Контрольная работа по "Математике"

В-15

 

1. В урне 20 белых  и 5 чёрных шаров. С какой  вероятностью из 3-х наугад взятых (без возвращения) шаров один  – чёрный?

 

Решение:

Искомая вероятность равна отношению  числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов

где n - общее число таких элементарных исходов,

m - благоприятствующих исходов.

В данном случае:

 

Ответ:

 

 

2. На военных  учениях лётчик получил задание  «уничтожить» 3 рядом расположенные  склада боеприпасов противника. На борту самолёта одна бомба. Вероятность попадания в первый склад – 0.01, во второй – 0.008, в третий – 0.025. Любое попадание в результате детонации вызывает взрыв и остальных складов. Какова вероятность того, что склады противника будут уничтожены?

 

Решение:

P(A)=0,01    P(B)=0,008   P(C)=0,025

Эти события несовместны, так как они не могут наступить  одновременно (попадание бомбы в один склад исключает её попадание в другой). Поэтому воспользуемся теоремой суммы несовместных событий:

P(A+B+C)= P(A)+ P(B)+ P(C)

откуда находим:

Р(A+B+C) = 0,01+0,008+0,025=0,043

 

Ответ:  Р(A+B+C) = 0,043

 

3. Для контроля  продукции из 3-х партий деталей  взята для испытаний одна деталь. Какова вероятность обнаружения  бракованной продукции, если в  одной партии 2/3 деталей бракованные,  а в двух других все годные? Считать, что вероятность выбора детали из каждой партии одна и та же.

 

Решение:

Пусть Н₁ – гипотеза: деталь выбрана из партии с браком.

Пусть Н₂ – гипотеза: деталь выбрана из партии с годными деталями.

Случайное событие А  – выбранная деталь оказалась бракованной. По формуле полной вероятности получим

 

Ответ:  

 

 

4. В квартире 4 электролампочки. Для каждой  лампочки вероятность того, что  она останется неисправной в  течение года, равна 5/6. Какова  вероятность того, что в течение года придётся менять не меньше половины лампочек?

 

Решение:

В данном случае р=5/6, q=1-р=1/6

Для того, чтобы найти вероятность того, что в течение года придётся менять не меньше половины лампочек, нужно сложить вероятность того, что придется менять две, три и четыре лампочки:

Р(х≥2)=Р₄(2)+Р₄(3)+Р₄(4)     или   Р(х≥2)=1-Р₄(0)-Р₄(1).

 

Ответ:

 

 

5. Всхожесть  семян данного растения равна  0,9. Найти вероятность  того, что  из 900 посаженных семян число проросших  будет заключено между 790 и 830.

 

Решение:

Вероятность случайного события (всхожесть семян) p = 0,9. Вероятность того, что их 900 посаженных семян, число проросших будет заключено между 790 и 830, рассчитывается по интегральной теорема Лапласа:

Здесь

функция Лапласа, ее значения находят по таблице

p = 0,9;    q = 1 – p = 0,1;   n = 900;     k₁ = 790;    k₂ = 830

x₁ = -2,222           x₂ = 2,222

 

Ответ: 

 

 

6. Из 25 контрольных  работ, среди которых 5 оценены  на отлично, наудачу извлекают  три работы. Составьте таблицу  распределения числа работ, оцененных  на «отлично» и оказавшихся  в выборке. Найдите M(X), D(X), σ(X).

 

Решение:

Имеем случайную величину Х - число отличных работ. Её возможные значения Х = {0, 1, 2, 3}.

Найдем вероятности  выпадения этих значений:

Пусть теперь есть только одна отличная работа. Она может  быть вытащена в первый, во второй или  только в третий раз. Вероятность  такого события:

Здесь 20 и 5 - соответственно число не отличных и отличных работ в исходном массиве, 25, 24 и 23 - число работ, последовательно уменьшающихся по мере того как мы выбираем их по одной.

Далее, пусть есть 2 отличных работы и соответственно 1 не отличная. Эта одна не отличная работа может попасться в первый, второй или третий раз:

И единственный исход  со всеми отличными работами:

Полученные значения заносим в таблицу, которая и  будет представлять закон распределения  данной случайной величины:

xi	0	1	2	3
Pi	0,4956	0,4130	0,0870	0,0043

Сумма всех вероятностей:

Найдём числовые характеристики случайной величины:

Математическое ожидание:

Дисперсия:

Среднеквадратичное отклонение:

 

Ответ:  

 

 

7. Случайная  величина Х задана функцией  распределения:

Найти 1) плотность распределения вероятностей,

2) математическое ожидание,

3) дисперсию случайной величины.

Вычислить вероятность  того, что случайная величина Х  примет значение в интервале (0,5; 1,5).

 

Решение:

1) Плотность распределения вероятностей f(x) равна

При x ≤ 0и x < 2, функция f(x) = 0.

Таким образом, плотность распределения вероятностей f(x) характеризуется выражением:

 

2) Определим математическое  ожидание случайной величины М(Х):

3) Определим дисперсию  случайной величины D(Х):

Найдем вероятность  того, что в результате испытания  случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (0,5; 1,5).

 

Ответ: ,

,     ,   

 

 

8. Известны  математическое ожидание m и среднее квадратическое отклонение s нормально распределённой случайной величины Х. Найти вероятность попадания этой величины в заданный интервал (a, b). Изобразить на графике функции плотности найденную вероятность.

m=0,    s=1,     a=1,     b=4.

 

Решение:

Вероятность того, что нормально распределенная случайная величина х примет значение, принадлежащее интервалу (α, β), равна:

где m – математическое ожидание,

σ – среднее квадратическое отклонение.

По условию m = 0,   s = 1,   a = 1, b = 4.

Следовательно

Значения Ф(4) и Ф(1) найдем по таблицам:

 

Вероятность того, что  случайная величина Х. примет значение в интервале (α, β), численно равна площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком плотности вероятности, снизу осью OX, на интервале от α до β.

 

Ответ: