Кривые, как геометрическое место точек

A’F₂ = A’F' и A’F₁ – A’F₂ = A’F₁ – A’F' < F₁F' = c.

Следовательно, прямая a является касательной.

Фокальное свойство гиперболы. Если источник света поместить в один из фокусов гиперболы, то лучи, отразившись от гиперболы, пойдут так, как будто бы они исходят из другого фокуса.  
    Пусть A – точка падения луча, исходящего из фокуса F₁ гиперболы, a – касательная (рис. 13). Тогда углы 1 и 2 равны, так как касательная a содержит биссектрису углаF₁AF₂. Углы 2 и 3 равны, как вертикальные углы. Следовательно, углы 1 и 3 равны. Поскольку угол падения луча света в точке A равен углу 3, то угол отражения будет равен углу 1, т.е. луч света после отражения в точке A пойдет в направлении AF₂.  
    Построение касательной к гиперболе. Пусть гипербола задана своими фокусами и константой c. Используя циркуль и линейку, построим касательную к гиперболе, проходящую через данную точку C.  
    С центром в точке C и радиусом CF₂ проведем окружность. С центром в точке F₁ и радиусом c проведем другую окружность и найдем ее точки пересечения с первой окружностью (рис. 14). Таких точек может быть две F’, F”, одна или ни одной в зависимости от расположения точки C. В первом случае проведем биссектрисы угловF’СF₂, F”СF₂. Соответствующие прямые a’, a” являются серединными перпендикулярами к отрезкам F’F₂, F”F₂ и, значит, будут искомыми касательными к эллипсу. Для построения точек касания проведем прямые F₁F’, F₁F” и найдем их точки пересечения A’, A” с касательными a’, a” соответственно. Они и будут искомыми.  
    Во втором случае, когда проведенные окружности имеют одну общую точку (касаются), будем иметь одну касательную. Если же окружности не имеют общих точек, то касательных нет.  
    Лабораторная работа. Укажем способ получения гиперболы из листа бумаги. Вырежем из листа бумаги круг и отметим точку F на оставшейся части листа. Сложим лист так, чтобы эта точка совместилась с какой-нибудь точкой F’ окружности вырезанного круга, и на бумаге образовалась линия сгиба. Разогнем лист и снова согнем его, совместив точку с другой точкой окружности. Сделаем так несколько раз. Линии сгибов будут касательными к гиперболе. Граница участка внутри этих сгибов будет иметь форму гиперболы.

4. Именные кривые   

 Рассмотрим  еще несколько классических кривых, определяемых как геометрические  места точек, носящих имена  ученых, занимавшихся их изучением.  
    Лемниската Бернулли представляет собой геометрическое место точек, произведение расстояний от которых до двух фиксированных точек F₁и F₂ равно a², где 2a – расстояние между F₁и F₂. Точки F₁, F₂ называются фокусами лемнискаты (рис. 15).

Конхоида  Никомеда – кривая, определяемая следующим образом. Через точку O, называемую полюсом конхоиды и отстоящую от прямой a, называемой ее базисом, на расстояние d, проведем прямую c, пересекающую прямую a в точке C. Отложим на прямой c по обе стороны от точки C на данном расстоянии l от нее точки C₁ и C₂,CC₁= CC₂= l. Проводя всевозможные прямые c, получим геометрическое место точек C₁ и C₂, образующих две ветви конхоиды. На рисунке 16 показан случай, когда d < l.  
    Улитка Паскаля определяется так же как и конхоида, только в качестве базиса берется не прямая, а окружность. А именно, через точку O, называемую полюсом и расположенную на окружности радиуса R, называемой базисом, проведем прямую c, пересекающую окружность в точке C. Отложим на прямой c по обе стороны от точки C, на данном расстоянии l от нее, точки C₁ и C₂, CC₁= CC₂= l. Проводя всевозможные прямые c, получим геометрическое место точек C₁ и C₂, образующих улитку Паскаля. На рисунке 17 показан случай, когда 2R > l.

Строфоида.Пусть дана прямая a и точка O, ей не принадлежащая. Опустим из точки O на прямую a перпендикуляр OA. Для точек C на прямой a рассмотрим лучи OCи будем откладывать на них отрезки CC₁ и CC₂ так, что CC₁=CC₂=CA. Геометрическое место таких точек C₁ и C₂ представляет собой кривую, называемую строфоидой (рис. 18). Точка O называется полюсом строфоиды.     

     Литература  
1. Березин В. Лемниската Бернулли //Квант. – 1977. № 1.  
2. Бронштейн И. Эллипс. Гипербола. Парабола /Такая разная геометрия. Составитель А.А. Егоров. – М.: Бюро Квантум, 2001. - / Приложение к журналу "Квант" № 2/2001.  
3. Васильев Н.Б., Гутенмахер В.Л. Прямые и кривые. – 3-е изд. – М.: МЦНМО, 2000.  
4. Маркушевич А.И. Замечательные кривые. – М.- Л.: Гос. изд. течн. – теор. лит., 1951. - / Популярные лекции по математике, выпуск 4.  
5. Савелов А.А. Плоские кривые. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 1960.

6. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия. Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2005.