Контрольная работа по "Математике"

 

 

 

 

 

 

 

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

 

 

Вариант 1.

 

1. Найти обратную матрицу А’, если       2 -4 1

   

А=         1 -1 -1

 

  -2  3  1

2 -4 1 

А =    1 -1     -1 |А| = -2+3-8-2+6+4=1

         -2  3 1

 

 

   |-1 -1|

A₁₁ = (-1)² | 3  1|     = -1+3=2  

 

| 1 -1|

A₁₂ = (-1)³  |-2  1| = - (1-2) = 1

 

A₁₃ = (-1)⁴    | 1 -1|   = 3-2=1

|-2  3|

 

A₂₁ = (-1)³  |-4 1|  = - (-4-3) = 7

   |3 1|

 

A₂₂ = (-1)⁴ |2 1| = 2+2 = 4

|-2 1|

 

A₂₃ = (-1)⁵ |2      -4| = - (6-8) =2

|-2 3|  

 

A₃₁ = (-1)⁴ |-4 1| = 4+1 = 5

|-1     -1|

 

A₃₂ = (-1)⁵ |2 1| = - (-2-1) = 3

|1      -1|

 

A₃₃ = (-1)⁶ |2     -4|  = -2+4 = 2

|1     -1|

 

 

 

 

 

Обратная матрица имеет  вид:

   A₁₁ A₂₁ A₃₁  Подставим известные нам

A^-1 = 1/|A|   A₁₂ A₂₂ A₃₂  величины в данное уравнение

A₁₃ A₂₃ A₃₃  Получим:

 

2 7 5

А^-1 =  1 4 3 

1 2 2

 

 

2 7 5 2 -4 -1

Проверка: 1 4 3 1 -1 -1 =

1 2 2 -2  3  1

 

  (2*2+7*1+5 (-2)) (2 (-4) –1*7+5*3) (2*1-1*7+5*1)

= (1*2+1*4-2*3) ((-4)*1+4 (-1) +3*3) (1*1+4 (-1)+3*1) =

(1*2+1*2+2 (-2)) (-4*1-2*1+3*2) (1*1-1*2+2*1)

 

1 0 0

=  0 1 0

0 0 1

 

 

2. Используя формулы Крамера,  решить систему уравнений  5x + 2y =4

7x + 4y = 8

5x + 2y = 4 ;  A =  5      2

7x + 4y = 8 ;         7      4 

 

Формулы Крамера для  данного случая:

 

X = |A₁| / |A| ; y = |A₂| / |A|;  A = 20 – 14 = 6

 

A₁ =   4      2      ; |A₁| = 0

8. 4

 

 

 

A₂ =   5 4     = 40 – 28 =12

7 8

 

x = |A₁| /|A| = 0 ; y = |A₂| / |A| = 12 / 6 = 2

 

Проверка:   5*0+2*2=4

7*0+4*2=8

 

3. Решить методом Гаусса систему уравнений: 2x-4y+9z = 28

7x+3y-6z = -1

7x+9y-9z = 5

2x-4y+9z = 28    2x-4y=9z=28

x(-7/2) 7x+3y-6z = -1 Û x(-13/17) 17y-(75/2)z = 97  Û

7x+9y-9z = 5    13y – (81/2)z= 103

  2x-4y+9z=28    2x-4y+9z =28 

• 17y-(75/2)z = 97  Û  17- (75/2)z =97  Û

(201/17)z = 490/17   201z =490

z=490/201     z=490/201

• 17y = 18375/201  Û  y= 18375/3417  Û

2x-4y+9z=28    2x= 94206/3417

x = 5701/1139

Û  y = 18375/ 3417

z =  490/201

 

 

4. Найти уравнение касательной к эллипсу: x² / 25+ y² / 100 = 1 в точке (3; -8)

 

Проверим, принадлежит ли данная точка  нашему эллипсу:

 

9/25+64/100 = 1 – верное равенство

Запишем уравнение касательной  к эллипсу в данной точке с  координатами (x¹;y1):

 

xx₁ / 25 + yy₁ /100 = 1; x₁ =3;  y₁ = -8;

 

Подставим эти значения в данное уравнение:

 

3x/25 – 2y/25 = 1;

3x/25 – 1 = 2y/25;  y = 3/2 x- 25/2 – искомое уравнение

 

 

5. Найти уравнение  плоскости проходящей через точку  М₀ = (-2; 1; 0) перпендикулярную прямой x = -2t; y= 3t; z= -1+t.

 

x = -2t

М₀ (-2; 1; 0)     l: y =  3t   a -?

z =  t-1

 

 

a : A (x- x₀) + B(y-y₀) +C (z-z₀) = 0 :         Ù (A, B, C)

P n :  P (-2;3;1)

 

-2 (x+2) +3 (y-1) +1 (z-0) = 0

-2x – 4 +3y – 3 +z=0

2x – 3y – z +7 = 0 – уравнение данной плоскости a.

 

 

 

Вариант 2

1. Исследовать на сходимость числовой ряд:

 

_¥

• = Ön  arctg  n / (n⁷ +1) n!

ⁿ⁼⁰

 

При n ® ¥ , arctg n ® p / 2, значит можно оценить общий член данного ряда:

 

Ön arctg n / ((n⁷ +1)  n!) < pÖn / (2 (n⁷ +1) n!)

 

Исследуем на сходимость ряд 

_¥

å pÖn / (2(n⁷ +1) n!)

ⁿ⁼⁰

Воспользуемся признаком Даламбера:

 

Lim | U_n+1 /U_n = lim (pÖn+1 * (2 ( n⁷ +1) n!)) / 2 ((n+1)⁷ +1) (n+1)! pÖn =

^{n®¥        n®¥}

 

= lim  Ön+1 (n⁷ +1) / ((n+1)⁷ +1) (n+1) Ön = lim  n⁷ +1/ ((n+1)⁷ +1) Ön+1 Ön =

      ^{n®¥       n®¥}

 

= lim n⁷ +1 / ((n+1)⁷ +1) Ö n² +n = 0<1

  ^n®¥

        _¥

Значит,  å Ön arctg n / (n⁷ + 1) n!  Сходиться!

            ⁿ⁼⁰

 

2. Найти  и изобразить геометрический радиус и  интервал сходимости степенного ряда:

 

 _¥

å  = (-1)³ⁿ (x+ ½ )ⁿ / Ön +1

ⁿ⁼⁰

 

Рассмотрим отношение |U_n+1 /U_n| :

 

|U_n+1 /U_n| = |((x+ ½)ⁿ⁺¹ * (Ön +1)) / (Ön+1 +1) * (x + ½ )ⁿ| =

 

= |((x + ½ )ⁿ * (x + ½ ) (Ön+1)) / ((Ön+1 +1) * (x+ ½ )ⁿ) |  =

= | (x+ ½) (Ön+1) / (Ön+1 +1) |

 

Lim = |U_n+1 /U_n| = lim |x + ½ | Ön+1 /Ön+1 + 1 = |x + ½ |

^{n®¥                n®¥} 

 

При |x + ½ | <1 ряд сходиться, а при |x + ½| >1 ряд расходиться,

В соответствии с определением радиус сходимости данного ряда R=1.

 

|x + ½ |  <1

-1 < x + ½ < 1

- 3/2 < x < ½

 

Значит, интервалом сходимости является интервал  (-1,5; 0,5)

Исследуем поведение ряда при  x= -1,5 и x = 0,5.

 

При х = -1,5 получаем ряд 

_{¥                 ¥}

å  ((-1)³ⁿ (-1,5 +0,5)ⁿ) / Ön+1 = å ((-1)³ⁿ * (-1)ⁿ) / Ön+1 =

^{n=0             n=0}

     _¥

=  å  (-1)⁴ⁿ / Ön+1

    ⁿ⁼⁰

1/ Ön+1 < 1/ Ön

       _¥

Ряд å 1/Ön является расходящимся рядом Дирихле, значит, (по

      ⁿ⁼⁰                 _¥

признаку сравнения)  å (-1)⁴ⁿ /Ön+1 расходящийся ряд

 ⁿ⁼⁰

 

При х = 0,5 получаем ряд

_{¥           ¥}

å  ((-1)³ⁿ (0,5+0.5)ⁿ) / Ön+1 = å  ((-1)³ⁿ *1ⁿ) / Ön +1 =

^{n=0          n=0}

_¥

å  = (-1)³ⁿ / Ön+1 Это знакочередующийся числовой ряд.

ⁿ⁼⁰

Применим к нему признак Лейбница:

 

1. |1| > |- ½ | > |1 / Ö2 + 1| > |-1 /Ö3 + 1| > …

Модули членов ряда монотонно  убывают

2. lim  1/Ön+1 = 0

    ^n®¥

      _¥

Значит, ряд å  (-1)³ⁿ /Ön + 1 сходиться.

  ⁿ⁼⁰

 

Следовательно, данный ряд сходиться  при  - 3/2 < x  £  ½, т.е. областью его сходимости является промежуток (-1,5; 0,5].

 

  R         R

         

               ^-3/2                                -½          ₀  ½           x

 

 

3. Разложить в степенной ряд в окресности нуля функцию

 

¦(x) = x³ cos x³

 

Воспользуемся основным разложением :

_¥

Cos x =  å   (-1)ⁿ x²ⁿ / (2n)!

ⁿ⁼⁰

   _{¥                  ¥} 

¦(x) = x³ * å  (-1)ⁿ (x³)²ⁿ / (2n)! = x³ å  (-1)ⁿ x⁶ⁿ / (2n)! =

         ^{n=0           n=0}

        _¥

= å  (-1)ⁿ x^{3 (2n+1)} / (2n)!

   ⁿ⁼⁰

 

4. Найти решение задачи Коши для уравнения:

 

x² y’+ y² =0, если у (-1) =1

 

Данное дифференциальное уравнение  является уравнением с разделяющимися переменными.

 

x² y’ = -y², т.к. y’=  dy / dx, то

 

x² (dy/dx) = -y²

x² (dy/dx) = -y² dx

dy/y² = - dx/x²

 

ò dy/y² = -ò dx/x²

 

-1/y = 1/x + C

-1/y = (1+Cx)/x

y = - (x/ (1+Cx))  - общее решение.

 

Для нахождения С воспользуемся  начальным условием y (-1)=1

 

1/(1-C) = 1

1-C =1 

   C=0

 

y = -x решение задачи Коши!

 

                    ₂

5. Найти общее решение линейного  уравнения y’+2xy-2xe^-x    = 0

      ₂ 

y’+2xy = 2xe ^–x  

 

Решим это линейное уравнение методом Бернулли, сделаем замену.

 

y  =  U*V, где U = U(x), V = V (x), тогда y’= U’V +V’U

    ₂

U’V +V’U + 2xUV = 2xe ^–x

 

Пусть V’+ 2xV = 0

dV/dx = -2xV

  dV/V = - 2xdx

Ln |V| = -x² +C

                 ₂

     |V| = e ^-x   +C

                              ₂

     V = Ce ^-x   , C=1

                            ₂

V = e ^–x   

        _{2         2}

U’e ^–x     = 2xe ^-x

 

U’= 2x

 

dU/ dx = 2x

 

dU = 2xdx

 

U = x² +C

 

Возвращаемся к замене:

       ₂

y = U * V = (x² + C) e ^–x

   ₂

y = (x² +C) e ^–x   ® общее решение.

          ₂

Ответ: y * e ^x   - x² = C

 

     Общий интеграл