Комплексні числа

Комплексні числа виникли в математиці на початку XVI століття у зв'язку з рішенням алгебраїчних рівнянь 3-го ступеня, а пізніше, і рівнянь 2-го ступеня. Деякі італійські математики того часу (- Сципіон дель Ферро, Ніколо Тарталья, Джіроломо Кардано, Рафаель Бомбеллі) ввели в розглядсимвол √ -1 як формальне рішення рівняння х ² +1 = 0, а також вираз більш загального вигляду (а + b ∙ √ -1) для запису рішення рівняння (х-а) ² + b ²= 0. Згодом вирази виду (а + b ∙ √ -1) стали називати «уявними», а потім «комплексними» числами і записувати їх у вигляді (а + bi) (символ i для позначення √ -1 ввів Леонард Ейлер у XVIII ст.) . Цих чисел, чисел нової природи виявилося достатньо для вирішення будь-якого квадратного рівняння (включаючи випадок D <0), а також рівняння 3-ей і 4-го ступеня.  
МатематікіXVI ст. і наступних поколінь аж до початку XIX сторіччя ставилися до комплексних числах з явним недовір'ям і упередженням. Вони вважали ці числа «уявними» (Декарт), «неіснуючими», «вигаданими», «виникли від надлишкового мудрування» (Кардано) ... Лейбніц називав ці числа «витонченим і чудовим притулком божественного духу», а √ -1 вважав символом потойбічного світу (і навіть заповідав накреслити його на своїй могилі).  
Проте використання апарату комплексних чисел (незважаючи на підозріле ставлення до них), дозволило вирішити багато важкі завдання. Тому з часом комплексні числа займали все більш важливе положення в математиці і її додатках. В першу чергу вони глибоко проникали в теорію алгебраїчних рівнянь, істотно спростивши їх вивчення. Наприклад, один з важких питань для математиків XVII-XVIII століть перебував у визначенні числа коренів алгебраїчного рівняння n-го ступеня, тобто рівняння виду a ₀ ∙ x ⁿ + a ₁ ∙ x ^{n -1} + ... + a _{n -1} ∙ x + a _n = 0. Відповідь на це питання, як виявилося, залежить від того, серед яких чисел - дійсних чи комплексних - слід шукати корені цього рівняння. Якщо обмежитися дійсними коренями, то можна лише стверджувати, що їх не більше, ніж n. А якщо вважати допустимим наявність і комплексних рішень, то відповідьна поставлене питання виходить вичерпний: будь-яке алгебраїчне рівняння ступеня n (n ≥ 1) має рівно n коренів (дійсних або комплексних), якщо кожен корінь вважати стільки разів, яка його кратність (а це - число співпадаючих з ним коренів). При n ≥ 5 загальне алгебраїчне рівняння ступеня n нерозв'язно в радикалів, тобто не існує формули, що виражає його корені через коефіцієнти за допомогою арифметичних операцій і добування коренів натуральної ступеня.  
Після того, як в XIX ст з'явилося наочне геометричне зображення комплексних чисел за допомогою точок площини і векторів на площині (Гаус в 1831 р, Вессель в 1799 р, Арган в 1806 р), стало можливим зводити до комплексних числах і рівнянням для них багато завдань природознавства , особливо гідро-і аеродинаміки, електротехніки, теорії пружності і міцності, а також геодезії і картографії. З цього часу існування «уявних», або комплексних чисел стало загальновизнаним фактом і вони отримали таку ж реальний зміст, як і числа дійсні. До теперішнього часу вивчення комплексних чисел розвинулося в найважливіший розділ сучасної математики - теорію функцій комплексного змінного (ТФКЗ). 

Будівництво Д.Я. «Короткий нарис історії математики». М., «Наука», 1969.