Контрольная работа по "Математике"

Задача № 24

 

        Построить на плоскости область  допустимых решений системы линейных  неравенств и найти максимальное  и минимальное значения линейной  функции цели в этой   области.

Решение

Необходимо найти минимальное  значение целевой функции F = 3x₁+6x₂ → min, при системе ограничений:

Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему  неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости  обозначены штрихом).

или

Границы области допустимых решений

Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию  неравенствам системы ограничений задачи. 
Обозначим границы области многоугольника решений.

Рассмотрим целевую  функцию задачи F = 3x₁+6x₂ → min.  
Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0: F = 3x₁+6x₂ = 0. Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует минимальное решение, поэтому двигаем прямую до первого касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.

Равный масштаб

Область допустимых решений  представляет собой многоугольник.

Прямая F(x) = const пересекает область в точке A. Так как точка A получена в результате пересечения прямых (5) и (3), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:

 
Решив систему уравнений, получим: x₁ = 0, x₂ = 0 
Откуда найдем минимальное значение целевой функции: 
F(X) = 3 0 + 6 0 = 0

Рассмотрим целевую функцию  задачи F = 3x₁+6x₂ → max.  
Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0: F = 3x₁+6x₂ = 0. Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует максимальное решение, поэтому двигаем прямую до последнего касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.

Равный масштаб

Область допустимых решений  представляет собой многоугольник.

Прямая F(x) = const пересекает область в точке G. Так как точка G получена в результате пересечения прямых (2) и (4), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых: 

Решив систему уравнений, получим: x₁ = 4, x₂ = 2.5 
Откуда найдем максимальное значение целевой функции: 
F(X) = 3ž4 + 6ž2.5 = 27 
Поскольку функция цели F(x) параллельна прямой (2), то на отрезке GE функция F(x) будет принимает одно и тоже максимальное значение. 
Для определения координат точки E решим систему двух линейных уравнений:

 
Решив систему уравнений, получим: x₁ = 3, x₂ = 3 
Откуда найдем максимальное значение целевой функции: 
F(X) = 3ž3 + 6ž3 = 27

Ответ: минимальное значение целевой функции F(X) = 0; максимальное значение целевой функции: F(X) = 27.

Задача № 38

Для реализации трех групп  товаров коммерческое предприятие  располагает тремя видами ограниченных материально-денежных ресурсов в количестве b_{1 ,}b₂, b₃ единиц. При этом для продажи 1 группы товаров на 1 тыс. руб. товарооборота расходуется ресурса первого вида в количестве а₁₁ единиц, ресурса второго вида в количестве а₂₁ единиц, ресурса третьего вида в количестве а₃₁ единиц. Для продажи 2 и 3 групп товаров на 1 тыс. руб. товарооборота расходуется соответственно ресурса первого вида в количестве а_12,  а₁₃ единиц, ресурсов второго вида в количестве а₂₂, а₂₃ единиц, ресурсов третьего вида в количестве а₃₂, а₃₃ единиц. Прибыль от продажи трех групп товаров на 1 тыс. руб. товарооборота составляет соответственно с_1, с_2, с₃ (тыс. руб.).

Определить плановый объем и структуру товарооборота так, чтобы прибыль торгового предприятия была максимальной.

38. а₁₁=18, а₁₂=9, а₁₃=6, а₂₁=4, а₂₂=2, а₂₃=4, а₃₁=3, а₃₂=3, а₃₃=1,

      b₁=540, b₂=340, b₃=120, c₁=3, c₂=4, c₃=3.

Решение

Запишем исходные данные в таблицу:

Виды материально-денежных ресурсов	Норма затрат материально-денежных ресурсов на ед. товарооборота , тыс. руб.			Объем ресурсов   bi
	А группа	В  группа	С  группа
Ресурс 1 вида	18	9	6	540
Ресурс 2 вида	4	2	4	340
Ресурс 3 вида	3	4	3	120
Прибыль, т.руб.	3	4	3	мax

1. Запишем математическую модель задачи.

Определить  =(х₁,х₂,х₃) , который удовлетворяет условиям

и обеспечивают максимальное значение целевой  функции

F( )= (3x₁+4x₂+3x₃₎)

Для построения первого  опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений  путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).

В 1-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x₄. В 2-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x₅. В 3-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x₆.

18x₁ + 9x₂ + 6x₃ + 1x₄ + 0x₅ + 0x₆ = 540

4x₁ + 2x₂ + 4x₃ + 0x₄ + 1x₅ + 0x₆ = 340

3x₁ + 4x₂ + 3x₃ + 0x₄ + 0x₅ + 1x₆ = 120

Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:

Базисные переменные это переменные, которые входят только в одно уравнение системы ограничений и притом с единичным коэффициентом.

Решим систему уравнений  относительно базисных переменных:

x₄, x₅, x₆,

Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:

X1 = (0,0,0,540,340,120)

Базисное решение называется допустимым, если оно неотрицательно.

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6
x4	540	18	9	6	1	0	0
x5	340	4	2	4	0	1	0
x6	120	3	4	3	0	0	1
F(X0)	0	-3	-4	-3	0	0	0

 

Переходим к основному  алгоритму симплекс-метода.

Итерация №0.

1. Проверка  критерия оптимальности.

Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной  строке находятся отрицательные  коэффициенты.

2. Определение  новой базисной переменной.

В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x₂, так как это наибольший коэффициент по модулю.

3. Определение новой  свободной переменной.

Вычислим значения D_i по строкам как частное от деления: b_i / a_i2

и из них выберем наименьшее:

min (540 : 9 , 340 : 2 , 120 : 4 ) = 30

Следовательно, 3-я строка является ведущей.

Разрешающий элемент  равен (4) и находится на пересечении  ведущего столбца и ведущей строки.

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	min
x4	540	18	9	6	1	0	0	60
x5	340	4	2	4	0	1	0	170
x6	120	3	4	3	0	0	1	30
F(X1)	0	-3	-4	-3	0	0	0	0

 

4. Пересчет  симплекс-таблицы.

Формируем следующую  часть симплексной таблицы.

Вместо переменной x в  план 1 войдет переменная x₂ .

Строка, соответствующая  переменной x₂ в плане 1, получена в результате деления всех элементов строки x₆ плана 0 на разрешающий элемент РЭ=4

На месте разрешающего элемента в плане 1 получаем 1.

В остальных клетках  столбца x₂ плана 1 записываем нули.

Таким образом, в новом  плане 1 заполнены строка x₂ и столбец x₂ .

Все остальные элементы нового плана 1, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.

Для этого выбираем из старого плана четыре числа, которые  расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент  РЭ.

НЭ = СЭ - (А*В)/РЭ

СТЭ - элемент старого плана, РЭ - разрешающий элемент (4), А и В - элементы старого плана, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ.

Представим расчет каждого  элемента в виде таблицы:

B	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5	x 6
540-(120 • 9):4	18-(3 • 9):4	9-(4 • 9):4	6-(3 • 9):4	1-(0 • 9):4	0-(0 • 9):4	0-(1 • 9):4
340-(120 • 2):4	4-(3 • 2):4	2-(4 • 2):4	4-(3 • 2):4	0-(0 • 2):4	1-(0 • 2):4	0-(1 • 2):4
120 : 4	3 : 4	4 : 4	3 : 4	0 : 4	0 : 4	1 : 4
0-(120 • -4):4	-3-(3 • -4):4	-4-(4 • -4):4	-3-(3 • -4):4	0-(0 • -4):4	0-(0 • -4):4	0-(1 • -4):4

 

Получаем новую симплекс-таблицу:

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6
x4	270	111/4	0	-3/4	1	0	-21/4
x5	280	21/2	0	21/2	0	1	-1/2
x2	30	3/4	1	3/4	0	0	1/4
F(X1)	120	0	0	0	0	0	1

 

1. Проверка  критерия оптимальности.

Среди значений индексной  строки нет отрицательных. Поэтому эта таблица определяет оптимальный план задачи.

Окончательный вариант  симплекс-таблицы:

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6
x4	270	111/4	0	-3/4	1	0	-21/4
x5	280	21/2	0	21/2	0	1	-1/2
x2	30	3/4	1	3/4	0	0	1/4
F(X2)	120	0	0	0	0	0	1