Контрольная работа по "Математике"

Задание 1. Решить систему линейных уравнений методом Крамера, методом обратной матрицы, методом Гаусса:

 

Решение 1.

Запишем данную СЛУ в матричном виде

 , где:  , .

 

1. Метод Крамера.

Данный метод применим, если число уравнений равно числу  неизвестных и определитель матрицы  СЛУ не равен нулю. Первое условие  выполняется, необходимо проверить  выполняемость второго. Действительно, определитель матрицы СЛУ не равен нулю:

Найдем определители D_i:

       

Тогда решение СЛУ определится  как:

    

 

2. Метод обратной матрицы.

В данном случае решение находится следующим образом .

Для нахождения обратной матрицы найдем алгебраические дополнения:

     

     

    

Отсюда обратная матрица:

.

А решение СЛУ найдется как:

.

 

3. Метод Гаусса.

Запишем расширенную  матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем её к ступенчатому виду:

К третьей строке прибавим первую строку, а ко второй строке удвоенную  первую строку:

Из второй строки вычитаем третью:

Из третьей вычитаем вторую умноженную на три, а из первой вычитаем вторую умноженную на два:

Единственное решение: x₁=1, x₂=3, x₃=1.

 

Ответ 1. x₁=1, x₂=3, x₃=1.

 

 

Задание 2. Даны векторы и . Найти их длины и скалярное произведение. Являются ли эти векторы ортогональными?

Решение 2.

Так как скалярное произведение рассматриваемых векторов равно  нулю, то вектора являются перпендикулярными.

Ответ 2. , , вектора являются перпендикулярными.

 

 

Задание 3. Написать уравнение прямой, проходящей через точку A(2;3) параллельно направляющему вектору . Найти расстояние от точки B(1;4) до полученной прямой.

Решение 3.

Уравнение прямой в общем  виде: .

При заданных условиях:

- уравнение прямой.

Расстояние от заданной точки до прямой определяется:

.

Ответ 3. Уравнение прямой , искомое расстояние .

 

 

Задание 4. вычислить пределы: а) ; б) ; в) .

Решение 4.

а)

б) - в данном случае имеем неопределенность вида 0/0. Для раскрытия неопределенности разложим числитель и знаменатель на множители сократим дробь:

Следовательно, .

в)  числитель и знаменатель дроби при стремится к бесконечности, то есть имеется неопределенность .  Для нахождения предела данной дроби разделим числитель и знаменатель на старшую степень x, то есть на x³, получим:

, так как  , при .

Ответ 4. а) 9; б) 2; в) -1.

 

 

Задание 5. Найти производные функций одной переменной и частные производные первого порядка функций двух переменных:

а) ; б) ; в) ; г) .

Решение 5.

а) воспользуемся правилом :

 

 

б)

Если вспомнить, что  , то результат запишется как:

в) ;

г) воспользуемся формулой :

Ответ 5. а) ; б) ;

в) , ;

г) , .

 

 

Задание 6. Найти неопределенный интеграл и проверить результат дифференцированием:

а) ;

б) ;

в) .

Решение 6.

а)

Проверка:

 

б) воспользуемся заменой переменной , тогда :

Возвращаясь к x получим:

Проверка:

в) воспользуемся заменой переменной , тогда , , а исходный интеграл запишется как:

.

Возвращаясь к x получим:

.

Проверка:

.

Ответ 6. а) ; б) ; в) .

 

 

Задание 7. Найти определенный интеграл: .

Решение 7.

 Ответ 7. .

 

 

Задание 8. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями и .

Решение 8. Изобразим графически постановку задачи:

Найдем точки пересечения  графиков функций:

На указанном участке график функции выше графика функции , следовательно, площадь заключенной между ними фигуры будет определяться как:

.

Ответ 8. .

 

 

Задание 9. Исследовать на экстремум .

Решение 9. Для нахождения критических точек воспользуемся частными производными первого порядка:

Приравняем к нулю эти производные и получим  координаты критической точки:

В точке  рассматриваемая функция имеет экстремум, для определения характера экстремума воспользуемся определением признака:

Так как D > 0, то функция в найденной критической точке имеет минимум.

Ответ 9. Рассматриваемая функция имеет минимум в критической точке .

 

 

Задание 10. Студент сдает сессию из двух экзаменов. Он добросовестно подготовился и считает, что на каждом экзамене получит «4» с вероятностью 9/10, «два» получить не может, а получение «три» и «пять» для него равновероятно. Какова вероятность того, что а) он сдаст сессию без «троек»; б) сдаст сессию на «отлично»?

Решение 10.

Так как события сдачи  каждого из экзаменов являются независимыми, то вероятность каждой пары исходов  сдачи экзаменов будет определяться как произведение сдачи каждого  из экзаменов. Нагляднее всего это  изобразить в табличном варианте:

Первый экзамен		Второй экзамен		Общий итог P = P1xP2
Оценка	Вероятность P1	Оценка	Вероятность P2
3	1/20	3	1/20	1/400
3	1/20	4	9/10	9/200
3	1/20	5	1/20	1/400
4	9/10	3	1/20	9/200
4	9/10	4	9/10	81/100
4	9/10	5	1/20	9/200
5	1/20	3	1/20	1/400
5	1/20	4	9/10	9/200
5	1/20	5	1/20	1/400

 

Для проверки полноты  рассматриваемых вариантов достаточно сложить приведенные вероятности  и убедиться, что сумма вероятностей событий равна единице.

 

Для исхода варианта а) удовлетворяют выделенные жирным шрифтом вероятности, общая вероятность того, что студент сдаст сессию без «троек», определится суммой выделенных вероятностей:

.

 

Для исхода варианта б) удовлетворяет  лишь один вариант из рассмотренных  и вероятность того, что студент сдаст сессию на «отлично» равна:

.

Ответ 10. а) 0.9025 б) 0.0025.

 

 

Задание 11. На первом курсе 70 студентов. Из них 30 человек занимаются физкультурой в секции гимнастики, 20 – в секции лыжного спорта, остальные – легкоатлеты. Вероятность получить зачет «автоматом» у гимнастов – 0,8; у лыжников – 0,85; у легкоатлетов – 0,75.Найти вероятность того, что наудачу выбранный с курса студент получит зачет по физкультуре автоматически.

Решение 11. Пусть событие А – студент получит зачет по физкультуре автоматически. Введем гипотезы:

H₁ – выбран студент из секции гимнастики;

H₂ – выбран студент из секции лыжников;

H₃ - выбран студент из секции легкоатлетов.

Вероятности выбора студентов  из каждой секции определятся:

Условная вероятность P(A/H₁), то есть вероятность того, что выбранный студент из секции гимнастики получит зачет автоматически, задано по условию и равна 0,8. Аналогично имеем P(A/H₂)=0,85; P(A/H₃)=0,75.

По формуле полной вероятности вероятность того, что выбранный на удачу студент получит зачет «автоматом», равна:

Ответ 11. Искомая вероятность равна .

 

 

Задание 12. В таблице дан закон распределения случайной величины (месячная выручка киоска «Роспечать»). Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

xi	115	105	95	90	85	65
pi	1/40	1/5	1/2	1/5	1/20	1/40

 

Решение 12. Математическое ожидание определяется по формуле:

Для нахождения дисперсии случайной  величины воспользуемся формулой:

Ответ 12. ; .