Контрольная работа по "Математике"

                                 .                                                                          (2)

Так как  пуля движется вдоль прямой в одном  направлении, то ее координата х и пройденный путь l равны в любой момент времени, если начальная координата пули  .

Тогда  уравнение (1) запишется так:

                                .                                                                    (3)

В конце  пути l скорость пули , поэтому уравнение (2) перепишется в виде

                                   .                                                                       (4)

      Решая совместно уравнения (3) и (4), находим 

                             ,                  .

      Для нахождения скорости пули на глубине воспользуемся следующей формулой для равнозамедленного движения:

              ,      откуда    .

  Для глубины  , на которой начальная скорость пули уменьшилась в п раз, т.е. , получим

                             .

Задача 11. Тело брошено под углом к горизонту с начальной скоростью .

Найти:

а) уравнение траектории движения тела;

б) максимальную высоту подъема тела;

в) время движения;

г) дальность полета;

д) величину и направление  конечной скорости тела, если начальное и  конечное положение  тела находятся на одной горизонтали; 

 
 

  Решение:

Начало системы  координат XOY свяжем с положением тела в начальный момент времени. Тогда начальные радиус-вектор и координаты его будут равны нулю ( , , ). Направим оси системы координат как показано на чертеже. Поскольку вектора ускорения и скорости направлены под углом друг к другу, то движение будет происходить по криволинейной траектории.

Закон движения тела в векторной форме в этом случае запишем как:

                                     (1)               Представим данное движение как суперпозицию двух простых движений по осям ОХ и ОY. Для этого разложим вектор начальной скорости и ускорение на две составляющие:     

        Проектируя  уравнение (1) на оси ОХ и ОY,  видим, что в направлении ОХ тело движется равномерно и прямолинейно, т.к. в этом направлении проекции ускорения свободного падения . Законом движения тела по ОХ будет уравнение    , где – проекция начальной скорости на ось ОХ. 

  Тогда         (2)  

  В направлении  OY тело совершает равнопеременное движение с начальной скоростью и ускорением . Уравнение движения тела по OY будет иметь вид

,

где – проекция начальной скорости на ось OY.

Следовательно,

            (3)   

а) Найдем уравнение  траектории движения – зависимость . Для этого из (2) выразим время:  , и подставим его в (3).

  . 

Получим                  

Окончательно:

т.к. зависимость  – квадратичная, то траектория движения – парабола. 

б) Для максимальной точки подъема тело совершает  по OY равнозамедленное движение. Значит,

где – время движения тела до .

Зная, что в точке скорость тела по OY ( ) равна нулю, найдем это время подъема:

 (5)

Подставляя (5) с (4) получим

 (6)

в) Полное время  полета t найдем из уравнения (3). Т.к. конечная координата тела по OY равна нулю, то

 (7)  

г) Под дальностью полета ( ) следует понимать путь, пройденный телом по горизонтали за полное время движения.

Из уравнения (1)            

Используя (7), получим                     

Конечная скорость  ( ) равна     . 

       Из теоремы Пифагора: ,

где и – проекции мгновенной скорости на соответствующей оси. Так как:

 и 

то   

у) Найти направление  вектора, значит, определить величину угла между этим вектором и горизонталью. Таким углом является угол .

Из чертежа:          , 

Ответ:

а) ;     б) ;

в) ;  г) ; д) ; е)

Примечание:

Полученные  уравнения движения (1) – (3) могут  быть применены и к другим частным  случаям движения тела вблизи поверхности  Земли.

В системе  координат, связанной с Землей, уравнения  движения:

 а) тела, брошенного горизонтально на  высоте  над землей с начальной скоростью

      

 

б) тела, брошенного вертикально вверх

в) свободно падающего тела

 

 

Задача 12.Вагон движется равномерно с постоянной скоростью 54 км/ч относительно железно дороги. Найти все кинематические характеристики точки обода колеса, имеющего радиус 30 см., если между колесом и рельсом нет проскальзывания.  

Решение:

Переходим в  подвижную систему отсчета, связанную  с центром колеса вагона. Скорость равномерного движения

                                                                             (1).

 За время  равное периоду, точка пройдет путь равный длине окружности обода колеса. Тогда формула (1) примет вид:

   Частота вращения        

Угловую скорость и центростремительное ускорение  находим по формулам:       .            

Проверка размерности:  ; ;

Расчет:  ; ; ;                                    

Ответы:

 период  вращения точки обода колеса 0,125 с.; частота вращения 8 с^-1; угловая скорость 50 рад/с; центростремительное ускорение 750 м/с².

Задача 13. В направлении от А к в автомобиль ехал некоторое время с постоянной скоростью v1 = 60 км/ч. Остальную часть пути он проехал за такое же время, но со скоростью v2 =40 км/ч. В противоположном направлении автомобиль ехал одну половину пути со скоростью v3= 80 км/ч, а другую половину — со скоростью v4=45 км/ч/ Какова средняя скорость рейса:  а) из А в В? б) из В в А?

Решение:

а) Так как автомобиль в течение одинаковых промежутков времени ехал с каждой из указанных скоростей, то

б) Обратный рейс состоит из двух равных частей пути (предположим, что каждая из них равна s. км), которые пройдены автомобилем в разные промежутки времени; поэтому было бы неверно считать, что

Пусть автомобиль ехал x часов со скоростью v3 и y часов со скоростью v4. Тогда v3x =v4y=s, откуда

Следовательно, средняя скорость

Ответ: а) 50 км/ч; б) 57,6 км/ч. 

Задача 14. Два джентльмена одновременно отправились на прогулку по аллее длиной 100 метров. Мистер Смит за час проходит 1 км, мистер Джонс идёт помедленнее - всего 600 метров в час. Дойдя до конца аллеи, каждый поворачивает и с прежней скоростью идёт обратно. Встречаясь, они каждый раз раскланиваются. Сколько раз они раскланиваются на протяжении первых 25 минут? Сколько времени из этих 25 минут они шли в одном направлении?  
 
 
 
 
 
 
 

    Vc=1000/60=100/6 м/мин

     Tc=100/(100/6)=6 мин

VД= 600/60=10 м/мин

     TД  =100=10 мин 
 
 

Задача 14. Из Астаны(В) в Алматы(А) в 5ч 30мин вылетел самолет. В 8ч 30мин из А в В вылетел вертолет. Скорость самолета и вертолета на всем пути постоянные и они летят по одной трассе. После их встречи вертолет прибыл в В через 9ч, а самолет  А через 2ч. Найти время прибытия самолета в город А.