Колебания в механике

Содержание:

 

1. Введение 
2. Постановка задачи. 
3. Основные вычисления. 
5. Заключение.

6. Литература.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение.

Колебаниями называются движения или  процессы, которые характеризуются  определенной повторяемостью во времени. Колебательные процесс широко распространены в природе и технике, например качания маятника часов, переменный электрический ток и т.д. При  колебательном движении маятника изменяется координата его центра масс, в случае переменного тока колеблются напряжение и ток в цепи. Физическая природа  колебаний может быть разной, поэтому различают колебания механические, электромагнитные и другие. Однако различные колебательные процессы описываются одинаковыми характеристиками и одинаковыми уравнениями. Отсюда следует целесообразность единого подхода к изучению колебаний различной физической природы. Например, единый подход к изучению механических и электромагнитных колебаний применялся английским физиком Д. У. Релеем (1842-1919), а А.Г. Столетовым, русским инженером-экспериментатором П.Н. Лебедевым (1866-1912). Большой вклад в развитие теории колебаний внесли: Л.И. Мандельштам (1879-1944) и его ученики.

Колебания называются свободными (или собственными), если они совершаются за счет первоначально совершенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему (систему, совершающую колебания).

Простейшим типом колебаний  являются гармонические колебания - колебания, при которых колеблющаяся величина изменятся со временем по закону синуса (косинуса). Рассмотрение гармонических колебаний важно  по двум причинам:

- Колебания встречающиеся в природе и технике, часто имеют характер, близкий к гармоническому; 
- Различные периодические процессы (процессы, повторяющиеся через равные промежутки времени) можно представить как наложение гармонических колебаний.

 

Колебания сопровождаются попеременным превращением энергии  одного

вида в  энергию другого вида.

Все виды колебаний  можно классифицировать по следующим параметрам:

• по физической природе (механические и электромагнитные);

• по характеру возникновения и существования (свободные, вынужденные, параметрические, автоколебания);

• по характеру зависимости колеблющейся величины от времени (гармонические и негармонические).

Несмотря  на разную природу колебаний, в них  обнаруживаются одни и те же

физические закономерности; они  описываются одними и теми же уравнениями, исследуются общими методами. В данной курсовой мы рассмотрим механические колебания, т.е. повторяющиеся изменения положений и скоростей каких-либо тел или частей тел, происходящие при взаимодействии сил инерции и возвратных сил (упругих сил, силы тяжести и тому подобные).

Простейшим типом периодических  колебаний являются так называемые гармонические колебания. Колебания какой-либо физической величины А называются гармоническими, если они происходят по закону косинуса или синуса. Например, смещение колеблющейся точки в произвольный момент времени описывается уравнением

x = x _max ·cos(ωt + φ₀ ) (1)

К величинам, характеризующим колебательный  процесс, прежде всего, относятся период (Т) и частота (ν), а также амплитуда (х _max) и фаза.

Величину х _max, равную максимальному значению колеблющейся величины, называют амплитудой колебаний.

Выражение (ωt + φ₀) , стоящее под знаком синуса или косинуса, определяет состояние колеблющейся физической величины в данный момент времени t. Его называют фазой колебания. В момент начала отсчета времени (t=0) фаза колебания равна φ₀. Поэтому величину φ₀ называют начальной фазой колебания, и она, очевидно, зависит от выбора начала отсчета времени. Фазу измеряют в радианах.

Величину ω, входящую в выражение  для фазы колебания, называют

циклической (или круговой) частотой колебаний. Физический смысл

циклической частоты связан с понятиями  периода колебаний Т и частоты

колебаний ν. Периодом незатухающих колебаний  называют тот наименьший

промежуток времени Т, по истечении которого повторяются значения всех

физических величин, характеризующих  колебания. За время Т совершается одно полное колебание.

Маятник с затуханием. Уравнение движения

mх + αх + βх = 0, 0 < t < T, (2)

описывающее эволюцию системы, заменой переменных приводится к

уравнению

х + 2δх + х = 0, 0 < τ < T), (3)

в котором точка над символом обозначает дифференцирование по

переменной т. Здесь, в отличие  от предыдущего примера, энергия  не

сохраняется, это — система с  диссипацией. Строго говоря, это не чисто

механическая система, так как  здесь "сила" равна — 2δx—x и зависит не

только от положения материальной точки, но и от скорости. При δ = 0

получаем рассмотренный случай консервативной системы, при δ> О

возникают два случая — движение периодическое и апериодическое.

Если 0 < δ< 1, то фазовая траектория дается решением задачи

Коши, имеющим вид х = Ае^-δτ cos(ωτ + φ), ω = √(1- δ²), что

соответствует затухающему колебанию, рис. 1.4, а.

Если δ > 1, то фазовая траектория описывает движение без пере-

колебаний, рис. 1.4Д и дается соотношениями х = A₁e^λ1τ + A₂e^λ2τ,

λ_1,2=(-δ±√(δ₂-1))/2

Итак, можно заметить, что в консервативных системах не существует притягивающих  множеств, т.е. таких подмножеств  фазового пространства R_N, к которым с течением времени стремятся траектории, начинающиеся в некоторой их окрестности. Если в консервативной системе существует периодическое движение, то таких движений бесконечно много, и определяются они значением энергии при начальных условиях. Как оказалось, эти особенности являются общими для всех консервативных систем. В диссипативных же системах могут существовать так называемые притягивающие множества, например, типа устойчивых положений равновесия, как в примере с затухающими колебаниями.

Стационарные незатухающие колебания  для диссипативных динами-

ческих систем нехарактерны (даже если они и существуют, то для

реализации такого движения надо специальным  образом выбирать

начальные условия), однако оказывается, что в нелинейных системах

 

Фазовые траектории маятника с затуханием при различных режимах демпфирования:

0< δ <1 (а); δ >1 (б)

возможно существование периодического асимптотически устойчиво-

го движения, так называемого автоколебания, математическим обра-

зом которого является предельный цикл, изображаемый в фазовом

пространстве замкнутой линией, к которой со временем стягиваются

траектории из некоторой окрестности. Примером системы с предель-

ным циклом является генератор Ван дер Поля.

Постановка  задачи.

Например рассмотрим автоколебания. Возьмем мотоцикл

Математический вид мотоцикла, у нас тут переднее колесо примет вид массы m₁, а m2 – это заднее колесо и m3 это вес всего мотоцикла без колес. Шины обозначим пружинами и покажем амортизаторы (передние и задние). Амортизатор показан, как видите демфером и пружиной.

             

Расcмотрим, как будут вести себя механизм. При том когда точки A и B зафиксированы.

               

Тогда сила F=c∆l

∆l=D´O₁ – DO₁=DD´=y₁; CC´= y₂

∆l=A´D´ – DA

A´D´ =AD – AA´ + DD´

∆l=AD – AA´ + DD´– AD= y₃= DD´ – AA´; y₄=CC´–BB´;

Где AA´=z₁; BB´=z₂; DO₁=y₁⁰; AD= y₃⁰; C´O₂= y₂⁰; BC= y₄⁰; A´D´=h₁; B´C´=h₂;

В этом случаи

  ,

      = _,

     b(z1-y5)=a(y5-z2), от этого уравнения следует

    y5=,

h₁=

h₂=2

y₃= h₁ - = – z₁ + y₁ - = y ₁ – z ₁

y₄= h₂ - = – z₂ + y₂ - = y₂- z₂

₃ = (y₁- z₁)́=₁ż₁; ₄ = (y₂- z₂)́=₂ż₂;

F₁=c₁y₁                                                                F₂=c₂y₂

F₃=c₃y₃+k₃₃                                                     F₄=c₄y₄+k₄₄  

Уравнения движения:

m₁y̋₁ = -c₁y1 - c₃y₃ - k₃₃

m₂y̋₂ = -c₂y₂ - c₄y₄ - k₄

(bz̋₁+az̋₂) = c₃y₃ + k₃y₃ + c₄y₄ + k₄ẏ₄

Iφ̋ = (c₃y₃+k₃y₃) a - (c₄y₄+k₄y₄)b

Теперь y₃,y₄,y₅ выразим через z₁,z₂,y₁,y₂

m₁y̋₁ = - c₁y₁ – c₃y₁ + c₃z₁ – k₃ẏ₁ + k₃ż₁

m₂y̋₂ = - c₂y₂ - c₄y₂ + c₄z₂ – k₄ẏ₂ + k₄ż₂

(bz̋1+az̋2) = c₃y₁ – c₃z₁ + k₃ẏ₁ – k₃ż₁ + c₄y₂ – c₄z₂ + k₄ẏ₂ – k₄ż₂

(z̋₁ - z̋₂)= ac₃y₁ – ac₃z₁ + ak₃ẏ₁ – ak₃ż₁ – bc₄y₂ + bc₄z₂ – bk₄ẏ₂ + bk₄ż₂

Запишем коэффициенты этих уравнений  в матрицу 4-ого порядка

Теперь, чтобы подсчитаем  определитель, воспользуемся программой Mathematica, получиться многочлен 8-ого порядка:

Этой же программой подсчитаем корни у этого многочлена:

 

Корни у этого многочлена ровны:

ω1= -71999.4;

ω2= -1.14624;

ω3=-0.512863;

ω4=0.0966709 - 0.270564 i;

ω5=-0.0966709 + 0.270564i;

ω6= 0.18512i- 0.350239 i;

ω7= 0.18512i + 0.350239 i;

ω8=0.190835

Теперь разберем частный случай уравнения движения для переднего колеса

m₁y̋₁ = - c₁y₁ – c₃y₁ + c₃z₁ – k₃ẏ₁ + k₃ż₁

где z1=0 тогда наше уравнение примет вид

m₁y̋₁ = - c₁y₁ – c₃y₁– k₃ ẏ₁

Вычисления

Построим графики зависимости  перемещений и скорости колебаний  сосредоточенной массы на пружине. Для обыкновенных дифференциальных уравнении с постоянными коэффициентами существуют аналитические решения, выражающиеся через  элементарные  функции. Мы же решили использовать численный метод интегрирования уравнения движения.

Для решения задачи воспользуемся  методом половинного интервала (или  уточнённым методом Эйлера):

Здесь – значение  функции в середине  первого подинтервала

– значение функции  в середине подинтервала

 

 

- при последовательным соединении пружины и поршня,

- при параллельном соединении пружины и поршня.

Расчеты производятся в Miсrosoft Office Excel при следующих исходных данных.

Для последовательного соединения:

масса тела- m=10 кг;

жесткость пружины - с=40 Н/м;

начальное положение тела в соответствии с выбором начала отсчета- х₀=13 м;

начальная скорость тела- υ_ох=0 м/с;

начальное смещение тела из положения равновесия- х_о=0 м;

коэффициент трения- к=10 Н·с/м;

временной интервал- [t_o;t_max]=0-150 с;

амплитуда вынуждающей силы- F_в =A_в=100 Н;

частота внешней силы-λ=μ;

шаг программы- Δτ=0, 03=(t-t₀)/n

количество шагов программы  n=500.

Постоянные величины: Масса тела, жёскость пружины, коэффициент трения, частоты: собственная и затухающих колебаний, периоды, начальная фаза χ=0. Переменные: смещение (изменение координаты x), скорость и время.

 

Начальный момент времени  t₀ удобно принять равным нулю.

Вводим формулы, позволяющие  рассчитать периоды: собственный и  затухания, частоту колебаний, коэффициент  затухания и собственную частоту  β, λ, а также интервал времени ∆τ.

Заполняем таблицу данных.

Построение графиков.

По результатам расчетов необходимо построить графики x(t), V(t), V(x).

График V(x) –представляет собой фазовую плоскость.

 

Рис2. Зависимость перемещения от времени: синий график

Рис3. График зависимости  скорости от времени.

Рис4.Фазовые плоскости.

Заключение.