Автор: Пользователь скрыл имя, 20 Февраля 2011 в 12:36, контрольная работа
1. Исследовать на сходимость числовой ряд.
2. Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда.
3. Разложить в окрестности точки в степенной ряд функцию.
4. Вычислить интеграл , где D – прямоугольник .
5. Вычислить интеграл , где D – область, ограниченная линиями .
РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
ИНСТИТУТ
ДИСТАНЦИОННОГО ОБРАЗОВАНИЯ
Специальность «
Менеджмент организации
»
КОНТРОЛЬНАЯ
РАБОТА
По дисциплине: Высшая математика
Вариант № ____1___
Выполнил:
Студент __1__ курса
______1_____ семестр
Шошина Екатерина Анатольевна
№ зачетки- 32091031
Тюмень, 2010
Контрольная работа №1
«РЯДЫ И ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ»
Вариант
№1
1. Исследовать на сходимость числовой ряд:
Решение. К данному положительному ряду применяем признак Даламбера:
Значит, ряд расходится.
Ответ: расходится
2. Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда: .
Решение. Найдем радиус сходимости степенного ряда.
Итак, R=1, следовательно, , т. е. - интервал сходимости степенного ряда.
Исследуем ряд на концах интервала сходимости:
при х=–3 получаем ряд , для которого применим признак сравнения в предельной форме (сравним с гармоническим расходящимся рядом ):
, следовательно, ряды ведут себя одинаково, т. е. ряд расходится;
при получаем - знакочередующийся ряд, для которого ряд из модулей расходится (см. выше) и выполняются условия признака Лейбница (члены ряда убывают по абсолютной величине и общий член ряда стремится к нулю при ), следовательно, этот ряд сходится условно.
Ответ:
.
3. Разложить в окрестности точки в степенной ряд функцию .
Решение. Преобразуем функцию:
Теперь
воспользуемся известным
Заменяя х на , получаем: .
Полученное разложение верно при , т. е. при .
4. Вычислить интеграл , где D – прямоугольник .
Решение. Переходим к повторному интегралу:
5. Вычислить интеграл , где D – область, ограниченная линиями .
Решение. Изобразив область D, получим треугольник, который можно задать системой неравенств: Переходим к повторному интегралу:
Контрольная работа №2
«Дифференциальные уравнения»
Вариант
№1
1. Решить задачу Коши для уравнения:
Решение. Это дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Разделяем переменные (делим обе части уравнения на ) и интегрируем:
– общее решение данного уравнения.
Используя начальное условие , находим С: .
Тогда искомое решение задачи Коши имеет вид:
2. Найти общее решение дифференциального уравнения:
Решение. Это линейное неоднородное уравнение первого порядка. Представим его в виде и решим методом Бернулли. Пусть , где - некоторые функции от х. Тогда .
Уравнение примет вид:
Найдем какое-нибудь частное решение уравнения . Имеем:
.
При С=1 получаем .
Уравнение (*) примет вид: .
Тогда
Значит, - искомое общее решение.
3. Решить задачу Коши для уравнения:
Решение. Это линейное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Составим и решим характеристическое уравнение:
- корни действительные, различные.
Тогда
общее решение уравнения
При имеем: .
Из получаем .
При имеем: .
Решим систему уравнений:
Решение задачи Коши примет вид: .
4. Найти общее решение дифференциального уравнения:
Решение. Это линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его общее решение ищем в виде: .
1) Найдем - общее решение соответствующего однородного уравнения Составим и решим характеристическое уравнение:
- действ. корень кратности 2.
Тогда
общее решение уравнения
2) Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде
(т. к. правая часть уравнения имеет вид и не является корнем характеристического уравнения). Имеем:
Подставив в исходное уравнение выражения для , получаем:
Тогда . Таким образом, искомое общее решение примет вид:
Контрольная работа №3
«Линейная алгебра и аналитическая геометрия»
Вариант
№1
1. Найдя сначала обратную матрицу системы уравнений
решить затем эту систему методом обратной матрицы.
Решение. Матрица системы уравнений имеет вид: .
Сначала вычислим ее определитель по правилу треугольника:
Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы А:
Составляем обратную матрицу:
.
Решение матричного уравнения ищем в виде . Имеем:
2. Используя формулы Крамера, решить систему уравнений
указав в ответе отдельно величину определителя ∆ этой системы.
Решение. Вычислим определитель системы по правилу треугольника:
.
Теперь вычислим определители , полученные из определителя ∆ заменой 1-го, 2-го и 3-го столбцов соответственно столбцом свободных членов:
По формулам Крамера получаем:
3. Решить методом Гаусса систему уравнений:
Решение. Запишем расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду:
Получаем систему уравнений:
Ответ:
4. Найти уравнение касательной к гиперболе в точке .
Решение. Уравнение прямой будем искать в виде .
Так как точка принадлежит искомой касательной, подставляя ее координаты в уравнение , получим тождество или
(*).
Прямая и гипербола имеют единственную общую точку (касаются). Следовательно, система уравнений имеет единственное решение. Подставив в левую часть второго уравнения вместо у его выражение из первого уравнения, получим: или . Это – квадратное уравнение, имеющее единственное решение в случае, когда дискриминант равен нулю. Таким образом, или (**).
Теперь для параметров к и в прямой имеем два условия (*) и (**). Следовательно, искомые значения параметров находятся как решения системы из этих условий:
Подстановкой вместо в во второе уравнение его выражения из первого,
получим или , откуда , тогда , откуда .
Тогда – искомое уравнение касательной.
5. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку , параллельно плоскости .
Решение. Ищем уравнение плоскости в виде . Две параллельные плоскости имеют общую нормаль. Координаты нормали заданной плоскости Следовательно, уравнение искомой плоскости имеет вид: .
Информация о работе Контрольная работа по "Высшей математике"