Комплексные числа в алгебраической форме и операции над ними

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Комплексные числа в алгебраической форме и операции над ними.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Оглавление

Понятие комплексного числа. 3

Алгебраическая форма записи комплексного числа. 4

Сложение (вычитание) комплексных чисел. 5

Умножение комплексных чисел. 6

Деление комплексных чисел. 7

Свойства сложения и умножения комплексных чисел. 8

Список использованной литературы. 9

 

 

Понятие комплексного числа.

 

В множестве действительных чисел действие извлечения корня четной степени из отрицательного числа невыполнимо. Выражения  1 ,, не имеют смысла и, поэтому, уравнения

х² +1=0, х⁴ +16=0, х²+6х+25=0

на этом множестве решений не имеют.  Для того чтобы сделать возможным извлечение корня четной степени из отрицательного числа множество действительных чисел было расширено добавлением к нему множества мнимых чисел. 
 
Число, квадрат которого равен -1, называется мнимой единицей и обозначается буквой i, т.е.

i²=-1=> =±i.

Итак: = ±2i,      =± 5i,      = ·=±i. 

Число вида x+yi ,где x,y – действительные числа, а i – мнимая единица, называется комплексным числом. 
Число x называется действительной частью комплексного числа и обозначается x= Re (x+iy), а y - мнимой частью числа и обозначается y= Im (x+iy).

Два комплексных числа x₁+iy₁ и x₂+iy₂ равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части

x₁=x₂,        y₁=y₂.

 

В множестве комплексных чисел любое квадратное уравнение, в том числе и с отрицательным дискриминантом, имеет решения

x²+1=0 =>  x²=-1  => x_1,2=±i.

x²+9=0  =>  x²=-9  => x_1,2=±3i.

x⁴ -16=0  => (x-2)(x+2)(x²+4)=0  => x_1,2=±2, x_3,4=±2i.

х²+6х+25=0  => x_1,2=-3+=-3+4=-3±4i.

x²+6x+13=0 => x_1,2=-3+=-3±=-3±2i.

x²+x+1=0 => x_1,2= = =- ± i.

 

Алгебраическая  форма записи комплексного числа.

 

Комплексное число принято обозначать одной буквой z=x+iy. Запись z=x+iy называется алгебраической формой записи комплексного числа.

Комплексное число, имеющее  ту же действительную и противоположную  по знаку мнимую часть, называется комплексно-сопряженным  с числом = и обозначается z=x+iy= x-iy. 
Число называется модулем числа z=x+iy и обозначается , или r:

= r = .

Очевидно, что модуль комплексного числа есть всегда неотрицательное  действительное число ≥0.

Алгебраическая форма записи очень  удобна при проведении арифметических операций над комплексными числами, т.к. они аналогичны арифметическим операциям над алгебраическими  двучленами.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сложение (вычитание) комплексных чисел.

 

При сложении (вычитании) двух комплексных чисел складываются (вычитаются) соответственно их действительные и мнимые части.

 
 (2-3i)+ (1+4i) = (2+1) +i (-3+4) =3+i,

(3-5i)- (2+4i) = (3-2) + i (-5-4) =1-9i.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Умножение комплексных чисел. 

Комплексные числа умножаются как алгебраические двучлены, но при  этом необходимо учесть, что i²=-1, а затем привести подобные члены

(2-3i)+ (1+4i) = 2+8i -3i -12i²=2+5i+12=14+5i,

(3-5i)- (2+4i) =6+12i-10i-20i²=6+2i+20=26+2i, 
(4-3i)²=16-24i+9i²=16-24i-9=7-24i,

2(3-i) +5 (4+2i) = 6-2i+20+10i=26+8i,

4(2+i) +i (1-2i) = 8+4i+i-2i²=8+5i+2=10+5i.

 
Найдем произведение двух комплексно-сопряженных  чисел 

z·= (x+iy) (x-iy)=x² + ixy –ixy –i²y²=x²+y²  

 
 
Итак,  произведение  z·   есть действительное число, равное сумме квадратов действительной и мнимой части комплексного числа. Или,  произведение двух комплексно-сопряженных чисел равно квадрату модуля комплексного числа z.

z·= x²+y² =².

 
Например,

(3+2i)· (3-2i) = 3²+2² = 13.

(1-i) · (1+i) = 1²+1² = 2.

() · () = ( )² + ()² = 3 + 2 = 5.

 
Замечание. Используя результат произведения комплексно-сопряженных чисел, можно проводить разложение на множители суммы квадратов действительных чисел

x²+y²= (x+iy)( x-iy).

x²+25 =(x+5i)(x-5i).

x²+4x+5=x²+4x+4+1=(x+2)² + 1= (x+2+i)(x+2-i). 

 

Деление комплексных  чисел. 

Чтобы разделить одно комплексное  число на другое, нужно записать операцию деления в виде дроби, умножить числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю, учитывая, что z=(x+iy)(x-iy)=x²+y², и записать окончательный ответ, выделив действительную и мнимую части.

 
 
(2-3i): (1+4i)= = == = - -i.

(4+5i): i = = = = -4i-5i²=5-4i. 

Запомнить(!): = = = -i.

Итак, = -i.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Свойства сложения и умножения комплексных чисел.

 

1. Коммутативности (переместительный закон):

 

z₁+z₂=z₂+z₁, z1·z2=z2·z1. 

 

 

2. Ассоциативности (сочетательный закон):

 

(z₁+z₂)+z₃ = z₁+(z₂+z₃), (z₁z₂)z₃ = z₁(z₂z₃).

 

 

 

3. Дистрибутивности (распределительный закон):

 

z₁ (z₂+z₃) = z₁z₂ + z₁z₃.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список использованной литературы.

 

1. «Функции комплексного переменного»  часть I «Комплексные числа и функции» Терехина Л.И., Фикс И.И.
2. «Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости» . М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решенные  примеры:

(2 – i)+i = 2 - i + i = 2.

(2-i)-i = 2-i-i = 2-2i.

(2-i)·i = 2i-i² = 2i+1.

(2-i): i = = = = -2i – 1.

 

 

(+ 2i) + (4 - i) = +2i +4 –I = + 4 +i.

( + 2i)- (4- i) = +2i – 4 + I = - 4 + 3i.

( + 2i) · (4-i) = 4 - i +8i -2i² = 4-i +8i+2.

( + 2i): (4-i) = = = = + i.