Итак, функция возрастает при х [–∞; 1] и при х [2; +∞] и убывает при х [1; 2]; локальный минимум — у(2)=–1, локальный максимум — у(1)=0. 

     6). Используя пункт 3), получаем, что  множество значений функции Е(y) — вся числовая прямая, Е(у) = (—∞; +∞). 

     7). Находим точки перегиба функции  и устанавливаем промежутки, на  которых график функции обращен  выпуклостью вверх и вниз. Для  этого, прежде всего, вычисляем  производную второго порядка  и приравниваем её к нулю:

     у''(х)= (у'(х))'=(x² - 3x + 2)'=2х-3

     у"(х)=0 ↔ 2х - 3= 0 ↔ х=3/2=1,5.

     Для определения знаков второй производной  подставляем в неё числа из промежутков  и :  у"(0)=–3; у"(2)=1. 
 

 

     Теперь  необходимо найти значение функции  в точке перегиба и определить угол наклона касательной к графику  функции в этой точке:  
у(1,5)=-0,5, тангенс угла наклона равен значению производной в данной точке у'(1,5)=tgα=1,5. Следовательно, касательная к графику проходит через точки D(1,5; -0,5) Е(3,5;-3,5). Проводим через точки D и E прямую (DE). График функции у(х) должен касаться прямой (DE) в точке D.

     8). На этом исследование функции  закончено и остаётся лишь  вычислить её значения в некотором  числе точек, достаточном для  построения графика, и построить  график.

 

     

     б). Исследовать функцию . 

     Решение 

     1). Так как D 2(х - 6)² = R и D( )=М, то функция g(х) определена и непрерывна на

     всей  числовой прямой.

     2). Функция не является ни чётной  ни нечётной, поскольку 

     g(1)= ;

     g(-1) = и g(–1)≠g(1)

     3)

     

     Следовательно, nак как функция g(х) определена на всей числовой оси и   функция имеет левую горизонтальную асимптоту y =0. 

     4). Так как g(0)=2(0-6)²• =72 ≈3,58, то А(0;72 ) — точка пересечения графика с осью Оу.

     Для определения точек пересечения  графика с осью Ох решим уравнение g(х)=0, т. е. 2•(x-6)²• =0. Так как любая степень числа е положительна, мы можем разделить на 2 обе части уравнения:

     (x-6)² = 0; D=144-144=0; x=6.

     График функции пересекает ось Ох в точке B(6;0) и в силу своей непрерывности, функция g(х) не меняет своего знака на протяжений всей числовой оси т.к. и 2•(x-6)²>0. Отсюда вытекает, что g(х)>0 для всех действительных чисел x.

     5). Экстремумы. Промежутки возрастания  и убывания.

       

     Для определения критических точек  функции решим уравнение 

     

     g(х)=0 ↔ –(х² + 5х + 4) • е^-1/2(x+3)=0 ↔ х² + 5х + 4 = 0;

     критичαеские точки — х₁ = 6, x₂ = 2. 

     Локальный максимум— g(2)= 2•(2-6)²• ≈32/e², локальный минимум —  
g(6)= 2•(6-6)²• =0• =0.

     6). Используя пункты 3) - 5), получаем, что  Е(у)=(0;+∞). ´ββ

     7). Находим точки перегиба и промежутки  выпуклости.

          

 

     Теперь  необходимо найти значение функции  и значение производной (тангенс  угла наклона касательной к графику  функции) в точках перегиба:

       Вычислить значение функции в некотором числе промежуточных точек:

       

     9). Строим график функции.

     

 

Задача  4.

     Вычислить неопределённые интегралы  а) - г):

     а)    б)

     в)    г)  
 

     Решение 

     Сделаем подстановку Тогда

      , памятуя что получаем

     

Ответ:

     б)

Решение данной задачи основано на формуле  интегрирования по частям по формуле: (1)

В этой формуле принимаем за u функцию x и du=dx. Тогда и (так как мы находим первообразную, то «+С» не пишем). Подставим найденные u',v', u_,v' в формулу интегрирования по частям b используя получаем:

       

Ответ:  

     в)

     Найдем  корни уравнения  . Так как корнями уравнения является х₁=-7 и х₂=5, то по формуле ах²+bх+с=а(х+7)(x—5), знаменатель раскладываются на множители

      .

     Представим  дробь в виде следующей суммы:

     

     и найдём коэффициенты А и В. Приведём дроби в правой равенства части к общему знаменателю:

     

 

     

 

     Приравняв числители, получим

                  

     Подставляя  в последнее равенство х = 5, находим, что

     5 = А(5 – 5) +B(5+7) ↔ 5 = B • (12) ↔ B= 5/12.

     Подставляя  х=-7 в равенство (2), находим, что

     -7 = A(-7–5) +B(-7+7) ↔ -7=A • (-12) ↔ А = 7/12.

     Таким образом,  

     Итак,  

Ответ:  

     г)

     Напомним, что в том случае, когда дискриминант квадратного ах² + bх + с двучлена отрицателен, D=b²—4ас<0, справедливо равенство:

     

     Для вычисления интеграла  найдем дискриминант знаменателя D=18²—4•9•10=324-360=-36<0 и рассмотрим функцию у=9х²-18x+10. Для последующей замены переменной вычислим производную знаменателя у'=(9х²-18x+10)'=18x-18 и заметим, что 18х-3=(18x-18)+15.

     Отсюда,

     

     Вычислим  получившиеся интегралы по отдельности.

     1)

     

2)

     Подставляя  полученные выражения, окончательно получаем следующий ответ:

     

Ответ:

 

Задача  5.

     Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций g(х)=3х+4 и f(х) = -3х²+21x-11. Изобразить эту фигуру на координатной плоскости. 

Решение 

     Графиком  функции f(х) является парабола, ветви которой направлены вверх. Вычисляем производную функции f'(х)= - 6х+21 и находим координаты вершины параболы С:

       

Графиком  функции g(x)=3x+4 является прямая, проходящая через точки (0;4), (-4/3;0).

     Найдём  точки пресечения графиков функции: g(х)=f(x)

     -3х²+21x-11= 3x+4 ↔ -3х²+ 18х -15 = 0 ↔ х²- 6х + 5 = 0

     Заметим, что g(1) = f(1) = 7, g(5) = f(5) = 19.

     Пусть S — площадь фигуры ABC, ограниченной графиками функций. Так как f(x)≥ g(х) при х [1;5], то

       
 

     Ответ: 32 кв.ед

 

Задача  6.

     Найти общее решение  дифференциального  уравнения  . Построить графики двух частных решений этого уравнения. 

     Решение. 

1). Преобразуем  уравнение к виду  .

2) , где - const. 

Графиком частных  решений данного уравнения является множество парабол с общей  вершиной в точке А(-1;0)

Положив С₁=1, и С₂=-1 построим графики двух частных решений

y₁=(x+1)²,

y₂= -(x+1)²,

     

     Ответ:  

Задача  7.

     Найти частное у_ч.(х) решение дифференциального уравнения у'cosx+уsinx=2, удовлетворяющее (начальному) условию:  у_ч( )=2.