Линейная производственная задача

Пояснения к таблицам.

Хб- базисная переменная;

Н -  значение переменной при равных нулю значениях небазисных переменных.

aij* - разрешающий элемент.

Z=Сб*Gj-Cj; Gj=(а1j, a2j, a3j)

Пояснения к решению задачи. Алгоритм решения.

Просматриваем значения 4-й строки. Если все j  0 ,то решение задачи оптимально.

Если какие-либо j < 0, находим min(j < 0) = к.

Хк включаем в число базисных переменных.

Отыскиваем переменную исключаемую из базиса :

находим min(H/Gj) = H2/G2 (для всех Gj > 0);

Х5 исключаем из числа базисных переменных.

Строим новую симплексную таблицу, преобразуя исходную.

Возвращаемся в пункт 1.

Опорный план первой симплексной таблицы.

              X=(0, 0, 0, 0, 162, 134, 148)

              Этот опорный план отражает производство, при котором ничего не выпускается, сырьё не используется и стоимость произведённой продукции равна 0.

              В строке оценочных коэффициентов имеются отрицательные значения, которые показывают на сколько увеличится прибыль от производства продукции при включении в план производства одной единицы продукции того или иного вида. Наиболее выгодным в данной задаче  будет внедрение в производство третьего вида продукции, так как ему соответствует максимальная прибыль 31 денежных единиц. Поэтому x3 становится базисной неизвестной и запускается вторая технология. Так же определяем технологию, которую надо исключить из производства. Ограничивающим фактором будет объём сырья третьего вида, так как из него можно произвести наименьшее количество продукции первого вида, так как ему соответствует наименьшее α равное 10.

Опорный план второй симплексной таблицы.

              X=(0, 148/3, 0, 0, 190/3, 0, 134)

              Стоимость продукции при таком плане производства z=4588/3 денежных единиц.

Значение в столбцах данной симплексной таблицы показывают соотношение выпуска определённых видов продукции, либо затраты ресурсов при дополнительном вводе в производство какого-либо вида продукции

По этой таблице определяем, что наибольший прирост прибыли принесёт первый вид продукции. При исключении из базиса x6 неиспользованный второй ресурс полностью уйдёт в производство. С учётом этого составляем третью симплексную таблицу.

Опорный план третьей симплексной таблицы.

X=(38, 0, 24, 0, 0,20, 0)

При данном плане производства достигается прибыль в размере 1656 денежных единиц.

Этот план не предполагает выпуска третьей и четвёртой продукции.

Все  j  0 следовательно, план оптимален.

Выводы.

Оптимальная производственная программа имеет вид :

Х1=38, Х2=0, Х3=24, Х4=0, или Х=(38,0,24,0).

Максимальная прибыль равна Zmax=1656.

Использование ресурсов:

     1-й и 3-ий ресурс используется полностью (Х5=0,Х6=0), а 2-ый ресурс имеет  остаток Х7=20 единиц.

При выполнении производственной программы 1-й и 2-ий ресурсы используются полностью, то есть образуют  “узкие места производства”.

СОСТАВЛЕНИЕ МОДЕЛИ НОВОЙ ПРОИЗВОДСTВЕННОЙ ПРОГРАММЫ С УЧЁТОМ ПРОПОРЦИЙ.

Пусть для выпуска продукции требуется некоторые затраты в определённых пропорциях. Пусть  = 1,  = 2, =1, =3, тогда: 2x1 = x3, а 3х2 = х4.

              Исходя из полученных данных получаем, что математическая модель производственной задачи с учётом полученных пропорций примет вид:

P(x)=24x1 + 31x3max

   x3  81+ 1,5x2

    x3 74 –2/3x2 

        x1  0, x2  0

Х1=38; Х2=24

Полученную задачу можно решить графически.

              Решение задачи приведено на Рис. 1.

Решение задачи находится в точке А с координатами x1 = 38, x2 = 24, откуда оптимальный план производства: x1 = 38, x2 = 24,  а максимальная прибыль составит P(x)max = 1656

ФОРМУЛИРОВКА ДВОЙСТВЕННОЙ ЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧИ И ЕЁ РЕШЕНИЕ  ДВОЙСТВЕННЫМ СИМПЛЕКСНЫМ МЕТОДОМ.

Задача линейного оптимального планирования - исходная в своей паре симметричных двойственных задач. Вообще же другая задача в двойственной паре строится так:.

1) каждому неравенству-ограничению исходной задачи ставим в соответствие переменную двойственной задачи (у), принимающую неотрицательные значения;

2) транспонируем матрицу коэффициентов при неизвестных;

3) правые части ограничений заменяем коэффициентами целевой функции;

4) меняем направление неравенств;

5) коэффициенты целевой функции заменяем правыми частями ограничений;

6) то максимизации целевой функции переходим к минимизации.

Обе задачи выглядят так

P= 24*x1+20*x2+31*x3+10*x4-->max    S= 162*y1+134*y2+148*y3  -->min

     3*x1+0*x2+2*x3+5*x4<=162                   3*y1+3*y2+2*y3>=24

     3*x1+6*x2+0*x3+3*x4<=134                   0*y1+6*y2+4*y3>=20

     2*x1+4*x2+3*x3+1*x4<=148                   2*y1+0*y2+3*y3>=31

     x1,x2,x3,x4>=0                                         5*y1+3*y2+1*y3>=10

                                                                          y1,y2,y3>=0

  Симплексная таблица N 3

Исходная задача: x1= 38;x2= 0;x3=24;x4=0;x5=0;x6=20;x7= 0;

Двойственная задача: y1=2; y2=0; y3=9 Заметим, что данное решение содержалось в последней строке последней симплексной таблицы исходной задачи. Экстремумы целевых функций исходной и двойственной задач равны 1656.Решение одной из пары двойственных задач можно найти, зная только ответ к другой задаче и пользуясь 2-й теоремой двойственности: если i-е ограничение одной из пары двойственных задач на компонентах оптимального решения есть строгое неравенство, то оптимальное значение i-й переменной другой задачи равно 0, или, что то же самое - если оптимальное значение j-й  переменной одной задачи строго положительно, то  j-е ограничение другой из пары двойственных задач на компонентах оптимального решения есть равенство.

Экономический смысл полученных результатов.

Смысл двойственных оценок ресурсов у1=2, у2=0, у3=9 показывает, что добавление одной единицы 1-го (2-го;3-го) ресурса обеспечит прирост прибыли на 2 (0, 9) денежных единиц.

“РАСШИВКА УЗКИХ МЕСТ“ ПРОИЗВОДСТВА. ФОРМУЛИРОВКА И СОСТАВЛЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ.

При выполнении оптимальной производственной программ первый и третий ресурсы используются полностью, то есть образуют “узкие места производства”. Будем заказывать их дополнительно. T=(t1, 0,t3) – вектор дополнительных объёмов ресурсов.

Итак, необходимо составить план “расшивки узких мест“ производства, то есть указать, сколько единиц каждого из дефицитных видов ресурсов должно быть приобретено, чтобы суммарный прирост прибыли был максимальным при условии, что для расчетов используются найденные двойственные оценки ресурсов.

Так как мы используем найденные оценки ресурсов, то должно выполняться условие:

Q  (B + T)  0   Q  B + Q  T  0    H + Q  T 0 

Итак задача состоит в том, чтобы найти вектор  T=(t1, t2, t3) такой, что

 = у1t1 + y2t2 + y3t3  max ,

где  – суммарный прирост прибыли, при условии сохранения двойственных оценок ресурсов (и следовательно структуры производственной программы)

H = Q  T  0.

Подставив соответствующие значения, получим требуемую математическую модель:

=2t1+ 9t2  max                      (1)

38                 3/5                            0                               -2/5                            t1                            0

20    +   -9/5                            1                                        6/5       *              t2                     0

24                -2/5                            0                                13/15              0                            0

              предполагая, что дополнительно можно надеяться получить не более 1/3 первоначального объёма ресурса каждого вида, то есть

t1                      162

t2     1/3   134

0                     148

              причём по смыслу задачи t1   0, t3  0. Перепишем неравенства в другом виде. Получим:

=2t1 + 9t3  max                                                 

      -3/5t1 +  2/5t3 38                                              -3t1 +  2t3 190

      9/5t1-6/5t3                     20                            9t1-6t3       100 

      2/5t1  – 13/15t3  24                                                2t1  – 13/3t3  129              

           t1  54, t3  148/3                             t1  54, t3  148/3                

Эту задачу легко решить графически: см. рис. 2

По графику на рисунке 2 видно, что решение данной задачи находится в точке А(25;0). Таким образом программа «Расшивки узких мест производства» имеет вид: t1=54, t2=0, t3=64,3 и прирост прибыли составит = 686,7

ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА.

Транспортная задача формулируется следующим образом. Однородный продукт, сосредоточенный в m пунктах производства (хранения) в количествах   A=(а1, а2,..., аm) единиц, необходимо распределить между n пунктами потребления, которым необходимо соответственно B=(b1, b2,..., bn) единиц. Стоимость перевозки единицы продукта из i-го пункта отправления в j-ый пункт назначения равна C=|сij|  и известна для всех маршрутов. Необходимо составить план перевозок, при котором запросы всех пунктов потребления были бы удовлетворены за счет имеющихся продуктов в пунктах производства и общие транспортные расходы  по доставке продуктов были минимальными.

          1  2  2  5

С =               3  1  3  2 – матрица транспортных издержек

                      2  4  3  1

                   30

B=                45    -- вектор объёма ресурсов

                       54

A= (24; 20; 31; 40)  -- вектор объёма потребления

В нашей задаче 4 потребителя и 3 поставщика, причём суммарный объем поставок равный 129 превышает суммарный объем потребления равный 115. Поэтому для решения задачи  ведём дополнительно ещё одного потребителя, с потреблением равным 14.