 - Начальная симплекс-таблица с  ведущими строкой и столбцом

  Шаг 4. Для получения нового базисного плана приведем задачу к новому предпочтительному виду относительно новых базисных переменных. 

  Для этого построим новую симплекс-таблицу, во втором столбце которой вместо исключаемой переменной x₃ запишем новую базисную переменную x₂, а в первом столбце (с_Б) вместо с₃ запишем коэффициент целевой функции при x₂ : c₂=2. В новой симплекс таблице столбец при x₂ должен стать единичным (ведущий элемент должен равняться единице, а все остальные элементы должны обратиться в ноль). Это достигается следующими преобразованиями строк таблицы.

  a.     Все элементы ведущей строки делим на ведущий элемент и записываем в той же строке новой симплекс- таблицы.

  Полученную  строку p₁' назовем разрешающей.

  b.     К оставшейся второй строке прибавим разрешающую строку, умноженную на такое число, чтобы элемент, стоящий в ведущем столбце обратился в ноль.

  p₂' = p₂ + (- 2) p₁' = p₂ - p_1.

  c.      Заполним последнюю строку, вычислив оценки D_j' = < c_Б', A_j' > - - c_j, гдеc_Б', A_j' - соответствующие столбцы новой симплекс-таблицы, и значение целевой функцииf(x)= < c_Б', x_Б' >.

  Получим вторую симплекс-таблицу с новым  базисом.

  Таблица 3 - Результат первой итерации

  Новый базисный план x' = (0, x₂, 0, x₄₎ = (0, 2, 0, 8).

  Поскольку оценка D₁= -2 < 0, то план x' не оптимален. Для перехода к новому базисному плану (соседней угловой точки) проведем еще одну итерацию симплекс - метода. 

  Так как D₁ < 0, то в базис вводится переменная x₁. Первый столбец, содержащий x₁ -ведущий.

  Находим отношения компонент базисного  плана к соответствующим положительнымэлементам ведущего столбца и в качестве ведущей строки берем строку с наименьшим отношением. В таблице 2 в ведущем столбце только второй элемент больше нуля (= 4), следовательно, вторая строка будет ведущей, а расположенная в ней базисная переменнаяx₄ подлежит исключению из базиса. 

  Выделяем  ведущий столбец и ведущую  строку и на их пересечении находим ведущий элемент (= 4).

  Строим  новую (третью) симплекс-таблицу, заменяя  в ней базисную переменную x₄ на x_1,и снова преобразуя строки таблицы таким образом, чтобы ведущий элемент стал равным единице, а остальные элементы ведущего столбца обратились в ноль. Для этого ведущую (вторую) строку делим на 4, а к первой строке прибавляем полученную вторую строку, деленную на 2. Последнюю строку вычисляем по формулам для симплексных оценок D_j'' = < c_Б'', A_j'' > - c_j, где c_Б'', A_j'' - соответствующие столбцы новой симплекс-таблицы. Значение целевой функции на новом базисном плане находим по формуле f(x'')= < c_Б'', x_Б'' >.

  Таблица 4 - Результат второй итерации

  Новый базисный план x'' = (x₁, x₂, 0, 0₎ = (2, 3, 0, 0). Поскольку все оценки неотрицательны, то план x'' - оптимальный план.

  Таким образом, x* = (2, 3, 0, 0), f(x*) = 8.

 
ЗАКЛЮЧЕНИЕ

  Рассмотренные способы решения задач линейного  программирования широко используются на практике. Однако следует отметить, что математическая модель всегда беднее реальной экономической системы. Она  описывает эту систему лишь приблизительно, выделяя одни свойства и пренебрегая  другими. Для компенсации указанного недостатка в математической экономике  разрабатывается несколько типов  моделей, каждый из которых призван  отразить какую-то одну определённую сторону  экономической действительности с  тем, чтобы при решении конкретной экономической задачи можно было подобрать такую модель, которая  лучше всего к ней подходит.

 
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

  1.           Ашманов С.А. Линейное программирование. – М.: Наука, 1981.

  2.           Кузнецов Ю.Н., Кузубов В.И., Волощенко А.Б. Математическое программирование. – М.: Высшая школа, 1980.

  3.           Калихман И.Л. Линейная алгебра и программирование. – М.: Высшая школа, 1967.

  4.           Нит И.В. Линейное программирование. – М.: Изд-во МГУ, 1978.

  5.           Юдин Д.Б., Гольштейн Е.Г. Линейное программирование. Теория и конечные методы. – М.: Физматиз, 1963.

  6.           Тарасенко Н.В. Математика-2. Линейное программирование: курс лекций. – Иркутск: изд-во БГУЭП, 2003.

  7.           Математическое программирование в примерах и задачах: Учеб. пособие. – 2-е изд., испр. и доп. – М.: Высш. шк., 1993. – 336 с.

  8.           www.yandex.ru

  9.           www.mathematica.ru

  10.      www.monax.ru