Камбинаторика

    Вероятно, крыловские музыканты так и не перепробовали всех возможных мест. Однако способов не так уж и много. Сколько?

 

    Здесь идет перестановка из четырех, значит, возможно

    P₄=4!=24 варианта перестановок.

 

     Сочетания без повторений

    Сочетанием  без повторений называется такое  размещение, при котором порядок  следования элементов не имеет значения.

    Всякое  подмножество X состоящее из m элементов, называется сочетанием из n элементов по m.

    Таким образом, количество вариантов при  сочетании будет меньше количества размещений.

    Число сочетаний из n элементов по m обозначается .

     .

 

    Примеры задач

 

     Сколько трехкнопочных  комбинаций существует на кодовом замке (все три кнопки нажимаются одновременно), если на нем всего 10 цифр.

    Решение:

    Так как кнопки нажимаются одновременно, то выбор этих трех кнопок – сочетание. Отсюда возможно вариантов.

    У одного человека 7 книг по математике, а у второго – 9. Сколькими способами они могут обменять друг у друга две книги на две книги.

    Решение:

    Так как надо  порядок следования книг не имеет значения, то выбор 2_ух книг - сочетание. Первый человек может выбрать 2 книги способами. Второй человек может выбрать 2 книги . Значит всего по правилу произведения возможно 21*36=756 вариантов.

    При игре в домино 4 игрока делят поровну 28 костей. Сколькими способами они  могут это сделать?

    Первый игрок делает выбор из 28 костей. Второй из 28-7=21 костей, третий 14, а четвертый игрок забирает оставшиеся кости. Следовательно, возможно . 
Размещения и сочетания с повторениями

    Часто в задачах по комбинаторике встречаются  множества, в которых какие-либо компоненты повторяются. Например: в задачах на числа – цифры. Для таких задач при размещениях используется формула , а для сочетаний .

    Примеры задач

    Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?

    Решение. Так как порядок цифр в числе существенен, цифры могут повторяться, то это будут размещения с повторениями из пяти элементов по три, а их число равно .

 

    В кондитерском магазине продавались 4 сорта пироженных: эклеры, песочные, наполеоны и слоеные. Сколькими способами можно купить 7 пироженных.

    Решение: Покупка не зависит от того, в каком порядке укладывают купленные пироженные в коробку. Покупки будут различными, если они отличаются количеством купленных пирожных хотя бы одного сорта. Следовательно, количество различных покупок равно числу сочетаний четырех видов пироженных по семь - .

    Обезьяну  посадили за пишущую машинку с 45 клавишами, определить число попыток, необходимых для того, чтобы она наверняка напечатала первую строку романа Л.Н. Толстого «Анна Каренина», если строка содержит 52 знака и повторений не будет?

    Решение: порядок букв имеет значение. Буквы могут повторяться. Значит, всего есть вариантов.

 

    Перестановки  с повторениями

     , где n-количество всех элементов, n₁,n₂,…,n_r-количество одинаковых элементов.

 

    Примеры задач

    Сколькими способами можно переставить  буквы слова «ананас»?

    Решение: всего букв 6. Из них одинаковы n₁«а»=3, n₂«н»=2, n₃«с»=1. Следовательно, число различных перестановок равно .

 

    

     Задачи для  самостоятельного решения

 

    Сколько перестановок можно сделать из букв слова «Миссисипи».

    Ответ: 2520

      Имеется пять различных стульев и семь рулонов обивочной ткани различных цветов. Сколькими способами можно осуществить обивку стульев.

    Ответ: 16807

    На  памятные сувениры в «Поле Чудес» спонсоры предлагают кофеварки, утюги, телефонные аппараты, духи. Сколькими способами 9 участников игры могут получить эти сувениры? Сколькими способами могут быть выбраны 9 предметов для участников игры?

    Ответ: 4⁹, 220

    Сколькими способами можно расставить на шахматной  доске 8 ладей так, чтобы на одна из них не могла бить другую?

    Ответ: 40320

    Сколько может быть случая выбора 2 карандашей и 3 ручек из пяти различных карандашей и шести различных ручек?

    Ответ:200

    Сколько способов раздачи карт на 4 человека существует в игре                 «Верю - не верю» (карты раздаются полностью, 36 карт).

    Ответ: .

    В течении 30 дней сентября было 12 дождливых  дней, 8 ветреных, 4 холодных, 5 дождливых и ветреных, 3 дождливых и холодных, а один день был и дождливым, и ветреным, и холодным. В течение скольких дней в сентябре стояла хорошая погода.

    Ответ: 15

    На  ферме есть 20 овец и 24 свиньи. Сколькими  способами можно выбрать одну овцу и одну свинью? Если такой выбор уже сделан, сколькими способами можно сделать его еще раз?

    Ответ: 480, 437

    Сколькими способами можно выбрать гласную  и согласную буквы из слова «здание»?

    Ответ: 9

    Сколько существует четных пятизначных чисел, начинающихся нечетной цифрой?

    Ответ: 25000

    В книжный магазин  поступили романы Ф. Купера «Прерия», «Зверобой», «Шпион», «Пионеры», «Следопыт» по одинаковой цене. Сколькими способами библиотека может закупить 17 книг на выбранный чек?

    Ответ:: 2985 
Список используемой литературы

    Савина  Л.Н., Попырев А.В. «КОМБИНАТОРИКА»  издательство Елабужский государственный педагогический институт 1999г

    Халамайзер  А. Я. «Математика? – Забавно!» издание  автора 1989г 

    Интернет

    http:\www.mathclub.zala.ru/0921.html