Контрольная работа по "Математике"

Содержание

Задание 1. 2

Задание 2. 3

Задание 3. 3

Задание 4. 6

Задание 5. 6

Задание 6. 6

Список использованной литературы 7

 

 

Задание 1.

Векторные и скалярные  величины, их характеристики.

Решение:

Все величины, которые изучаются  в математике и физике, можно разделить на две группы.

К одной группе относятся  величины, которые полностью характеризуются  их числовыми значениями. Таковы длина, площадь, объем, время, масса и другие величины. Если мы скажем, что карандаш имеет длину 10 см или что температура воздуха равна — 5°, то длина карандаша и температура воздуха тем самым будут определены полностью.

Величины, которые полностью  определяются своими числовыми значениями, называются скалярными.

Но наряду с такими величинами существуют и величины, которые нельзя полностью охарактеризовать числовыми  значениями. Из физики, например, известно, что сила, скорость, ускорение и  некоторые другие величины характеризуются  не только своими числовыми значениями, но и направлениями. Если на материальную точку действует сила 5кг, то для того чтобы сказать, к чему это приведет, нужно знать еще направление этой силы. Для полного описания подобных величин наряду с числовыми значениями необходимо задавать и их направления.

Величины, которые характеризуются  не только своими числовыми значениями, но и направлениями, называются векторными величинами.

Подобно тому, как скалярные величины можно характеризовать отрезками числовой прямой, векторные величины можно характеризовать направленными отрезками, или векторами.

Вектор есть направленный отрезок, то есть отрезок с фиксированным  положением своего начала и своего конца.

Рис. 1. Вектор

Направлением вектора  считается направление от его  начала к его концу. (см. Рис.1) Обычно вектор обозначается двумя буквами, над которыми ставится стрелочка, обращенная острием вправо. При этом первая буква обозначает начало вектора, а вторая — конец.

 

Также вектор обозначают одной буквой с черточкой над ней, например, , а модуль этого вектора - той же буквой, только без черточки над ней, т. е. a. Модуль вектора a часто обозначается .

Задание 2.

Найдите сумму и разность. Оцените относительную погрешность  результатов: 3,72 ± 0,03; 12,53 ± 0,01.

Решение:

S = 3,72 + 12,53 = 16,25

∆S = 0,03 + 0,01 = 0,04.

Так как граница погрешности ∆S = 0,04 < 0,05, то верными являются все цифры.

3,72 – 12,53 = - 8,81

∆ = 0,03 – 0,01 = 0,02 < 0,05.

В значении разности все  цифры верные.

Задание 3.

Исследуйте функцию и  постройте ее график:

Решение:

1. Область определения функции x ≠ ±1,

то есть D( y) = (−∞;−1)∪(−1;1)∪(1;+∞) . Точки разрыва x =1 и x = −1.

Вычислим односторонние  пределы:

 

 

Получаем, что x =1 и x = −1 - вертикальные асимптоты.

2) Точки пересечения с  осями координат:

, точка (0;0).

 точка (0;0).

3) Функция нечетная, так  как

График симметричен относительно начала координат.

4) Экстремумы и монотонность. Вычисляем первую производную:

 

Находим критические точки: , x = 0, x = ± 1. Исследуем знак производной на интервалах, на которые критическая точка делит область определения функции.

             

Рис.2. Интервалы возрастания  и убывания функции f(x).

Функция возрастает на интервалах , убывает на интервалах . Функция имеет минимум при  
,

Функция имеет максимум при  ,

5) Выпуклость и точки  перегиба. Вычисляем вторую производную.

 

Приравниваем к нулю и  находим критические точки: x = 0, x =1, x = −1.

Исследуем знак производной  на интервалах, на которые критические  точки делят области определения функции.

Рис.3. Интервалы выпуклости функции f(x).

Функция выпукла вверх  на интервалах(−1;0) , (1;+∞) , выпукла вниз на интервалах(−∞;−1) , (0;1). Точка перегиба: x = 0 , f (0) = 0 .

6) Наклонные асимптоты  вида y = kx + b .

 

 

Наклонная асимптота f(x) = x .

7) Строим график функции  и асимптоту, отмечая ключевые  точки:

Рис. 4. График функции f(x).

 

Задание 4.

Упростить выражение:

Решение:

 

Задание 5.

Вычислите:

Решение:

 

Задание 6.

Представьте в стандартном  виде произведение чисел m и n, если 

Решение:

 

 

Список использованной литературы

1. В.С. Щипачев. Основы высшей математики. Учебник. – М.: Высшая школа, 2011, с. 368.
2. Н.В. Богомолов, П.И. Самойленко. Математика. Учебник. – М.: Дрофа, 2008, с. 468.
3. Н.В. Богомолов. Сборник задач по математике. – М.: Дрофа, 2006, с. 360.
4. Н.В. Богомолов, Л.Ю. Сергеенко. Математика. Дидактические задания. – М.: Дрофа, 2006, с. 295.
5. Г.Н. Яковлев. Математика. В 2-х книгах. – М.: Оникс, 2009, с. 366; с. 305.
6. И.И. Баврин, В.Л, Матросов. Общий курс высшей математики. Учебник – М.: Просвещение, 2002, с. 464.
7. П.Е. Данко. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2ч. Ч.1: Учебное пособие. 6-е изд. – М.: ООО «Издательство Оникс»: ООО «Издательство Мир и Образование», 2006, с. 304.
8. П.Е. Данко. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2ч. Ч.2: Учебное пособие. 6-е изд. – М.: ООО «Издательство Оникс»: ООО «Издательство Мир и Образование», 2006, с. 416.