Контрольная работа по "Теории вероятностей"

1. В студенческой группе из 30 человек 18 юноши. Какова вероятность того, что среди выбранных наугад 7 человек будет 5 юношей?

Решение

Искомая вероятность:

P = , где

m – число благоприятных исходов,

N – число всех возможных исходов.

N есть количество всех способов выбрать любых 7 человек из 30. При этом не имеет значения последовательность выбираемых юношей и девушек, важно лишь их количество. Поэтому N определяется , как число сочетаний 7 из 30.

N = C₃₀⁷ =

m – количество способов выбрать 5 человек из 18 юношей (C₁₈⁵), при этом для каждого из этих способов есть C₁₂² способов выбрать оставшихся 2 из 12 девушек.

m = C₁₈⁵C₁₂²  =

P = = = 0,2778

 

2. На 6 карточках написаны буквы А, А, С, Т, Р, П. После тщательного перемешивания берут по одной карточке и кладут последовательно рядом. Какова вероятность того, что получится слово «САТРАП»?

Решение

Обозначим карточки А, А, С, Т, Р, П цифрами 1,2,3,4,5,6. В таком случае 2 последовательности выбранных карточек – 3,1,4,5,2,6 и 3,2,4,5,1,6 , образуют нужное слово. Таким образом, число благоприятных исходов m = 2.

Число всех возможных исходов –  количество способов расположить в  определенном порядке 6 карточек. Определяется, как число перестановок:

N = 6! = 720

P = = = = 0,00278

 

3. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность безотказной (в течение смены) работы первого элемента равна 0,9; второго 0,7; третьего 0,6. Найти вероятность того, что в течение смены без сбоя будут работать только 2 устройства

Решение

Обозначим:

p₁ = 0,9; p₂ = 0,7; p₃ = 0,6

Событие A – в течении смены без сбоев проработали только 2 устройства.

A является суммой 3 несовместных событий :

A₁ – 1-е и 2-е устройство без сбоев, 3-е со сбоем,

A₂ – 1-е и 3-е устройство без сбоев, 2-е со сбоем,

A₃ – 2-е и 3-е устройство без сбоев, 1-е со сбоем.

По формуле сложения вероятностей несовместных событий:

P(A) = P(A₁ + A₂ + A₃) = P(A₁) + P(A₂) + P(A₃)

Событие A₁ – произведение 3 независимых событий:

«1-е – без сбоев» и «2-е  – без сбоев» и «3-е – со сбоем».

P(A₁) = p₁p₂(1 –p₃)

Аналогично для A₂ и A₃

P(A₂) = p₁p₃(1 –p₂)

P(A₃) = p₂p₃(1 –p₁)

В результате получаем:

P(A) = p₁p₂(1 – p₃) + p₁p₃(1 – p₂) + p₂p₃(1 – p₁) =

= 0,9^.0,7(1 – 0,6) + 0,9^.0,6(1 – 0,7) + 0,7^.0,6(1 – 0,9) = 0,252 + 0,162 + 0,042 = 0,456

 

4. Из 25 лотерейных билетов 4 выигрышных. Наудачу вынимают 3 билета. Какова вероятность того, что среди них окажется:

а) не более одного выигрышного  билета;

б) хотя бы один выигрышный?

Решение

Число N всех возможных способов вынуть любые 3 билета из 25 – число сочетаний 3 из 25:

N = C₂₅³ = = 2300

а) Событие A – «не более 1 выигрышного билета из 3» , является суммой несовместных событий :

A₀ – ни одного выигрышного билета из 3,

A₁ – 1 выигрышный билет из 3.

P(A) = P(A₀ + A₁) = P(A₀) + P(A₁)

Число m₀ исходов , благоприятствующих событию A₀ – число  способов выбрать все 3 билета из 21 невыигрышного.

m₀ = C₂₁³ = = 1330

Число m₁ исходов , благоприятствующих событию A₁ – число  способов выбрать 1 из 4 выигрышных, и остальные 2 – из 21 невыигрышного.

m₁ = C₄¹C₂₁² =4^. = 840

В результате:

P(A) = = = = 0,9435

б) Событие B – « хотя бы 1 выигрышный из 3» является противоположным событию A₀, поэтому:

P(B) = P() = 1 – P(A₀) = 1 – = = 0,4217

 

5. Вероятность того, что частный предприниматель получит ссуду в первом, втором, третьем банке, равна соответственно 0,4; 0,5; 0,6. Предприниматель последовательно обращается во все три банка, начиная с первого. В следующий банк предприниматель обращается лишь в случае отказа в предыдущем банке. Найти вероятность того, что предприниматель получит ссуду.

Решение

p₁ = 0,4 ; p₂ = 0,5 ; p₃ = 0,6

Обозначим события:

A – предприниматель получил ссуду. Это событие является суммой 3 событий:

A₁, A₂, A₃ – предприниматель получил ссуду в 1-м, 2-м, 3-м банке соответственно. Так как, по условию, ссуда может быть получена только в одном из банков, последние 3 события – несовместные.

P(A) = P(A₁ + A₂ + A₃) = P(A₁) + P(A₂) + P(A₃)

Вероятности получения ссуды определяются вероятностями обращения в банк, и вероятностями получения ссуды в случае обращения.

В 1-й банк предприниматель обратится  в любом случае, поэтому

P(A₁) = p₁

Вероятность A₂ определяется по формуле умножения вероятностей зависимых событий:

P(A₂) = P(B₂)P(A₂|B₂) , где

P(B₂) – вероятность обращения во 2-й банк. Событие B₂ достоверно происходит, если не происходит событие A₁ , поэтому

P(B₂) = 1 – P(A₁) = 1 – p₁

P(A₂|B₂) = p₂ – вероятность получения ссуды во 2-м банке в случае обращения в него.

P(A₂) = (1 – p₁)p₂

Аналогично для 3-го банка:

P(A₃) = P(B₃)P(A₃|B₃) , где

P(B₂) – вероятность обращения в 3-й банк. Обращение происходит, если не происходит ни  A₁ , ни A₂ 

P(B₂) = 1 – P(A₁) – P(A₂) = 1 – p₁ – (1 – p₁)p₂ = (1 – p₁)(1 – p₂)

P(A₃|B₃) = p₃

P(A₃) = (1 – p₁)(1 – p₂)p₃

В результате получаем:

P(A) = p₁ + (1 – p₁)p₂ + (1 – p₁)(1 – p₂)p₃ = 0,4 + (1 – 0,4)0,5 + (1 – 0,4)(1 – 0,5)0,6 =

= 0,88