Элементы математической логики. Высказывания и предикаты

«Элементы математической логики. Высказывания и предикаты»

План:

1. Математические понятия
2. Математические предложения
3. Виды математических предложений. Высказывания.
4. Законы де Моргана:

Математические  понятия

Понятия, которые  изучаются в начальном курсе  математики, обычно представляются в виде четырех групп. В первую включаются понятия, связанные с числами и операциями над ними: число, слагаемое и др. Во вторую входят алгебраические понятия: выражение, равенство, уравнение и пр. Третью составляют геометрические понятия: прямая, отрезок, треугольник и т.д. Четвертую группу образуют понятия, связанные с величинами и их измерением.

Как же изучать  такое обилие самых разных понятий? Прежде всего, надо иметь представление о понятии логической категории и особенностях математических понятий. В логике понятия рассматривают как форму мысли, отражающую объекты, предметы, явления в их существенных и общих свойствах. Языковой формой понятия является слово или группа слов.

Составить понятие  об объекте – это значит уметь  отличить его от других сходных с ним объектов. Математические понятия обладают рядом особенностей. Главная заключается в том, что математические объекты, о которых необходимо составить понятие, в реальности не существуют. Математические объекты созданы умом человека. Это идеальные объекты, отражающие реальные предметы или явления. Например, в геометрии изучают форму и размеры предметов, не принимая во внимание другие свойства: цвет, массу и пр. От всего этого отвлекаются, абстрагируются. Поэтому в геометрии вместо слова «предмет» говорят «геометрическая фигура».

Понятия, изучаемые в  начальном курсе математики, представляют в виде четырех групп:

1. Понятия, связанные  с числами и операциями над  ними: число, сложение, слагаемое,  меньше и др.

2. Выражение, равенство, уравнение и др.

3. Геометрические понятия:  прямая, отрезок, треугольник и  т.д.

4. Понятия, связанные  с величинами и их измерениями.

Чтобы овладеть общими подходами к изучению понятий  в начальном курсе математики, учителю необходимы знания об объеме и содержании понятия, об отношениях между понятиями и о видах определений понятий.

Особенности математических понятий:

• Математические объекты, о которых необходимо составить понятие, в реальности не существуют, а существуют лишь в мышлении человека и в тех знаках и символах, которые образуют математический язык.
• В математике рассматриваются не только понятия, появившиеся при изучении реальных предметов, но и понятия, возникшие на основе первых (например, понятие переменной является абстракцией конкретных переменных величин, т.е. абстракцией от абстракции).

Объем и содержание понятия 

Всякий математический объект обладает определенными свойствами. Среди свойств объекта различают  существенные и несущественные.

Существенное  свойство — это свойство, присуще этому объекту и без него он не может существовать. Несущественные свойства — это такие свойства, отсутствие которых не влияет на существование объекта. (Например: 1. Для квадрата существенными являются свойства: имеет четыре стороны, четыре прямых угла, равные диагонали, равные стороны и т.д., несущественными — у квадрата АВСD сторона АD является горизонтальной. 2. Основания трапеции горизонтальны - несущественное свойство трапеции).

Говоря о математическом объекте, имеют в виду всю совокупность объектов, обозначаемых одним термином (словом, названием). Т.о., всякое понятие характеризуется термином, объемом и содержанием.

Объем понятия — это множество всех объектов, обозначаемых одним термином. Так, множество всех квадратов составляют объем понятия квадрат.

Содержание понятия — множество всех существенных свойств объекта, отраженных в этом понятии.

Объем понятия — множество  различных прямоугольников. Содержание — свойства «иметь четыре стороны», «иметь четыре прямых угла», «иметь равные противоположные стороны», «иметь равные диагонали» и т.д.

Если увеличивается  объем понятия, то уменьшается его  содержание, и наоборот.

Пример. 1 Объем понятия  «квадрат» является частью объема понятия  «прямоугольник», а в содержании понятия «квадрат» содержится больше свойств, чем в содержании понятия <прямоугольник> (т.е. квадрат обладает всеми свойствами прямоугольника и добавляются свойства, характерные для квадрата, но ими не обладают прямоугольники, например, «все стороны равны», <диагонали взаимно перпендикулярны>, <диагонали являются биссектрисами углов» и т.д.).

Объем понятия «прямоугольный треугольник» «меньше» понятия «треугольник», т.к. в объем первого понятия  входят не все треугольники, а только прямоугольные. Но содержание первого  понятия «больше» содержания второго: прямоугольный треугольник обладает не только ,всеми свойствами треугольника, но и другими, присущими только прямоугольным треугольникам.

Определение понятия через род и видовое  отличие.

Определение понятий

1. Определением называется  предложение, разъясняющее суть  нового термина (или обозначения). Как правило, определения строят на основе ранее введенных понятий.

 

 

 

                              

 

 

 

                                                    

Данное определение  можно представить в виде: а есть (по определению) в, или в символах

a  ↔ в

Читают: «а равносильно в по определению» или «а тогда и только тогда, когда в»

Виды определений

 Явные определения имеют форму равенства, совпадения двух понятий (а есть в).

Н-р, прямоугольный треугольник- это треугольник с прямым углом. Имеют вид: а есть в

* Через род и видовое  отличие.

Прямоугольник— это параллелограмм , у которого все углы прямые)

Структура определения  через род и видовое отличие:

 Определяемое понятие =  Родовое  понятие +Видовое отличие (свойства, которые позволяют выделить определяемые объекты из объема родового понятия)

* Генетические (указывается способ образования определенного объекта). Н-р, Шар — это геометрическая фигура, получаемая в результате вращения полукруга вокруг диаметра)

*Индуктивные (указываются некоторые основные объекты теории и правила получения новых из имеющихся) Н-р, Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.)

Неявные (чаще используемые в начальной школе) не имеют формы совпадения двух понятий.

* контекстуальные (через отрывок текста, контекст, н-р, определение уравнения во 2 классе)

* остенсивные (для введения терминов путем демонстрации объектов, которые этими терминами обозначаются, н-р, определение равенств и неравенств в нач.школе: 5=3+2; 8- 3>4)

Правила формулировки определений:

1. Определение должно  быть соразмерным, т.е. объемы  определяемого и определяющего  понятий должны совпадать.

2.В определении (или их системе) не должно быть порочного круга, т.е. нельзя определять понятие через само себя (в определяющем не должно содержаться определяемого термина).

3. Определение должно быть ясным.

Одно и тоже понятие определить через род и видовое отличие, соблюдая сформулированные правила, можно по-разному.

Последовательность  действий при воспроизведении определения  знакомого понятия или построении определения нового:

1. Назвать определяемое  понятие (термин).

2. Указать ближайшее  родовое (по отношению к определяемому) понятие.

3. Перечислить свойства, выделяющие определяемые объекты  из объема родового, т.е. сформулировать  видовое отличие.

4. Проверить, выполнены  ли правила определения понятия  (соразмерно ли оно, нет ли  порочного круга и т.д.).

Математические  предложения

* Элементарные

Н-р,  «число б делится  на З»

* Составные — образованные из элементарных с помощью логических связок «и», «или», «если... ,то...», «тогда и только тогда, когда»,частицы «не» и др.

Н-р, «число 22 четное и  делится на 11»

Каждое математическое предложение характеризуется содержанием  и логической структурой (формой).

для выявления логической структуры составного предложения  надо установить:

1 .из каких элементарных  предложений образовано данное  составное предложение;

2. с помощью каких  логических связок оно образовано.

Например: 1) «число 28 четное и делится на 7».А — «число 28 четное», В- «число 28 делится на 7». Предложения  соединены в составное с помощью  логической связки «и», имеет логическую структуру «А и В».

2). «Если треугольник  равнобедренный, то углы в нем  при основании равны». Структура  этого предложения «Если..., то...».

Математические  предложения могут быть записаны

- на естественном языке  (например: от перемены мест слагаемых  сумма не изменяется);

- на математическом языке с помощью символов (например, х>2; х+35 и т.д.)

Математические предложения  могут иметь одно из двух значений: И (истина), если оно истинно и  Л (ложь),если оно ложно.

Виды математических предложений. Высказывания.

* Высказывания (предложения, относительно которых имеет смысл вопрос: истинно оно или ложно). Обозначение : прописными буквами латинского алфавита ( А, В, С,.. .,i)

Пример: 1 )число 22 — четное; «и»;

2) 7х2=14; «и»; 3) 2+6> 7; «л»; 4)от  перемены мест слагаемых сумма  не изменяется; «и».

* Высказывательная  форма (высказывания, относительно которых нельзя сказать: истинно оно или ложно. При подстановке конкретных значений переменной оно обращается в высказывание: истинное или ложное).В.Ф. порождает множество высказываний одной и той же формы.

Пример: 1)х+5 = 9;это высказыват. форма, из которой можно получить высказывания: 2+5=9,«л»; 4+5=9,«и».

2)число х — двузначное

Различают:

Одноместные;          Двухместные;                      n- местные

А(х); х+3=6.                  А(х;у); х+у=7.                     А(х;у;z; ...)

Область определения  высказывательной формы - множество, из которого выбираются значения переменной (ых), входящей (их) в высказывательную форму.

Т — множество истинности - множество значений переменных, которые  обращают высказывательную форму в истинное высказывание.

Смысл слов «и», «или», «не» в составных  высказываниях

Смысл союза  «и». Пусть А и В — произвольные высказывания. Образуем из них с помощью союза «и» составное высказывание. Назовем его конъюнкцией и обозначим

А ٨В (Читают: «А и В»).

А	В	А ٨В
и	и	и
и	л	л
л	и	л
л	л	л

Н-р, «Число 28 делится  на 7 и на 4» 

Определение. Конъюнкцией высказываний А и В

называется  высказывание А ٨В, которое

истинно, когда  оба высказывания истинны, и 

ложно, когда  хотя бы одно их этих высказываний

ложно.

Определение конъюнкции можно записать с помощью таблицы, называемой таблицей истинности.

Смысл союза  «или». Пусть А и В — произвольные высказывания. Образуем из них с помощью союза «или» составное высказывание. Назовем его дизъюнкцией и обозначим

А ٧ В (Читают: ((А или В»).

Н-р, «Число 28 делится  на 7 или на 9».

Определение. Дизъюнкцией высказываний А и В называется высказывание А ٧ В, которое истинно, когда истинно хотя бы одно их этих высказываний, и ложно, когда оба высказывания ложны.

Таблица истинности дизъюнкции имеет вид: 

А	В	А ٧ В
и	и	и
и	л	и
л	и	и
л	л	л

 

 

 

 

 

 

Смысл слова  «не». Пусть А- произвольное высказывание.

Построим его отрицание.

Отрицание высказывания А обозначают   .

Символ  читают: «Не А» или «Неверно, что А».