Контрольная работа по теме "Интегралы"

1. Сначала смотришь на табличные интегралы (стр. 7) – не похож ли твой на какой-нибудь табличный. Если похож, то, скорее всего, можно решить методом подстановки.

Так решается пример 1.12:

Подсказка: он похож на интеграл №16. Решается так  же, как пример 3.1 на стр.10.

Здесь замена: 2x-5 = t

У меня получился ответ:

 

2. Пример 2.12

_{Смотрим в табличные интегралы  – похожего нету. Подстановкой привести к табличному значит не получится –  заменишь скобку на t или синус – получится примерно то же самое, что и было. Здесь надо использовать интегрирование по частям (стр. 16). На стр. 17 написаны 3 вида интегралов, которые надо решать этим способом, в том числе и этот пример – он в первой группе:}

 где – многочлен степени ;

_{В твоем примере: k=1,}

 многочлен первой степени

_{Ниже в методичке написано, что многочлен лучше обозначить как u, а остальное – как dv:}

_u=4x-6

_{dv=sinx dx}

_{Вычисляешь  отсюда du, v и подставляешь в формулу.}

_{Возможно, ты не до конца понимаешь, что такое dx – дифференциал. Можешь считать, что это просто производная по переменной x. Основная формула такая: если есть функция f(x), то d(f(x))=f’(x)dx --- то есть дифференциал функции от переменной x  это производная функции умножить на dx}

_{Например, в этом примере 2.12 у тебя есть замена u=4x-6, тебе надо получить из неё du, т.е. дифференциал u. Берёшь дифференциал от обоих частей, т.е. производную, умноженную на du (или dx): 
(u)’du = (4x-6)’dx}

_{Производная u равна единице ( (u)’=1 ). Производная 4x-6 равна 4 ( (4x-6)’=4 ). Поэтому получаешь: 1*du = 4*dx. То есть  du = 4dx.}

 

_{Теперь  чтобы найти v имея dv, надо взять интеграл от обоих частей}

_{Отсюда  по таблице интегралов}

_{Подставь  все в формулу  интегрирования по частям, должно получиться в итоге:}

 

_{3. Пример 3.12}

_{Это параграф 6, стр. 19. Причём случай из пункта 2 на стр. 20: у тебя b≠0 (коэффициент при x в знаменателе в примере равен 5). Решается, как тут и написано, внесением под знак дифференциала в числителе (этот метод описан в параграфе 4, там хорошие примеры есть).}

_{От  чего надо взять производную, чтобы получить выражение  из  числителя  4x+5?}

_{Значит, степень должна быть на 1 больше, т.е. это квадратный трёхчлен: ax²+bx+c}

_{Коэффициенты  a,b,c вычисляем так:} 

_{Тебе  нужно такое:  (ax²+bx+c)’ = 4x+5}

_{Берёшь производную: (ax²+bx+c)’ = 2ax + b = 4x+5}

_{Отсюда  находишь a и b:}

_{2a=4 значит a=2}

_b=5

_{Т.е. трёхчлен такой: 2x²+5x+c}

_{Третий  коэффициент (c) тебе не важен: при нем нет переменной x, и когда берёшь производную, он исчезает (т.е. с’=0). Поэтому (c) может быть любым.}

_{Получилось: (4x+5)dx = (вносим под d) = d(2x²+5x+c)}

_{Теперь  если посмотреть на знаменатель, то увидишь  что там почти  тот же самый трёхчлен ! И они совсем будут одинаковые , если взять c=4. Это можно сделать, т.к. мы вообще можем в качестве c брать любое число.}

_{И теперь у тебя получился  простой табличный  интеграл:}

_{Смотрим в таблицу интегралов: это интеграл номер 3.  Если скобку заменить на t, то его и получишь}

_{Тогда интеграл:}

_{Т.е. здесь повезло, что  производная от знаменателя  равна числителю, и поэтому все  просто получается.}

 

_{4. Пример 4.12}

_{Дробь неправильная(степени  в числителе 3, в знаменателе 2). Значит делим числитель на знаменатель столбиком. Сначала только нужно знаменатель привести к виду многочлена (т.е. перемножить скобки):}

_{Делим столбиком:}

   _{x³+4x²+3x+1|x²-3x-28}

_^…

_{Получаем , что} 

_{Пишем интеграл:}

_{Получили  интеграл случай 5, 2.2-2.3. Возьмем d знаменателя и внесем его в числителе:}

Т.е. результат:

 

5. Пример 5.12

_{Это дробь правильная (степень  числителя 2, знаменателя 3). Разложим ее на сумму более простых по множителям (скобкам) в знаменателе}

_{Обрати внимание: степень числителя  каждой дроби на 1 меньше степени знаменателя (поэтому  A без x, степень равна 0, а т.к. x⁰=1, то получаем просто A). Теперь надо найти A,B,C. Приводим дробь в общему знаменателю:}

_{Попробуем сразу  найти A: если подставишь x = -7, то скобка (x+7)=0, значит (Bx+C)(x+7)=0. Т.е. у нас осталось только A и мы его отсюда вычисляем: (подставив x= - 7):}

_{Отсюда находим}

_{Теперь надо найти  B и С. Обратить в ноль скобку при А не получится. Поэтому перемножим все и приведем к многочлену второй степени, затем приравняем коэффициенты (далее пишу только числитель):}

_{Сгруппируем:}

_{Теперь посмотрим  на исходные коэффициенты при x²  и x, приравняем их:}

_{Т.к. A мы уже нашли, подставив его сюда, найдем B и C}

_{Подставляем найденные  коэф. в нашу дробь:}

_{Берем интеграл: первая дробь – легко  взять:}

_{Во второй дроби  выделяем полный квадрат  в знаменателе:}

_{Небольшое отступление о  том, как выделить полный квадрат: пусть  тебе дано}

_{Hадо получить:}

_{Возводишь честно в квадрат  и приравниваешь  коэффициенты:}

_{При x²:}

_{При x: 2km=b. Т.к. k уже нашел перед этим, подставляешь его, получаешь}

 

_{Свободный член (без x):}

_{На  практике иногда быстрее  получается подбором сделать. Прикидываешь примерно, возводишь  в квадрат и  смотришь, чем отличается от твоего исходного  выражения. Добавляешь-вычитаешь  что-то, чтобы получилось точно оно.} 

_{Выделяем полный квадрат знаменателя (-1/6 вынесем за интеграл, так что тут её уже нет):}

_{Представим наш  интеграл так:}

_{Второй интеграл почти табличный:}

_{Чтобы взять первый, вносим под d выражение знаменателя:}

_{Осталось собрать  все слагаемые  интеграла, в результате:}

 

6. Пример 6.12

_{Первый интеграл:}

_{Это табличный  интеграл (№1): заменив} 

_{Второй интеграл: выделяем полный квадрат, чтобы привести к табличному виду (№ 18)}

_{Собираем вместе:}

 

7. Пример 7.12

_{В интегралах такого вида (когда в знаменателе  корень из многочлена и еще умножить на x или на (x-что-то) ) надо делать замену: скобка в знаменателе (в данном примере (x-2)) равно 1/t. Обрати внимание, что это не случай  метода про многочлены, и не про корни в знаменателе (методы 5,6 в шпаргалке). Это не рациональная дробь, потому что есть корень. Метод 5 тоже не подходит, т.к. там кроме корня в знаменателе ничего быть не должно, а у нас тут еще (x-2) есть. Итак, замена:}

_Отсюда 

_{Подставляем:}

_{Вносим t под корень:}

_{Выделяем полный квадрат многочлена:}

_{Получился табличный  интеграл (№ 17)}

_{Возвращаем x:}

 

 

8. Пример 8.12

Найти среднее  значение функции на отрезке

_{Здесь просто: берёшь формулу среднего значения:}

_{Подставляешь  в неё, вычисляешь:}

_{Поставляешь значения отрезка:}

 

9. Пример 9.12

_{Пока вычисляю интеграл, буду везде  писать неопределённый для краткости. При этом константу C можно не писать, т.к. у нас определённый интеграл в итоге будет. В конце уже будем подставлять значения отрезка}

_{Применим формулу  интегрирования по частям: обозначим}

_Тогда

_{Подставляем в  формулу:}

_{Для оставшегося  интеграла тоже применим формулу по частям:}

_Тогда

_{Подставляем:}

_{Собираем всё  вместе:}

_{Подставляем значения интервала}

 

 

10. Пример 10.12

_{Решаем заменой} 

 

 

_{Первый интеграл табличный: заменой  t+1=z получим:}

_{Второй интеграл тоже не сложный, приведем выражение в числителе к знаменателю:}

 

_{Собираем весь интеграл и возвращаем x:}

_{Подставляем значения отрезка:}

1. _{Подставляем 2arctg2:}

_{Подставляем, получаем:}

2. _{Подставляем π/2:}

_{Вычитаем из 1) 2):}

 

11. Пример 11.12

_{Простая замена:}

_{Замена:}

_Тогда

_{Подставляем:}

_{Представим дробь  в виде двух слагаемых  и используем метод  нахождения неопределённых коэффициентов:}

Теперь приравняем коэффициенты в числителе при  t (слева выражение 4t=0t³+0t²+4t+0)

Получим систему  уравнений для коэффициентов:

Решив систему (подставив друг в друга уравнения) получим:

Подставляем в интеграл:

 

Возвращаем  сначала z, потом x:

Подставляем значения:

1)x=π/3:

2)x=π/4:

В итоге:

 

 

 

 

 

12. Пример 12.12

_{Это случай 8.5) , поэтому  используем подстановку:}

_{(a в нашем случае равно 1)}

_Тогда

_{Вносим cos t под знак d:}

_{Возвращаем x:}

_{Подставляем значения и вычитаем:}

_Итого:

 

15. Пример 15.12

Найти площадь плоской фигуры, ограниченной графиками заданных функций.

_{Нарисуем графики. Нам надо найти площадь области, ограниченной графиками (закрашена):}

_{Найдём пределы интегрирования. Меньший предел это (-4) . Больший – это точка пересечения графиков функций y=2√(-x) и y= -2/x. Чтобы найти координаты этой точки, надо приравнять эти функции:}

_{Т.е. второй предел интегрирования это -1.}

_{Берём формулу расчёта площади}

_{Так как функция  y=2√(-x) больше чем y= -2/x (она сверху на графике), то у нас}

_{Получаем интеграл:}

_{Интеграл простой  получился, подставь сам. У меня получилось}

 

16. Пример 16.12

Найти длину  дуги кривой, заданной уравнением

_{Тут просто: берём  формулу и туда подставляем. Длина  дуги вычисляется  по формуле (стр. 64)}

_{yx’ – это производная нашей функции, посчитаем её:}

_{Теперь подставляем  в формулу длины  дуги:}

_{Делаем замену:}

_{Возвращаем x:}

 

17. Пример 17.12

Найти длину  дуги кривой, заданной уравнением.

_{Тут кривая задана параметрически (т.е. через 2 функции x(t) и y(t)). Берём формулу длины дуги (стр.65):}

_{Вычисляем производные  по параметру t:}

_{Подставляем в  формулу длины  дуги:}

_{Так как из тригонометрического  тождества sin²α+cos²α=1, то выражение под корней в интеграле равно 1, т.е.:}

 

19. Пример 19.12

Найти объём тела вращения вокруг оси Ох

_{Рисуем графики (очень  похоже на пример 15.12)}

_{Нам нужно найти  объем тела вращения вокруг Ox, закрашенного красным. Это на криволинейную трапецию не похоже (у криволинейной трапеции 3 стороны должны быть прямыми, и только 1 кривая), поэтому будем искать его так: сначала посчитаем объём тела вращения, образованного точками ACF (т.е. красного, синего и зелёного цвета вместе), потом посчитаем объём синего (ABDE), объем зелёного (EDF). А нужный нам объем найдём как разность: из объёма красно-сине-зелёного вычтем объём синего и объём зелёного (т.е. объём ACF минус объём ABDE минус объём EDF).}

_{1). Считаем объём большого тела (красно-сине-зелёного ACF)}

_{Формула объёма тела вращения вокруг Ox (стр.68):}

_{У нас тут функция  f(x) – это y=4√-x. Отрезок [a,b] – это отрезок [-4,0]. Считаем интеграл:}

_{Кстати, когда  считаешь объём или длину дуги – они всегда должны получаться положительными (отрицательным  объём тела не может же быть, как и длина дуги).}

_{2). Считаем объём синего тела ABDE и зелёного EDF. Тут нужно правильно найти пределы интегрирования: нужно найти координату x точки D. Это точка пересечения функций, приравняем их:}

_{Подставляем в  интеграл:}

_{Искомый объём:}