Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

Page 1

1
Министерство образования Российской Федерации
Ростовский Государственный Университет
Механико-маттематический факультет
Кафедра геометрии
Казак В.В.
Практикум
по аналитической геометрии для
студентов первого курса
физического факультета
Элементы линейной алгебры
и аналитической геометрии
г.Ростов-на-Дону
2003г.

---

Page 2

2
Содержание
стр.
1. Введение…………………………………………………………………………….3
2. §1 Решение систем линейных уравнений (СЛУ). Определители 2-го и 3-го
порядков. Формулы Крамера. Метод Гаусса……………………………………..4
3. §2 Прямая линия на плоскости. ………………………………………….………..9
4. §3 Линии второго порядка .……………………………………………………...15
5. §4 Векторная алгебра . Аналитическая геометрия в пространстве ...………….23
6. Приложение 1. ……….…………………………………………………………….35
7. Приложение 2 .……………………………………………………………………..36
8. Литература …………………………………………………………………………39

---

Page 3

3
Введение
В данном пособии содержатся методические указания и решения базовых
задач по некоторым разделам алгебры и аналитической геометрии. В конце
каждого параграфа предлагаются задачи для самостоятельного решения. В
завершающей
части
методических
указаний
приведены
образцы
экзаменационных заданий.
Пособие предназначено для студентов первого курса физического
факультета. Оно может быть полезно также преподавателям, ведущим
практические занятия.

---

Page 4

4
§1 Решение систем линейных уравнений (СЛУ).
Определители 2-го и 3-го порядков.
Формулы Крамера. Метод Гаусса.
Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными имеет вид:
a
1
x+b
1
y = c
1
a
2
x+b
2
y = c
2
Если определитель системы не равен нулю:
a
1
b
1
a
2
b
2
То система
(1.1)
имеет единственное решение, которое находится по формулам:
x = ; y = ;
Эти формулы называют формулами Крамера. Для решения систем линейных уравнений
используют также метод Гаусса, который ещё называют методом исключения неизвестных.
Для вычисления определителя третьего порядка используют его разложение по строке
(столбцу):
= a - b + c
( 1.3 )
Методика решения задач .
1. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:
Решение:
Сначала умножим первое уравнение системы на два, а второе на три, и сложим эти новые
уравнения. Получим:
Затем умножим первое уравнение системы на минус три, а второе на два и сложим эти новые
уравнения. Получим:
13y = -13
y = -1
Ответ: x = 1, y = -1.
= a
1
b
2
-a
2
b
1
≠ 0
( 1.1 )
c
1
b
1
c
2
b
2
a
1
b
1
a
2
b
2
a
1
c
1
a
2
c
2
a
1
b
1
a
2
b
2
a b c
a
1
b
1
c
1
a
2
b
2
c
2
b
1
c
1
b
2
c
2
a
1
c
1
a
2
c
2
a
1
b
1
a
2
b
2
2x -3y = 5
3x +2y = 1
2x -3y = 5 · 2 · (-3)
3x +2y = 1
·
3
·
2
13x = 13
x = 1
( 1.2 )

---

Page 5

5
2. Решить систему линейных уравнений,
используя формулы Крамера:
Решение:
Вычисляем определитель системы:
= 13 ≠ 0
Определитель системы отличен от нуля, следовательно система допускает единственное
решение. Неизвестные x и y найдутся по формулам
(1.2)
:
x = = =1 ; y = = = -1 ;
Ответ: x = 1, y = -1.
3. Вычислить определитель
Решение:
Используя соотношение
( 1.3) ,
имеем:
= 2 - 1 + 3 = 2 · 19 – 1
·
(-3) + 3
·
(-12) =
= 38 + 3 – 36 = 5;
Ответ: 5.
Геометрические приложения.
Для решения ряда геометрических задач по данной теме будут использоваться
следующие формулы :
1. Расстояние d между точками A(x
1
, y
1
) и B (x
2
, y
2
) плоскости определяется по формуле
d = (x
2
- x
1
)
2
+ (y
2
- y
1
)
2
(1.4)
2. Для определения площади S треугольника по координатам его вершин нужно
использовать формулу:
S = mod
(1.5)
3. Условие, при котором три точки A (x,y), A
1
(x
1
,y
1
), A
2
(x
2
,y
2
) являются коллинеарными
можно записать так:
2x - 3y = 5
3x + 2y = 1
2 -3
3 2
5 -3
1 2
2 -3
3 2
2 5
3 1
2 -3
3 2
13
13
-13
13
2 1 3
0
4 1
3
5 6
2 1 3
0
4 1
3
5 6
4 1
5 6
0 1
3 6
0 4
3 5
x
1
y
1
1
x
2
y
2
1
x
3
y
3
1
1
2
x y 1
x
1
y
1
1
x
2
y
2
1
= 0
(1.6)

---

Page 6

6
Методика решения задач .
1. Найти вершины треугольника и его площадь, если уравнения сторон треугольника
имеют вид: AB: 4x – y = 5; BC: - x + 6y =16; AC: 3x + 5y = -2.
Решение:
Для определения трех вершин треугольника нужно решить три системы линейных уравнений с
двумя неизвестными.
Первая система для нахождения вершины A имеет вид:
Решаем её методом Гаусса:
находим x
A
=1, y
A
= -1.
Для вершины B имеем :
получим x
B
=2, y
B
=3.
Аналогично для вершины С:
находим x
C
= -4, y
C
= 2.
Воспользуемся формулой
(1.5)
для определения площади треугольника по координатам
его вершин, в которой нужно взять x
1
=1; x
2
=2; x
3
= -4; y
1
= -1; y
2
=3; y
3
=2.
Подставляя эти значения в формулу, получим:
S = mod = mod 1 -(-1) +1
=
= mod 1 + 6 + 16 = 11.5
Ответ: A (1,-1); B(2,3); C(-4,2); S = 11.5
2. Определить центр и радиус круга, описанного около треугольника с вершинами: A(4,3);
B(-3,2), C(1,-6)
Решение:
4x - y = 5
3x +5y = -2
4x - y = 5
·
5
·
(-3)
3x +5y = -2
·
1
·
4
4x - y = 5
·
6
·
1
-x + 6y = 16
·
1
·
4
-x + 6y = 16
·
(-5)
·
3
3x + 5y = -2
·
6
·
1
1 -1 1
2
3 1
-4 2 1
1
2
1
2
3 1
2 1
2 1
-4 1
2 3
-4 2
1
2

---

Page 7

7
Обозначим неизвестные нам координаты
центра O круга через (a,b), затем соединим
вершины треугольника с центром О описанного круга , получим, что AO = BO = CO=R, как
радиусы этого круга. Используя формулу
(1.4)
для вычисления расстояния между двумя
точками, будем иметь:
AO =BO , (a –4)
2
+ (b -3)
2
= (a +3 )
2
+(b –2 )
2
CO =BO , (a - 1)
2
+ (b +6)
2
= (a +3 )
2
+(b –2 )
2
Таким образом, для нахождения координат (a,b) центра O описанного круга, получим систему
двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Возводя в квадрат оба уравнения и раскрывая
скобки, получим:
Приведя подобные слагаемые, получим:
Решая эту систему методом Гаусса, найдём координаты центра О:
Радиус описанного круга находим по формуле
(1.4)
:
R = AO = (a-4)
2
+ (b-3)
2
= (1-4)
2
+ (-1 -3)
2
= 25 = 5;
Ответ: О(1,-1); R =5.
3. Даны четыре точки: A
1
(-1,2), A
2
(1,-1), A
3
(3, -4), A
4
(5,-7). Определить являются ли они
коллинеарными?
Решение:
Для того, чтобы узнать коллинеарны ли данные четыре точки сначала нужно проверить условие
(1.6)
для первых трех точек A
1,
A
2,
A
3
, полагая: x= -1, x
1
= 1, x
2
= 3; y = 2, y
1
= -1, y
2
= -4.
= -1 - 2 + 1 = -3 + 4 –1 = 0
Получим, что точки A
1,
A
2,
A
3
являются коллинеарными. Теперь достаточно взять первые две
точки A
1,
A
2
и четвертую точку A
4
, и уже для них проверить требование (
1.6
), полагая: x = -1,
x
1
= 1, x
2
= 5; y = 2, y
1
= -1, y
2
= -7;
= -1 -2 + 1 = -6 + 8 –2 =0
Итак, получим, что точки A
1,
A
2,
A
4
являются коллинеарными, а поскольку точка A
3
является
коллинеарной с точками A
1,
A
2
, то все данные четыре точки A
1,
A
2,
A
3,
A
4
будут
коллинеарными.
Ответ: да.
Задачи для самостоятельного решения:
a
2
– 8a +16 +b
2
– 6b +9 = a
2
+6a +9 +b
2
-4b+4,
a
2
–2a +1 +b
2
+12b +36 =a
2
+6a +9 +b
2
-4b+4,
14a + 2b =12,
8a –16b =24,
7a + b = 6
·
4
·
(-2)
2a – 4b =6
·
1
·
7
30a = 30,
-30b =30,
a = 1,
b =-1,
-1 2 1
1 -1 1
3 -4 1
-1 1
-4 1
1 1
3 1
1 -1
3 -4
-1 2 1
1 -1 1
5 -7 1
-1 1
-7 1
1 1
5 1
1 -1
5 -7

---

Page 8

8
1. Найти вершины треугольника и его
площадь, если уравнения сторон треугольника
имеют вид: AB: x – 7y = – 17; BC: 2 x + y = –4; AC: 3x – y = 9.
Ответ: A(4,3); B(-3,2); C(1,-6); S = 30.
2. . Найти вершины треугольника и его площадь, если уравнения сторон треугольника имеют
вид: AB: x +y = 4; BC: 3 x - y = 0; AC: x –3y = 8.
Ответ: A(5,-1); B(1,3); C(-1,-3); S = 16.
3. Найти вершины треугольника и его площадь, если уравнения сторон треугольника имеют
вид: AB: 4x +3y = 21; BC: x + 2y = 4; AC: 3x + y = 7.
Ответ: A(0,7); B(6,-1); C(2,1); S = 10.
4. Найти вершины треугольника и его площадь, если уравнения сторон треугольника имеют
вид: AB: 3x – 4y = – 6; BC: 2x - y = 6; AC: 4x + 3y =-8.
Ответ: A(-2,0); B(6,6); C(1,-4); S = 25.
5. Найти вершины треугольника и его площадь, если уравнения сторон треугольника имеют
вид: AB: x – y = 2; BC: x + 2 y =14; AC: 7x – y =8.
Ответ: A(1,-1); B(6,4); C(2,6); S =15.
6.Определить центр и радиус круга,описанного около треугольника с вершинами A(-3.-1);
B(5,3);C(6,-4).
Ответ: O(2,-1);R=5.
7.Определить центр и радиус круга,описанного около треугольника с вершинами A(-1.3);
B(0,2);C(1,-1).
Ответ: O(-4,-1);R=5.
8.Определить центр и радиус круга,описанного около треугольника с вершинами A(1.-2);
B(0,-1);C(-3,0).
Ответ: O(-3,-5);R=5.
9.Определить центр и радиус круга,описанного около треугольника с вершинами A(2.7);
B(-4,5);C(10,3).
Ответ: O(2,-3);R=10.
10.Определить центр и радиус круга,описанного около треугольника с вершинами A(1.2);
B(8,9);C(10,5).
Ответ: O(5,5);R=5.
11. Определить вид треугольника, если координаты его вершин известны: A(0,0);
B(4,2);C(-2,4).
Ответ: треугольник – прямоугольный.
12. Определить вид треугольника, если координаты его вершин известны: A(-4,2);
B(0,1);C(3,3).
Ответ: треугольник – прямоугольный.
13. Определить вид треугольника, если координаты его вершин известны: A(-3,-2);
B(0,-1);C(-2,5).
Ответ: треугольник – прямоугольный.
14. Определить вид треугольника, если координаты его вершин известны: A(2,4);
B(4,2);C(-1,1).
Ответ: треугольник – прямоугольный.
15. Определить вид треугольника, если координаты его вершин известны: A(2,-5);
B(-7,-4); C(-1,6).
Ответ: треугольник – остроугольный.
16. Даны четыре точки: A
1
(2,-3), A
2
(-2,-2), A
3
(-6,-1), A
4
(6,-4).Определить являются ли они
коллинеарными?
Ответ: да.
17. Даны четыре точки: A
1
(-1, -2), A
2
(2,-3), A
3
(5,-4), A
4
(8,-5).Определить являются ли они
коллинеарными?
Ответ: да.

---

Page 9

9
18. Даны четыре точки: A
1
(-2,1), A
2
(1,3),
A
3
(4,5), A
4
(-1,7). Определить являются ли они
коллинеарными?
Ответ: нет.
19. Даны пять точек: A
1
(1,3), A
2
(2,-1), A
3
(0,7), A
4
(3,-5), A
5
(4,-9), .Определить являются ли они
коллинеарными?
Ответ: да.
20. Даны пять точек: A
1
(-3,-2), A
2
(1,0), A
3
(5,2), A
4
(9,3), A
5
(-7,-4) .Определить являются ли они
коллинеарными?
Ответ: нет.
§2 Прямая линия на плоскости.
Прямая на плоскости задаётся различными уравнениями :
1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом: y = kx + b,
где k - угловой коэффициент
2. Общее уравнение прямой : Ax+By+C=0
3. Уравнение прямой в отрезках на осях:
где a и b – величины отрезков отсекаемых прямой на осях Ox и Oy.
4. Уравнение прямой, проходящей через данную точку A(x
1
,y
1
) в данном направлении,
определямом угловым коэффициентом k:
y - y
1
= k (x - x
1
)
Это уравнение определяет прямые, не параллельные оси Oy, проходящие через точку
A(x
1
,y
1
).
5. Уравнение прямой, проходящей через две точки A(x
1
,y
1
) и B(x
2
,y
2
) , записывается так:
где угловой коэффициент прямой, проходящей через две данные точки, определяется по
формуле:
k = =
6. Параметрические уравнения прямой :
7. Если две прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом:
y = k
1
x + b
1
,
y = k
2
x + b
2
,
то угол между ними α определиться по формуле:

tg α =
8. Условие параллельности двух прямых: k
1
= k
2
9. Условие перпендикулярности двух прямых:
k
1
k
2
= -1 или k
2
= -
10. Расстояние d от данной точки A
1
(x
1
,y
1
) до данной прямой Ax + By + C = 0 вычисляется по
x
a
y
b
+
=1,
y - y
1
y
2
- y
1
=
x - x
1
x
2
- x
1
k
2
- k
1
1 + k
1
k
2
1
k
1
( 2.1 )
( 2.2 )
( 2.3 )
( 2.4 )
( 2.5 )
( 2.8 )
( 2.8 )
( 2.7 )
y - y
1
m
=
x - x
1
n
m
n
y
2
- y
1
x
2
- x
1
( 2.6 )
( 2.9 )
x = x
1
+ nt,
y = y
1
+ mt,

---

Page 10

10
формуле:
d =
Методика решения задач .
1. Найти координаты точки A
1
, симметричной точке A(5,7) относительно прямой x + 2y – 4 = 0.
Решение:
Для того, чтобы найти координаты т. A
1
, симметричной т.A, мы опустим перпендикуляр из
т.A(5,7) на данную прямую x + 2y – 4 =0, и обозначим основание перпендикуляра через точку
B(x,y). Угловой коэффициент перпендикуляра AB мы найдем из условия
(2.9)
, то есть он
должен быть обратен по абсолютной величине и противоположен по знаку угловому
коэффициенту данной прямой. Угловой коэффициент данной прямой x + 2y – 4 = 0:
k
1
= -
тогда угловой коэффициент прямой, ей перпендикулярной k
2
= 2.
Подставив в уравнение
(2.4)
k
2
= 2, а вместо x
1
и y
1
координаты данной точки A(5,7), найдем
y – 7 = 2(x – 5) или 2x – y – 3 = 0 – уравнение перпендикуляра AB. Решив его совместно с
уравнением данной прямой, найдем точку B, которая есть середина отрезка AA
1
.
Теперь, зная координаты точки B – середины перпендикуляра AA
1
и координаты одного из его
концов A(5,7) , по формулам для вычисления координат середины отрезка:
x = , y = ,
легко определим искомые координаты симметричной точки A
1
. В этих формулах надо
положить x = 2; y = 1; x
1
= 5; y
1
= 7.
Искомыми будут
x
A
1 ,
y
A
1
- координаты точки A
1
.
В результате получаем :
= 2; 5 +
x
A
1
= 4;
x
A
1
= -1;
= 1; 7 +
y
A
1
= 2;
y
A
1
= -5;
Ответ: A
1
(-1; -5)
2. Найти расстояние между двумя параллельными прямыми:
3x + 4y – 12 = 0
3x + 4y + 13 = 0
Решение:
Искомое расстояние мы найдем, как расстояние от произвольной точки первой прямой
до второй прямой. Возьмем на первой прямой произвольную точку, например, точку с
абсциссой x = 0. Её ордината будет y = 3. Итак, на первой прямой выбрана точка A(0,3). Найдем
теперь расстояние от этой точки до второй прямой по формуле
(2.10),
подставив в неё
координаты точки A:
d = = = 5.
Ax
1
+ By
1
+ C
A
2
+ B
2
1
2
x + 2y – 4 = 0
·
1
·
(-2),
2x –y – 3 = 0
·
2
·
1,
5x = 10,
-5y = -5,
x = 2,
y = 1,
x
1
+ x
2
2
y
1
+ y
2
2
5 +
x
A
1
2
7 +
y
A
1
2
3
·
0 + 4
·
3+13
3
2
+ 4
2
25
25
( 2.11 )
( 2.10 )

---

Page 11

11
Ответ: d = 5.
3. В треугольнике с вершинами A(0,7); B(6,-1); C(2,1) найти : 1) углы, 2) точку S – точку
пересечения медиан, 3) точку T - точку пересечения высот , 4) длину высоты BD.
Решение:
1)Для нахождения углов в треугольнике ABC нужно воспользоваться формулой
(2.6),
но для этого надо ещё определить угловые коэффициенты всех трех сторон треугольника.
По формуле
(2.6)
находим угловый коэффициент стороны AB:
= или k
AB
= = - ;
Аналогично для BC :
= - или
k
BC
= - ;
Угловый коэффициент стороны AC равен :
= или
k
AC
= - 3 ;
Теперь по следующим формулам находим:
tg ∠ A = = = ,
tg ∠ B = = = ,
tg ∠ C = = = -1,
Ответ: tg ∠A = ; tg ∠B = ; tg ∠C = -1 .
Замечание:
Если при решении задачи указанным способом, окажется, что два тангенса любых двух углов
треугольника будут отрицательными, то следует все три знака искомых тангенсов поменять на
противоположные .
2)Для ответа на второй вопрос задачи нужно найти уравнения хотя бы двух медиан, а затем
найдём координаты точки пересечения , решив систему двух линейных уравнений с двумя
неизвестными:
Найдем середины сторон BC и AC, обозначив их соответственно M и N.
По формулам
(2.11)
имеем:
x
M
= = 4 ; y
M
= = 0;
x
N
= = 1; y
N
= = 4;
Уравнение медианы AM имеет вид:
= или 7x+4y-28=0;
x - 0
6 - 0
-1 - 7
6 - 0
-8
6
1 - (-1)
2 - 6
1 - 7
2 - 0
- 6
2
k
AB
– k
AC
1 + k
AB
k
AC
1
3
k
BC
– k
AB
1 + k
AB
k
BC
4
3
1 + 4
3 -
4
3
1
2
-
+
2
3
3 +
1
2
1
2
3
-
+
3
2
1 +
k
AC
– k
BC
1 + k
BC
k
AC
y
2
– y
1
x
2
– x
1
6 + 2
2
1 + (-1)
2
0 + 2
2
7 + 1
2
x - 0
4 - 0
y - 7
0 - 7
x - 0
4 - 0
x - 6
1 - 6
y - (-1)
4 - (-1)
1
3
1
2
4
3
2
4
1
2

---

Page 12

12
Уравнение медианы BN: = или x + y - 5=0.
Точку S - точку пересечения медиан найдём , решая систему,составленную из уравнений
медиан AM и BN:
Получим: -3x = -8, x = ,
-3y = -7,
y = ,
Ответ: S( , ) .
3)Аналогично, для нахождения точки пересечения высот треугольника, достаточно найти
уравнения двух высот, а затем решить систему из этих уравнений. Найдем высоту BD. Для
этого найдём её угловой коэффициент из условия ортогональности
(2.9)
:
k
BD
= = = ,
подставляя k
BD
= в уравнение
(2.4),
в котором положим x
1
= 6, y
1
= -1, получим:
y - (-1) = (x - 6) или x - 3y - 9 = 0. Аналогично для высоты AE найдем k
AE
= - = 2 и её
уравнение: y – 7 = 2(x - 0) или 2x – y + 7 = 0.
Координаты точки пересечения высот BD и AE находим, решая систему:
-5x = 30, x = - 6,
5y = -25, y = - 5,
Ответ: T ( - 6, - 5) .
4)Длину высоты BD находим по формуле
(2.10)
, полагая в ней x
1
= 6, y
1
= -1 и используя
уравнение стороны AC : 3x + y –7 = 0, получим:
BD = == = 10
Ответ: BD = 10 .
4. Найти уравнения биссектрис углов между прямыми 12x + 9y – 17 = 0 и 3x + 4y + 11 = 0 .
Решение:
Из элементарной геометрии известно, что биссектриса угла между двумя прямыми есть
геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла. Расстояния от точки биссектрисы
до сторон угла обозначим через d
1
и d
2
. По формуле
(2.10),
в которой (x
1
,y
1
) будут текущими
координатами точки на биссектрисе, получим
d
1
= ; d
2
=
Используя указанное выше свойство биссектрисы , имеем : d
1
= d
2
, то есть
== + и
= -
Окончательно уравнения биссектрис получаем в виде : 21x
1
+21y
1
+16=0 ; 3x
1
-3y
1
-50=0.
Ответ: 21x
1
+21y
1
+16=0 ; 3x
1
-3y
1
-50=0.
7x + 4y -28 = 0
· (-
1 )
·
1,
x + y - 5 = 0
·
4
·
(-7)
8
3
7
3
-1
(-3)
1
3
1
3
-1
k
AC
1
3
1
k
BC
x - 3y - 9 = 0
·
1
·
(-2),
2x - y + 7 = 0
·
(-3)
·
1 ,
3
·
6 + 1
·
(-1) – 7
3
2
+ 1
2
10
10
8
3
7
3
12x
1
+ 9y
1
- 17
12
2
+9
2
3x
1
+ 4y
1
+ 11
3
2
+ 4
2
12x
1
+ 9y
1
- 17
15
3x
1
+ 4y
1
+ 11
5
12x
1
+ 9y
1
- 17
15
3x
1
+ 4y
1
+ 11
5

---

Page 13

13
5.Написать уравнения пучка прямых ,
проходящих через точку (3,-1) и
составляющих с
прямой 2x – 5y – 8=0 угол , равный 45.
Решение :
Уравнение пучка прямых
(2.4)
, проходящих через точку (3,-1),имеет вид : y+1=k(x-3) , x – 3 =0
Так как по условию искомые прямые составляют угол 45 с прямой 2x-5y-8=0 ,то
воспользовавшись соотношением
(2.7) ,
найдём k
2
–угловой коэффициент искомых прямых.
Угловой коэффициент прямой 2x-5y-8=0 : k
1
= , а tg 45 =1.Подставляя эти значения в
(2.7)
,
имеем:
1=
1 + k
2
или k
-2
- = 1 + k
2
и k
2
- = - (1 + k
2
).
Получим , что
k
2
= ; k
2
=
и
k
2
= - ; k
2
= - .
Таким образом , искомые прямые имеют вид : y+1= (x-3) и y+1= - (x-3)
или 7x – 3y – 24=0 и 3x + 7y – 2=0 .
Ответ: 7x – 3y – 24=0 и 3x + 7y – 2=0 .
Задачи для самостоятельного решения:
1. Найти координаты точки A
1
, симметричной точке A(-1,2) относительно прямой 3x - 5y+5 = 0.
Ответ: A
1
(- ; - )
2. Найти координаты точки A
1
, симметричной точке A(2,5) относительно прямой x – 3y + 7 = 0.
Ответ: A
1
( ; )
3. Найти координаты точки A
1
, симметричной точке A(3,-1) относительно прямой 3x – y+ 2 = 0.
Ответ: A
1
(- ; )
4. Найти координаты точки A
1
, симметричной точке A(1,-2) относительно прямой 2x – y –6=0.
Ответ: A
1
( ; - )
5. Найти координаты точки A
1
, симметричной точке A(2,7) относительно прямой 2x – y –1 = 0.
Ответ: A
1
( ; )
6. Найти расстояние между двумя параллельными прямыми:
4x + 3y + 1 = 0
4x + 3y - 14 = 0
Ответ: d = 3.
7. Найти расстояние между двумя параллельными прямыми:
8x - 15y – 16 = 0
2
5
k
2
-
2
5
2
5
2
5
2
5
2
5
3
5
7
5
7
3
7
5
3
5
3
7
7
3
3
7
27
17
6
17
16
5
7
5
13
5
7
5
21
5
14
5
26
5
27
5
2
5

---

Page 14

14
8x - 15y + 1 = 0
Ответ: d = 1.
8. Найти расстояние между двумя параллельными прямыми:
4x + 3y + 1 = 0
4x + 3y + 16 = 0
Ответ: d = 3.
9. Найти расстояние между двумя параллельными прямыми:
3x - 4y + 8 = 0
3x - 4y + 13 = 0
Ответ: d = 1.
10. Найти расстояние между двумя параллельными прямыми:
6x + 8y – 12 = 0
6x + 8y - 24 = 0
Ответ: d = 2.
11. В треугольнике с вершинами A(1,3); B(-1,-3); C(5,-1) найти углы, точку S –точку
пересечения медиан, точку T - точку пересечения высот и длину высоты BD.
Ответ: tg A =2 ; tg B = ; tg C = 2; S( , ); T ( -6, -5); BD =4 2
12. В треугольнике с вершинами A(-3,0); B(7,6); C(1,4) найти углы, точку S – точку пересечения
медиан, точку T - точку пересечения высот и длину высоты BD.
Ответ: tg A= ; tg B = ; tg C = - ; S(
, ); T ( -11,24) ; BD =2 2
13. В треугольнике с вершинами A(1,2); B(-2,-1); C(7,-7) найти углы, точку S – точку
пересечения медиан, точку T - точку пересечения высот и длину высоты BD.
Ответ: tg A = ; tg B = 5 ; tg C = 5; S( 2 , - 2 ); T( , - ); BD =
14. В треугольнике с вершинами A(-2,3); B(4,1); C(6,-5) найти углы, точку S – точку
пересечения медиан, точку T - точку пересечения высот и длину высоты BD.
Ответ: tg A = ; tg B = - ; tg C = ; S(
, - ); T( 10 , 7 ); BD = 2 2
15. В треугольнике с вершинами A(1,-1); B(0,2); C(4,-2) найти углы, точку S – точку
пересечения медиан, точку T - точку пересечения высот и длину высоты BD.
Ответ: tg A = - ; tg B = ; tg C = ; S( , - ); T( - 2 ,- 4 ); BD = 10
16. Найти уравнения биссектрис углов между прямыми 2x + 3y –12 = 0 и 3x +2y –12 = 0
Ответ: x
1
– y
1
= 0 ; 5x
1
+ 5y
1
–24 = 0.
17. Найти уравнения биссектрис углов между прямыми 4x + 2y +7 = 0 и 2x – 4y +15 = 0
Ответ: x
1
+ 3y
1
– 4 = 0 ; 3x
1
– y
1
+ 11= 0.
18. Найти уравнения биссектрис углов между прямыми 7x – 4y = 0 и 8x – y – 25 = 0
Ответ: 3x
1
– y
1
– 5 = 0.
19. Найти уравнения биссектрис углов между прямыми x + 2y +1 = 0 и 2x + y – 3 = 0
Ответ: x
1
– y
1
– 4 = 0 ; 3x
1
+ 3y
1
– 2 = 0.
20. Найти уравнения биссектрис углов между прямыми 3x – 4y + 2 = 0 и 4x – 3y +1 = 0
Ответ: x
1
+ y
1
– 1 = 0 ; 7x
1
– 7y
1
+ 3 = 0.
21. Написать уравнения пучка прямых , проходящих через точку (1,-1) и составляющих с
прямой 3x + 5y – 4 = 0 угол , равный 45.
Ответ: x – 4y – 5 = 0 и 4x + y – 3 = 0 .
4
3
5
3
-1
3
2
9
5
3
1
4
5
12
1
5
1
5
15
13
1
2
10
3
1
2
4
3
1
2
8
3
1
3
4
3
1
2
1
2
5
3
1
3
4
5

---

Page 15

15
22. Написать уравнения пучка прямых ,
проходящих через точку (-1,2) и
составляющих с
прямой 4x + 2y – 7 = 0 угол , равный 45.
Ответ: x + 3y – 5 = 0 и 3x – y + 5 = 0 .
23. Написать уравнения пучка прямых , проходящих через точку ( 3,0) и составляющих с
прямой 2x – y + 6 = 0 угол , равный 45.
Ответ: 3x + y – 9 = 0 и x – 3y – 3 = 0 .
24. Написать уравнения пучка прямых , проходящих через точку (-2,1) и составляющих с
прямой 3x – 2y + 1 = 0 угол , равный 45.
Ответ: 5x + y + 9 = 0 и x – 5y + 7 = 0 .
25. Написать уравнения пучка прямых , проходящих через точку (4,-1) и составляющих с
прямой 6x – 2y + 3 = 0 угол , равный 45.
Ответ: 2x + y – 7 = 0 и x – 2y – 6 = 0 .
§3 Линии второго порядка .
1. Эллипс.
Определение . Эллипсом называется геометрическое место точек,для которых сумма
расстояний до двух данных фиксированных точек(фокусов) есть для всех точек эллипса одна и
та же постоянная величина(эта постоянная величина должна быть больше,чем расстояние
между фокусами).
a) Каноническое уравнение эллипса: + = 1,
если a > b , то a – большая полуось эллипса , b – малая полуось эллипса.
б) Если 2с – расстояние между фокусами, то между a,b и c (если a>b) существует соотношение:
a
2
– b
2
= c
2
.
в) Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами этого
эллипса к длине его большой полуоси.
e = ,
у эллипса эксцентриситет e < 1 (так как c < a ), а его фокусы лежат на большой оси.
2. Гипербола.
Определение . Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний
которых от двух данных фиксированных точек (фокусов) гиперболы есть величина постоянная.
Предполагается, что эта постоянная величина не равна нулю и меньше, чем расстояние между
фокусами.
a) Каноническое уравнение гиперболы: - = 1
Здесь a – действительная полуось гиперболы,
b – мнимая полуось гиперболы,
б) Если 2c – расстояние между фокусами гиперболы, то между a,b и c существует соотношение:
a
2
+ b
2
= c
2
,
в) Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами этой
гиперболы к длине её действительной оси:
e = > 1.
г)Асимптоты гиперболы – две прямые , определяемые уравнениями:
y = x
y = - x
x
2
a
2
y
2
b
2
c
a
x
2
a
2
y
2
b
2
c
a
( 3.1 )
( 3.3 )
( 3.4 )
( 3.5 )
( 3.6 )
( 3.7 )
( 3.8 )
b
a
b
a
( 3.9 )
( 3.2 )

---

Page 16

16
±
3.Парабола.
Определение . Параболой называется геометрическое место точек , каждая из которых
одинаково удалена от заданной фиксированной точки и от заданной фиксированной прямой.
Точка , о которой идёт речь в определении называется фокусом параболы , а прямая – её
директрисой.
а) Каноническое уравнение параболы : y
2
= 2px
Входящая в это уравнение величина p называется параметром параболы. Параметр параболы
равен расстоянию от директрисы параболы до её фокуса . Координаты F - фокуса
параболы
(3.11)
F ( , 0 )
б)Уравнение директрисы параболы
(3.11)
: x = -
в) Эксцентриситет параболы e = 1.
4.Директрисы и касательные к линиям второго порядка.
а) Директрисами эллипса
(3.2)
и гиперболы
(3.6)
называются прямые , параллельные оси Oy и
отстоящие от неё на расстоянии
, e – эксцентриситет линии.
Уравнения директрис : x =
б) Уравнения касательной
к эллипсу
(3.2)
: + = 1,
к гиперболе
(3.6)
: - = 1,
к параболе
(3.11)
: yy
0
= p(x + x
0
),
где (x
0
;y
0
) – точка касания.
в)Признак касания прямой Ax + By + C = 0
к эллипсу
(3.2)
:
A
2
a
2
+ B
2
b
2
= C
2
к гиперболе
(3.6)
: A
2
a
2
- B
2
b
2
= C
2
к параболе
(3.11)
: pB
2
= 2AC
Методика решения задач .
1.Найти общее уравнение эллипса , если известны его фокусы F
1
(1,0) ; F
2
(0,1) и большая
полуось a = 2.
Решение:
Для решения этой задачи нужно использовать определение (3.1).Обозначая текущие
координаты некоторой точки эллипса через M(x , y),находя расстояния от этой точки M до
фокусов F
1
,F
2
по формуле
(1.4)
, наконец , воспользуемся определением
(3.1)
:
F
1
M + F
2
M = 2a .
Подставляя в это соотношение данные из условия задачи , получим :
(x – 1)
2
+ y
2
+ x
2
+ (y - 1)
2
= 2 ⋅ 2
Перенесём второе слагаемое из левой части вправо и возведём обе части полученного
уравнения в квадрат :
(x – 1)
2
+ y
2
=16 - 8 x
2
+ (y - 1)
2
+ x
2
+ (y – 1)
2
Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:
x
2
– 2x + 1 + y
2
= 16 – 8 x
2
+ (y - 1)
2
+ x
2
+ y
2
– 2y + 1
8 x
2
+ (y - 1)
2
= 2x – 2y + 16
Ещё раз возводим в квадрат обе части :
64x
2
+ 64(y - 1)
2
= (2x – 2y)
2
+ 32(2x – 2y) + 256
64x
2
+ 64y
2
– 128y + 64 = 4x
2
– 8xy + 4y
2
+ 64x – 64y + 256
Приводим подобные слагаемые , в результате получаем :
60x
2
+ 8xy – 64x + 60y
2
– 64y – 192 = 0
( 3.10 )
( 3.11 )
p
2
( 3.12 )
p
2
a
e
a
e
( 3.13 )
xx
0
a
yy
0
b
xx
0
a
yy
0
b
( 3.15 )
( 3.16 )
( 3.17 )
( 3.14 )

---

Page 17

17
Ответ : 60x
2
+ 8xy – 64x + 60y
2
– 64y – 192 = 0
2. Эллипс, симметричный относительно осей координат проходит через точки A(2, 3 ) и B(0,2).
Написать его каноническое уравнение.
Решение:
Точки A и B из условия задачи принадлежат искомому уравнению эллипса, которое имеет
вид
(3.2)
. Очевидно, что координаты данных точек A(2, 3 ) и B(0,2) будут удовлетворять
формуле
(3.2)
; то есть, подставляя координаты точки A в
(3.2)
, будем иметь:
+ = 1;
Аналогично, для точки B:
+ = 1;
Решим совместно, полученные уравнения:
+ = 1; Для удобства обозначим: = u; 4u + 3v = 1;
0 + = 1; = v; 4v = 1;
Решая её, получим:
u = ; = ; a
2
= 16;
v = ; = ; b
2
= 4;
В результате, каноническое уравнение
(3.2)
примет вид:
+ = 1;
Ответ:
+ = 1.
3. Написать каноническое уравнение эллипса, директрисами которого служат прямые x
и большая полуось которого равна двум.
Решение:
Предварительно сделаем некоторые преобразования с уравнениями директрис
(3.13)
: x ,
по определению эксцентриситета
(3.4)
: e = .Подставим
(3.4)
в знаменатель правой части
(3.13)
, получим:
x
Теперь используем данные из условия задачи, подставляя их в только что полученное
соотношение, имеем :
x ,
2
2
a
2
( 3 )
2
b
2
0
2
a
2
0
2
b
2
4
a
2
4
b
2
3
b
2
1
a
2
1
b
2
1
16
1
4
1
a
2
1
16
1
b
2
1
4
x
2
16
y
2
4
x
2
16
y
2
4
3
4
±
=
±
=
a
e
c
a
a
e
±
=
±
=
a
c
a
±
=
a
2
c
3
4
±
=
±
=
a
2
c

---

Page 18

18
то есть
=
По условию большая полуось эллипса: a = 2.
Подставим a = 2 в
(3.18),
найдем:
= , следовательно: c = ;
Таким образом, зная a = 2, c = , пользуясь соотношением
(3.3)
: a
2
– c
2
= b
2
, найдем, что
b
2
= 4 – 3 = 1; a
2
= 4;
Уравнение эллипса запишется в виде:
+ =1;
Ответ:
+ = 1.
4. Найти уравнения касательных к эллипсу: + = 1 , проведённых из точки (5,1).
Решение:
Для составления уравнений касательных, проходящих через данную точку (5,1) будем
использовать уравнение
(2.4)
, т.е.:
y – 1 = k (x - 5);
Раскрывая скобки и перенося всё вправо, получим:
kx – y + (1 – 5k) = 0;
Поскольку искомые прямые являются касательными, то нужно использовать признак
(3.15)
:
A
2
a
2
+ B
2
b
2
= C
2
;
Подставим сюда a
2
= 27; b
2
= 13; A = k; B = -1; C = (1 – 5k) и получим, что
27k
2
+ (–1)
2
13 = (1 - 5k)
2
27k
2
+ 13 – 1 + 10k – 25k
2
= 0
2k
2
+ 10k +12 = 0
k
2
+ 5k + 6 = 0;
Из полученного уравнения находим:
k
1
= -2, k
2
= -3;
Уравнения касательных будут:
y – 1 = -2(x - 5) и y – 1 = -3 (x - 5) или 2x + y –11 = 0 и 3x + y – 16 = 0;
Ответ: 2x + y –11 = 0, 3x + y –16 = 0.
5.Написать уравнения прямых , касательных к эллипсу: + = 1 и параллельных к
прямой 2x – 3y – 4 = 0.
Решение:
По условию искомые прямые параллельны данной прямой : 2x – 3y – 4 = 0 , следовательно их
угловые коэффициенты равны , исходя из соотношения
(2.8).
Поэтому уравнения касательных
нужно искать в виде : 2x – 3y + C = 0.Но с другой стороны искомые прямые являются
касательными к эллипсу , тогда применим признак
(3.15)
:
A
2
a
2
+ B
2
b
2
= C
2
;
Подставим в эту формулу a
2
= 9 ; b
2
= 4 ; A = 2 ; B = - 3 , неизвестным здесь остаётся только C.
Для его определения получаем уравнение : 2
2
⋅9 + (- 3)
2
⋅4 = C
2
, отсюда C
2
= 72 , то есть
C или C = 6 и C = - 6 . Искомые уравнения касательных запишутся в виде :
2x – 3y + 6 = 0 и 2x – 3y – 6 = 0.
Ответ: 2x – 3y + 6 = 0, 2x – 3y – 6 = 0.
a
2
c
3
4
( 3.18 )
2
2
c
3
4
3
3
x
2
4
y
2
1
x
2
4
y
2
1
x
2
27
y
2
13
y
2
4
x
2
9
±
=
72
2
2
2
2
2
2

---

Page 19

19
Замечание :
Если в условии задачи точка M(x , y) является точкой касания , то для нахождения
касательной можно сразу применить её уравнение , используя формулу
(3.14).
Это же
уравнение получится и при решении задачи указанным выше способом .
6. Найти общее уравнение гиперболы , если известны её фокусы F
1
(- 1, 0) ; F
2
(0,1) и
действительная ось a = 1.
Решение:
Для решения этой задачи нужно использовать определение
(3.5)
.Обозначая текущие
координаты некоторой точки гиперболы через M(x , y),находя расстояния от этой точки M до
фокусов F
1
,F
2
по формуле
(1.4)
, наконец , воспользуемся определением
(3.5)
:
F
1
M – F
2
M = 2a .
Подставляя в это соотношение данные из условия задачи , получим :
(x + 1)
2
+ y
2
– x
2
+ (y – 1)
2
= 2⋅1
(x + 1)
2
+ y
2
= 4 + 4 x
2
+ (y – 1)
2
+ x
2
+ (y – 1)
2
x
2
+ 2x + 1 + y
2
= 4 + 4 x
2
+ (y – 1)
2
+ x
2
+ y
2
– 2y +1
2x + 2y – 4 = 4 x
2
+ (y – 1)
2
Разделим обе части уравнения на два и вновь возведём в квадрат:
( x + y – 2)
2
= ( 2 x
2
+ (y – 1)
2
)
2
x
2
+ 2xy – 4x + y
2
– 4y + 4 = 4 (x
2
+ (y – 1)
2
)
x
2
+ 2xy – 4x + y
2
– 4y + 4 = 4x
2
+ 4y
2
– 8y + 4
Приводим подобные слагаемые , в результате получаем :
3x
2
– 2xy + 4x + 3y
2
– 4y = 0.
Ответ : 3x
2
– 2xy + 4x + 3y
2
– 4y = 0.
7. Гипербола , симметричная относительно осей координат проходит через точки A(4 2 , 3 ) и
B(4,0).Написать её каноническое уравнение.
Решение:
Аналогично , как и в задаче 2 подставим координаты точек A и B гиперболы в её уравнение
(3.6)
и обозначим
= u
= v
Тогда получим систему : u =
(4 )
2
u – 3
2
v = 1 32u – 9v = 1
4
2
– 0
2
= 1 , 16u = 1, v =
Отсюда заключаем , что a
2
= 16 , b
2
= 9.Подставляя найденные значения a
2
, b
2
в
(3.6) ,
получим,
что искомое уравнение имеет вид :
–
= 1
Ответ:
– = 1.
8.Написать каноническое уравнение гиперболы , зная , что её директрисами служат прямые
x , а действительная ось a = 5.
Решение :
Аналогично , как и в задаче 3 сделав преобразования в формуле
(3.13)
и подставив в неё
x , получим
1
a
2
1
b
2
2
1
16
1
9
x
2
16
y
2
9
x
2
16
y
2
9
±
=
25
13
±
=
25
13

---

Page 20

20
x =
Зная , что a = 5 , имеем : = , откуда получим c = 13.
Теперь пользуясь соотношением
(3.7)
: c
2
– a
2
= b
2
, найдём , что b
2
= 169 – 25 = 144 ; a
2
= 25.
Уравнение будет
– = 1
Ответ :
– = 1 .
9. Найти уравнения касательных к гиперболе : – = 1 , проведённых из точки (2,1).
Решение :
Уравнения касательных , проходящих через точку (2,1) имеют вид : y – 1 = k(x - 2) или
kx – y + (1 – 2k) = 0.Из условия касания
(3.16)
следует , что 10k
2
– 9( - 1)
2
= (1 – 2k)
2
,
10k
2
– 9 = 1 – 4k + 4k
2
,
6k
2
+ 4k – 10 = 0 ,
3k
2
+ 2k – 5 = 0
k
1
= 1 , k
2
= –
В результате получим : y – 1 = x – 2 и y – 1 = – (x – 2) или
x – y – 1 = 0 и 5x + 3y – 13 = 0 .
Ответ : x – y – 1 = 0 и 5x + 3y – 13 = 0 .
10. Найти уравнения касательных к гиперболе : – = 1 и перпендикулярных к
прямой x + 3y + 1 = 0.
Решение :
По условию искомые прямые перпендикулярны данной прямой : x + 3y + 1 = 0 , следовательно
из соотношения
(2.9)
получим , что угловой коэффициент касательных равен трём
.
Поэтому их
уравнения нужно искать в виде : 3x – y + C = 0.Но с другой стороны искомые прямые являются
касательными к гиперболе, тогда применим признак
(3.16)
: A
2
a
2
– B
2
b
2
= C
2
, имеем
12 · (3)
2
– 8 · (- 1)
2
= C
2
или C
2
= 108 – 8 = 100 , то есть C 10
Отсюда заключаем , что искомые касательные примут вид :
3x – y + 10 = 0 и 3x – y – 10 = 0
Ответ : 3x – y + 10 = 0 и 3x – y – 10 = 0 .
11. Написать общее уравнение параболы , если прямая 2x + y + 1 = 0 является её директрисой ,
а фокус находится в точке F (2, - 1).
Решение :
Пусть точка M(x , y) принадлежит искомой параболе . По определению
(3.10)
расстояния от
точки M до прямой 2x + y + 1 = 0 и до точки F(2 , -1) между собою равны . Расстояние d от
точки M(x , y) до прямой 2x + y + 1 = 0 найдём по формуле
(2.10)
, получим :
d =
Расстояние от точки M(x , y) до фокуса F (2, - 1) определим из
(1.4)
: FM = (x – 2)
2
+ (y + 1)
2
Подставляя эти выражения в
(3.10)
, получим :
= ( x – 2)
2
+ (y + 1)
2
Возводя обе части этого уравнения в квадрат , освобождаясь от дробей , имеем :
(2x + y + 1)
2
= 5((x – 2)
2
+ (y + 1)
2
)
Раскрывая скобки , приводя подобные слагаемые и перенося все члены уравнения в его правую
часть , получим окончательно : x
2
– 4xy – 24x + 8y + 4y
2
+ 24 = 0 .
Ответ : x
2
– 4xy – 24x + 8y + 4y
2
+ 24 = 0 .
±
=
a
e
a
2
c
±
=
25
13
5
2
c
25
13
x
2
25
y
2
144
y
2
144
x
2
25
y
2
9
x
2
10
5
3
5
3
y
2
8
x
2
12
±
=
2x+ y + 1
2
2
+ 1
2
2x+ y + 1
2
2
+ 1
2

---

Page 21

21
12.Составить каноническое уравнение
параболы , симметричной относительно оси
Ox и проходящей через точку A(3,6).
Решение :
Так как парабола проходит через точку A(3,6) и её осью служит ось Ox , то уравнение
параболы следует искать в виде
(3.11)
: y
2
= 2px . Подставляя в это уравнение координаты
точки A , будем иметь : 36 = 6p , p = 6 , 2p = 12 . Искомым уравнением будет y
2
= 12x .
Ответ : y
2
= 12x .
13.Найти уравнения касательных к параболе y
2
= - 12x , проведенных из точки M(1,2).
Решение :
Уравнения касательных , проходящих через точку M(1,2) имеют вид : y – 2 = k(x – 1)
или kx – y + (2 – k) = 0 . Теперь воспользуемся признаком
(3.17)
: pB
2
= 2AC , то есть
- 6 (-1)
2
= 2k(2 – k) , в результате получим уравнение : k
2
– 2k – 3 = 0 , из которого найдём
k
1
= 3 , k
2
= - 1 . Подставляя k
1
= 3 , k
2
= - 1 в искомые уравнения , в заключении имеем :
3x – y – 1 = 0 и x + y – 3 = 0 .
Ответ : 3x – y – 1 = 0 и x + y – 3 = 0 .
14. Найти уравнение касательной к параболе y
2
= 6x , параллельной прямой x + 2y + 1 = 0.
Решение :
По условию искомая прямая параллельна данной прямой : x + 2y + 1 = 0 , следовательно по
соотношению
(2.7)
их угловые коэффициенты равны
.
Поэтому уравнения касательных нужно
искать в виде : x + 2y + C = 0.Но с другой стороны искомая прямая является касательной к
параболе , тогда применим признак
(3.17)
: 3⋅4 = 2C , 2C = 12 , C = 6.Таким образом получим
уравнение касательной : x + 2y + 6 = 0.
Ответ : x + 2y + 6 = 0.
Задачи для самостоятельного решения:
1. Найти общее уравнение эллипса , если известны его фокусы F
1
( - 1,0) ; F
2
(0,1) и большая
полуось a = 2.
Ответ : 60x
2
– 8xy + 64x + 60y
2
– 64y – 192 = 0 .
2. Найти общее уравнение эллипса , если известны его фокусы F
1
(2,3) ; F
2
(4,5) и большая
полуось a = 5.
Ответ : 24x
2
– 2xy + 24y
2
– 136x – 186y + 1 = 0 .
3. Эллипс, симметричный относительно осей координат проходит через точки A ( 7 , - 3 ) и
B( 3 , 5 ).Написать его каноническое уравнение.
Ответ:
+ = 1.
4. Эллипс, симметричный относительно осей координат проходит через точки A( 2 3 , 6 ) и
B(6 , 0). Написать его каноническое уравнение.
Ответ:
+ = 1.
5. Написать каноническое уравнение эллипса, директрисами которого служат прямые
x и большая полуось которого равна пяти.
Ответ:
+ = 1.
6. Написать каноническое уравнение эллипса, директрисами которого служат прямые x 9
и большая полуось которого равна трём .
Ответ:
+ = 1.
7. Найти уравнения касательных к эллипсу: x
2
+ 2y
2
= 8 , проведённых из точки (0 , 6).
Ответ: 2x + y – 6 = 0, 2x – y + 6 = 0.
x
2
13
y
2
13/2
x
2
36
y
2
9
x
2
25
y
2
16
x
2
9
y
2
8
±
=
25
3
±
=

---

Page 22

22
8. Найти уравнения касательных к эллипсу: + = 1 , проведённых из точки (- 1 , 3).
Ответ: x – 2y + 7 = 0, x – 4y + 13 = 0.
9. Написать уравнения прямых , касательных к эллипсу: x
2
+ 4y
2
= 20 и параллельных к
прямой x – y = 0.
Ответ: x – y + 5 = 0 , x – y – 5 = 0.
10. Написать уравнения прямых , касательных к эллипсу: + = 1 и параллельных к
прямой x + 4y – 2 = 0.
Ответ: x + 4y + 10 = 0, x + 4y – 10 = 0.
11. Найти общее уравнение гиперболы , если известны её фокусы F
1
(0 , - 1) ; F
2
(1 , 0) и
действительная ось a = 1.
Ответ : 3x
2
– 2xy – 4x + 3y
2
+ 4y = 0.
12. Найти общее уравнение гиперболы , если известны её фокусы F
1
(2 , 0) ; F
2
(0 , - 1) и
действительная ось a = 2 .
Ответ : 80x
2
+ 16xy + 104x + 68y
2
+ 180y + 233 = 0.
13. Гипербола , симметричная относительно осей координат проходит через точки A(4 , 3 2 )
и B(4 2 , 3 6 ).Написать её каноническое уравнение.
Ответ: – = 1.
14. Гипербола , симметричная относительно осей координат проходит через точки A(3 , )
и B( -2 , 3).Написать её каноническое уравнение.
Ответ: – = 1.
15. Написать каноническое уравнение гиперболы , зная , что её директрисами служат прямые
x , а действительная ось a =2 .
Ответ:
– = 1.
16. Написать каноническое уравнение гиперболы , зная , что её директрисами служат прямые
x , а действительная ось a = 8.
Ответ:
– = 1.
17. Найти уравнения касательных к гиперболе : x
2
– 4y
2
= 16 , проведённых из точки (0, - 2).
Ответ :
x – 2y – 4 = 0 и
x + 2y + 4 = 0 .
18. Найти уравнения касательных к гиперболе : – = 1 , проведённых из точки (1,2).
Ответ : 3x – 4y + 5 = 0 и x + y – 3 = 0 .
19. Найти уравнения касательных к гиперболе : 4x
2
– 9y
2
= 36 и перпендикулярных к прямой
x + 2y = 0.
Ответ : 2x – y + 4 = 0 и 2x – y – 4 = 0 .
20. Найти уравнения касательных к гиперболе : – = 1 и перпендикулярных к
прямой x + 5y – 2 = 0.
Ответ : 5x – y – 8 = 0 и 5x – y + 8 = 0 .
21. Написать общее уравнение параболы , если прямая x + y – 2 = 0 является её директрисой ,
а фокус находится в точке F (1, - 1).
Ответ : x
2
– 2xy + y
2
+ 8y = 0 .
22. Написать общее уравнение параболы , если прямая 3x + 4y – 5 = 0 является её директрисой ,
а фокус находится в точке F (2 , 3).
Ответ : 16x
2
– 24xy – 70x – 110y + 9y
2
+ 300 = 0 .
±
=
±
=
x
2
8
y
2
18
x
2
5
y
2
3
x
2
20
y
2
16
x
2
64
y
2
36
2
5
15
5
5
10
3
32
5
2
2
2
2
x
2
4
y
2
36
x
2
17
y
2
8
x
2
9
y
2
10
x
2
36
y
2
4

---

Page 23

23
23. Составить каноническое уравнение
параболы , симметричной относительно оси
Ox и проходящей через точку A(1,2).
Ответ : y
2
= 4x .
24. Составить каноническое уравнение параболы , симметричной относительно оси Ox и
проходящей через точку A(5, - 10).
Ответ : y
2
= 20x .
25. Найти уравнения касательных к параболе y
2
= 16x , проведенных из точки M( - 1,3).
Ответ : x – y + 4 = 0 и 4x + y + 1 = 0 .
26. Найти уравнения касательных к параболе y
2
= 12x , проведенных из точки M( - 1, 2).
Ответ : x – y + 3 = 0 и 3x + y + 1 = 0 .
27. Найти уравнение касательной к параболе y
2
= 8x , параллельной прямой x + y = 0.
Ответ : x + y + 2 = 0.
28. Найти уравнение касательной к параболе y
2
= 4x , параллельной прямой 4x – 6y – 5 = 0.
Ответ : 4x – 6y + 9 = 0.
§4 Векторная алгебра .
Аналитическая геометрия в пространстве .
1.Если для вектора известны координаты его начала A(x
1
, y
1
, z
1
) и координаты его конца
B(x
2
, y
2
, z
2
) , то он имеет координаты AB = (x
2
– x
1
, y
2
– y
1
, z
2
–z
1
) .
(4.1)
Скалярным произведением двух векторов a и b называется число , равное произведению их
модулей на косинус угла между ними . Обозначая угол между векторами a и b через ϕ ,
будем иметь :
a b = a b cos ϕ
(4.2)
Модуль или длина вектора AB определится по формуле :
AB = (x
2
– x
1
)
2
+ (y
2
– y
1
)
2
+ (z
2
–z
1
)
2
(4.3)
Очевидно , что по формуле
(4.3)
следует вычислять и расстояние между точками A и B .
2.Если векторы a и b заданы координатами a (x
1
, y
1
, z
1
) и b (x
2
, y
2
, z
2
), то их скалярное
произведение : a b = x
1
x
2
+ y
1
y
2
+z
1
z
2
(4.4)
Угол между векторами :
cos ϕ = =
(4.5)
a = a a = x
1
2
+ y
1
2
+z
1
2
(4.6)
На практике скалярное произведение используется для нахождения длины вектора , а также
для вычисления углов ; определения ортогональности двух векторов : если векторы a и b
перпендикулярны , то их скалярное произведение равно нулю .
3. Векторным произведением вектора a на вектор b называется такой третий вектор c ,
который :
1) имеет модуль , численно равный площади параллелограмма , построенного на
векторах a и b ;
2) перпендикулярен к плоскости параллелограмма ;
3) направлен в такую сторону , с которой кратчайшее вращение от a к b рассматривается
совершающимся против часовой стрелки . Такое расположение векторов a , b и c
называется правой тройкой .
Модуль векторного произведения определяется следующим образом :
x
1
x
2
+ y
1
y
2
+z
1
z
2
x
1
2
+ y
1
2
+z
1
2
x
2
2
+ y
2
2
+ z
2
2
a b
a b

---

Page 24

24
c = [ a , b ] = a b  sin ϕ
(4.7)
4. Если векторы a и b заданы координатами a (x
1
, y
1
, z
1
) и b (x
2
, y
2
, z
2
), то их векторное
произведение : c = = i – j + k ∗
(4.8)
Векторное произведение служит для отыскания вектора , перпендикулярного данным двум ;
вычисления площадей параллелограмма и треугольника .
5. Смешанным произведением векторов a , b и c называется выражение вида [ a , b ]⋅c .
Если векторы a , b и c заданы своими координатами a (x
1
, y
1
, z
1
) , b (x
2
, y
2
, z
2
) и
c (x
3
, y
3
, z
3
) , то
[ a , b ]⋅c =
(4.9)
Смешанное произведение используется для нахождения объёма параллелепипеда ,
построенного на векторах a , b , c :
+ , при правой тройке ,
V a b c – , при левой тройке .
А также для вычисления объёма пирамиды : V
пир
a b c .
Для того , чтобы три вектора были компланарны , необходимо и достаточно , чтобы их
смешанное произведение было равно нулю .
6. Уравнение плоскости , проходящей через точку M
1
(x
1
, y
1
, z
1
) и перпендикулярной к вектору
N(A , B , C) , если M(x , y , z) – произвольная точка плоскости , то
A(x –x
1
) + B(y – y
1
) + C(z – z
1
) = 0
(4.10)
Вектор N(A , B , C) называется нормальным вектором к плоскости .
7. Общее уравнение плоскости
: Ax + By + Cz + D = 0
(4.11)
8. Угол ϕ между двумя плоскостями A
1
x + B
1
y + C
1
z + D
1
= 0 и A
2
x + B
2
y + C
2
z + D
2
= 0
определяется по формуле :
cos ϕ =
(4.12)
9. Уравнение плоскости в отрезках на осях
+ + = 1 ,
где a , b и c – величины отрезков , отсекаемых плоскостью на координатных осях .
10.Условие параллельности двух плоскостей :
= =
(4.13)
11. Условие перпендикулярности двух плоскостей :
A
1
A
2
+ B
1
B
2
+ C
1
C
2
= 0
(4.14)
12. Расстояние от точки M
0
(x
0
, y
0
, z
0
) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 определяется по
формуле :
d =
(4.15)
13. Уравнение плоскости , проходящей через три данных точки A(x
1
, y
1
, z
1
) , B(x
2
, y
2
, z
2
) ,
i j k
x
1
y
1
z
1
x
2
y
2
z
2
y
1
z
1
y
2
z
2
x
1
z
1
x
2
z
2
x
1
y
1
x
2
y
2
x
1
y
1
z
1
x
2
y
2
z
2
x
3
y
3
z
3
±
=
±
=
1
6
A
1
A
2
+ B
1
B
2
+ C
1
C
2
A
1
2
+ B
1
2
+C
1
2
A
2
2
+ B
2
2
+ C
2
2
x
a
y
b
z
c
A
1
A
2
B
1
B
2
C
1
C
2
Ax
0
+ By
0
+ Cz
0
+ D
A
2
+ B
2
+C
2

---

Page 25

25
C(x
3
, y
3
, z
3
) имеет вид :
= 0
(4.16)
14. Канонические уравнения прямой линии , проходящей через точку A(x
0
, y
0
, z
0
) и
параллельной вектору P (m , n , p) . Пусть M (x , y , z) – произвольная точка прямой , тогда
имеем :
= =
(4.17)
Вектор P (m , n , p) называется направляющим вектором прямой .
15. Параметрические уравнения прямой получим , приравнивая каждое из отношений
(4.17)
параметру t : x = mt + x
0
,
y = nt + y
0
,
(4.18)
z = pt + z
0
16. Уравнение прямой , проходящей через две точки A(x
1
, y
1
, z
1
) и B(x
2
, y
2
, z
2
) :
= =
(4.19)
17. Условие параллельности двух прямых в пространстве :
= =
и
= =
имеет вид : = =
(4.20)
Условие перпендикулярности двух прямых : m
1
m
2
+ n
1
n
2
+ p
1
p
2
= 0 (
4.21)
18. Угол ϕ между двумя прямыми определяется по формуле :
cos ϕ =
(4.22)
19. Угол между прямой
= = и плоскостью
Ax + By + Cz + D = 0 определяется следующим образом :
sin ϕ  =
(4.23)
20. Условие их параллельности : Am + Bn + Cp = 0
(4.24)
21. Условие их перпендикулярности :
= =
(4.25)
Методика решения задач .
x - x
1
y - y
1
z –z
1
x
2
- x
1
y
2
- y
1
z
2
- z
1
x
3
- x
1
y
3
- y
1
z
3
- z
1
x – x
0
m
y – y
0
n
z – z
0
p
x – x
1
x
2
– x
1
y – y
1
y
2
– y
1
x – x
1
m
1
y – y
1
n
1
z – z
1
p
1
x – x
2
m
2
y – y
2
n
2
z – z
2
p
2
m
1
m
2
n
1
n
2
p
1
p
2
m
1
m
2
+ n
1
n
2
+ p
1
p
2
m
1
2
+ n
1
2
+p
1
2
m
2
2
+ n
2
2
+ p
2
2
x – x
0
m
y – y
0
n
z – z
0
p
Am + Bn + Cp
A
2
+ B
2
+ C
2
m
2
+ n
2
+ p
2
A
m
B
n
C
p
z – z
1
z
2
– z
1

---

Page 26

26
I . Задачи на вектора .
1. Даны три последовательные вершины параллелограмма A(1 , -2 , 3) ; B(3 , 2 , 1) ; C(6 , 4 , 4) .
Найти его четвёртую вершину D .
Решение :
Для определения координат точки D(x , y , z) – четвёртой вершины параллелограмма нужно
воспользоваться тем , что его противоположные стороны равны , то есть : AD = BC
Применяя к этому равенству формулу
(4.1)
, получим
x – 1 = 6 – 3 x = 4
y – (-2) = 4 – 2 y = 0
z – 3 = 4 – 1 z = 6
Ответ : D ( 4 , 0 , 6 ) .
2. Определить координаты и длину вектора c , делящего угол между векторами a (2 , -1 , -2) и
b (-8 , 4 , 1) пополам .
Решение :
1) Найдём единичные векторы a
0
и b
0
, коллинеарные и сонаправленные векторам a и b .
2) Проведём нормировку для введённых ортов , это означает , что a
0
и b
0
будут иметь вид :
a
0
= b
0
=
(4.26)
Эти действия называются нормированием векторов .
По формуле
(4.6)
найдём длины векторов a и b : a = 2
2
+ (-1)
2
+ (-2)
2
= 3 ;
b = (-8)
2
+ 4
2
+ 1
2
= 9 ;
Подставим значения длин и координат векторов a и b в выражения
(4.26)
для a
0
и b
0
, получим
a
0
= ( ; ; ) и b
0
= ( ; ; )
3)Вектор c будет являться диагональю ромба , построенного на векторах a
0
и b
0
,
тогда c = a
0
+ b
0
. Координаты вектора c : ( + ; + ; + ) или
c = ( ; ; ) .
4) c = + + =
Ответ : c = ( ; ; ); c = .
Замечание :
Сумма двух векторов не делит угол между ними пополам , так как в общем случае
результирующий вектор суммы этих векторов является диагональю параллелограмма , которая
не делит угол пополам .
II . Скалярное произведение и его приложения .
1 . В треугольнике ABC с вершинами A(0 , 1 , -2) ; B(4 , 1 , 1) ; C(2 , 0 , -4) найти : 1) длины
сторон ; 2) углы ; 3) площадь ; 4) координаты направляющего вектора медианы AM ;
5) координаты направляющего вектора биссектрисы AN .
Решение :
1) Найдём длины векторов AB , BC , AC по формуле
(4.3)
, то есть
AB = (4-0)
2
+ (1-1)
2
+ (1-(-2))
2
; BC = (2-4)
2
+ (0-1)
2
+ (-4-1)
2
; AC = (2-0)
2
+ (0-1)
2
+ (-4+2)
2
Итак , AB = 5 , BC = 30 , AC = 3
a
a
b
b
2
3
-1
3
-2
3
-8
9
4
9
1
9
2
3
-8
9
-1
3
4
9
-2
3
1
9
-2
9
1
9
-5
9
4
81
1
81
25
81
30
9
-2
9
1
9
-5
9
30
9

---

Page 27

27
Ответ : AB = 5 ; BC = 30 ; AC = 3 .
2) Для нахождения углов в треугольнике ABC нужно знать координаты векторов AB , BC , AC ,
которые найдём из соотношения
(4.1)
: AB (4,0,3) , BC (-2,-1,-5) , AC (-2,1,2) . Теперь ,
зная длины и координаты сторон треугольника , применим формулу
(4.5) :
cos ∠A = = = - ;
cos ∠B = = = - ;
cos ∠C = = = - ;
Ответ : cos ∠A = - ; cos ∠B = - ; cos ∠C = - .
3) Площадь треугольника ABC найдём по формуле : S = AB AC sin ∠A , но прежде
определим sin ∠A = 1 – cos
2
∠A = = и подставим в формулу для площади ,
получим :
S = · 5 · 3 · =
Ответ : S = .
4)Определим координаты точки M – середины вектора BC по известным координатам его
концов B(4 , 1 , 1) и C(2 , 0 , -4), используя следующие равенства :
x = ; y = ; z =
(4.27)
Итак , M(3 , , ) . Вектор медианы AM найдём по формуле
(4.1)
:
AM (3 , - , ) .
Ответ : AM (3 , - , ) .
5) Для определения направляющего вектора биссектриссы AN будем использовать
формулы
(4.26)
, с помощью которых пронормируем вектора AB и AC :
a
0
= = ( , 0 , ) ; b
0
= = ( - , , )
Теперь найдём координаты направляющего вектора биссектриссы AN : AN = a
0
+ b
0
вектор AN имеет следующие координаты :
AN ( , , )
Ответ : AN ( , , ) .
III . Векторное произведение .
1. Найти векторное произведение двух векторов a (1 , -1 , 2) и b(-1 , 3 , 3) и вычислить его
модуль .
4 · (-2) + 0 · 1 + 3 · 2
5 · 3
AB AC
AB AC
2
15
AB BC
AB BC
4 · (-2) + 0 · (-1) + 3 · (-5)
5 30
AC BC
AC BC
(-2) · (-2) + 1 · (-1) + 2 · (-5)
3 30
221
225
1
2
x
1
+ x
2
2
y
1
+ y
2
2
z
1
+ z
2
2
AB
AB
AC
AC
4
5
2
15
1
2
23
5 30
7
3 30
7
3 30
23
5 30
221
15
221
15
221
2
221
2
1
2
-3
2
1
2
1
2
1
2
1
2
3
5
2
3
1
3
2
3
2
15
1
3
19
15
2
15
1
3
19
15

---

Page 28

28
Решение :
c = [ a , b ] = = i – j + k = ( -9 , 5 , 2 )
Модуль векторного произведения найдём по формуле
(4.6)
:
c = (-9)
2
+ 5
2
+ 2
2
= 110
Ответ : c (-9 , 5 , 2) ; c = 110 .
IV . Базовые задачи .
1. Найти координаты точки A
1
, симметричной точке A(1,2,3) относительно плоскости
2x – 3y + 5z – 68 = 0 .
Решение :
Запишем уравнения прямой , проходящей через данную точку A(1,2,3) в
параметрическом виде
(4.18)
:
x = mt + 1
y = nt + 2
z = pt + 3
На основании формул
(4.25)
числа m , n и p пропорциональны A , B и C из уравнения
плоскости , а потому , заменяя в последних уравнениях m , n и p соответственно числами
2 , -3 и 5 , получим :
x = 2t + 1
y = -3t + 2
(4.28)
z = 5t + 3
Для того , чтобы определить координаты точки A
1
нужно прежде всего найти точку
пересечения прямой и плоскости , которая будет являться серединой перпендикуляра AA
1
.
Так как координаты точки пересечения прямой и плоскости должны удовлетворять
уравнениям прямой и уравнению плоскости , то подставив значения x , y и z из
(4.28)
в
уравнение плоскости , будем иметь :
2(2t + 1) – 3(-3t + 2) + 5(5t + 3) – 68 = 0 .
Из него следует , что t = . Это значение t подставим в уравнения прямой
(4.28)
и получим :
x = 4 , y = - , z = . Итак , теперь , зная координаты середины перпендикуляра AA
1
и
координаты одного из его концов , подставим их в соотношения
(4.27)
, чтобы найти
координаты A
1
:
= 4
x
A
1
= 7
= -
y
A
1
= - 7
=
z
A
1
= 18
Ответ : A
1
( 7 , -7 , 18 ) .
2. Найти координаты точки M
1
, симметричной точке M(1 , 2 , 3) относительно прямой
= = .
Решение :
Для нахождения точки M
1
построим прежде плоскость , проходящую через точку M и
i j k
1 -1 2
-1 3 3
-1 2
3 3
1 -1
-1 3
1 2
-1 3
3
2
5
2
21
2
x
A
1
+ 1
2
y
A
1
+ 2
2
5
2
z
A
1
+ 3
2
21
2
x – 8
1
y – 11
3
z – 4
-1

---

Page 29

29
перпендикулярную данной прямой .Уравнение плоскости , проходящей через точку M(1 , 2 ,
3) , напишем на основании уравнения
(4.10)
в виде : A(x - 1) + B(y - 2) + C(z - 3) = 0 , затем
пользуясь условием
(4.25)
перпендикулярности прямой и плоскости заменив в последнем
уравнении величины A , B и C им пропорциональными величинами m , n и p из уравнений
прямой , то есть числами 1 , 3 , -1 , и получим
1(x - 1) + 3(y - 2) – 1(z - 3) = 0 или x + 3y – z – 4 = 0
Аналогично , как и в задаче 1, записывая уравнения данной прямой в параметрическом виде и
подставляя их в уравнение плоскости , будем иметь
t + 8 + 3( 3t + 11) – (-t + 4) – 4 = 0 ,
откуда t = -3 , теперь опять также , как в задаче 1 подставим t в параметрические уравнения
прямой и найдём , что точка пересечения прямой и плоскости имеет координаты (5 , 2 , 7) .
Наконец , зная координаты середины перендикуляра MM
1
и координаты одного из его концов,
искомые координаты точки M
1
определим по формулам
(4.27)
:
= 5
x
M
1
= 9
= 2
y
M
1
= 2
= 7
z
M
1
= 11
Ответ : M
1
( 9 , 2 , 11) .
3. В треугольнике ABC с вершинами A(1 ,-2 , 8) ; B(0 , 0 , 4) ; C(6 , 2 , 0) найти : 1) вектор
нормали плоскости (ABC) ; 2) уравнение плоскости (ABC) ; 3) площадь треугольника ABC ;
4) уравнение высоты AH .
Решение :
1) Вектор нормали плоскости (ABC) найдём как вектор n = [AB , AC]
Применяя формулу
(4.1)
, получим , что AB и AC имеют координаты AB(-1 , 2 , -4) ,
AC(5 , 4 , -8) и , следовательно ,
n = [AB , AC] = = (0 , 12 , -14)
Ответ : n (0 , 12 , -14) .
2)Теперь,зная вектор нормали плоскости (ABC) и взяв любую из точек плоскости треугольника,
например точку A , по формуле
(4.10)
запишем уравнение самой плоскости (ABC) :
0·(x - 1) + 12·(y – (-2)) – 14·(z - 8) = 0
или 12y – 14z + 136 = 0 .
Ответ : 12y – 14z + 136 = 0 .
3)Площадь треугольника ABC найдём по формуле : S = [AB , AC] =
= 0
2
+ 12
2
+ (-14)
2
= 340 = 85
Ответ : S = 85 .
4)Для того , чтобы найти уравнение высоты AH , нужно определить координаты
направляющего вектора высоты . Его найдём как векторное произведение векторов BC и n ,
то есть
AH = [ BC , n ] = = (20 , 84 , 72)
И , наконец , воспользовавшись уравнением
(4.17)
, получим искомое :
x
M
1
+ 1
2
y
M
1
+ 2
2
z
M
1
+ 3
2
i j k
-1 2 -4
5 4 -8
1
2
1
2
1
2
i j k
6 2 -4
0 12 -14

---

Page 30

30
= =
Ответ : = = .
4. Написать уравнение плоскости , проходящей через прямую
= =
и точку M (3 , 4 , 0) .
Решение :
Рассмотрим произвольную точку данной прямой , например , точку M
0
(2 , 3 , -1)
Запишем координаты вектора M
0
M по формуле
(4.1)
: M
0
M(1 , 1 , 1) , а теперь
для того , чтобы написать уравнение плоскости , найдём вектор N - вектор её нормали , как
векторное произведение вектора M
0
M(1 , 1 , 1) и вектора a (1 , 2 , 3) - направляющего вектора
прямой
= = ;
то есть по формуле
(4.8)
N = [ M
0
M , a ] = = (1 , -2 , 1)
Итак , зная вектор N (1 , -2 , 1) и точку M (3 , 4 , 0) , запишем искомое уравнение плоскости в
виде
(4.10)
: 1 · (x - 3) + (-2) · (y - 4) + 1 · (z - 0) = 0 или x – 2y + z + 5 = 0 .
Ответ : x – 2y + z + 5 = 0 .
5.Найти точку пересечения прямых
= = и
= = и уравнение плоскости , в которой они расположены .
Решение :
Уравнения данных прямых запишем в параметрическом виде , приравнивая канонические
уравнения первой прямой параметру
t
, а второй прямой – параметру
s
, в результате
получим : x =
t
+ 1 x =
s
y =
t
y = -
s
+ 1
(4.29)
z = -
t
– 1 z = - 1
Для того , чтобы найти точку пересечения этих прямых , приравняем их параметрические
уравнения :
t
+ 1 =
s
t
= -
s
+ 1
-
t
– 1 = - 1
Решая эту систему , найдём
s
= 1 ,
t
= 0 , подставляя
s
или
t
в любую из систем
(4.29),
получим , что точка пересечения прямых имеет следующие координаты (1 , 0 , - 1) .
Чтобы найти уравнение плоскости , в которой расположены данные прямые , нужно прежде
определить координаты вектора N – вектора нормали искомой плоскости , которые найдём с
помощью векторного произведения векторов a (1 , 1 , -1) и b (1 , -1 , 0) – направляющих
векторов прямых
= = и
= =
Итак , N = [ a , b ] = = ( -1 , -1 , -2)
x – 1
20
y + 2
84
z – 8
72
x – 1
20
y + 2
84
z – 8
72
x – 2
1
y – 3
2
z + 1
3
x – 2
1
y – 3
2
z + 1
3
i j k
1 1 1
1 2 3
x – 1
1
y
1
z + 1
-1
x
1
y – 1
-1
z + 1
0
x – 1
1
y
1
z + 1
-1
x
1
y – 1
-1
z + 1
0
i j k
1 1 -1
1 -1 0

---

Page 31

31
На основании формулы
(4.10)
и найденного
вектора нормали , запишем искомое уравнение
плоскости , проходящей через точку пересечения данных прямых :
-1 · (x –1) + (-1) · (y – 0) + (-2) · (z – (-1)) = 0
или
x + y + 2z + 1 = 0 .
Ответ : (1 , 0 , -1) ; x + y + 2z + 1 = 0 .
6. Найти проекцию прямой
= = на плоскость x + y – 2z – 4 = 0 .
Решение :
I способ .
Найдём две точки , принадлежащие проекции данной прямой .
Первую точку найдём как точку пересечения
прямой
= = и плоскости x + y – 2z – 4 = 0 .
Для этого запишем канонические уравнения прямой в параметрическом виде и подставим их в
уравнение плоскости x + y – 2z – 4 = 0 , получим :
(3
t
+ 1) + (-
t
- 1) – 2(5
t
+ 2) – 4 = 0
Откуда находим , что
t
= - 1 . Это значение
t
есть значение параметра точки пересечения
прямой и плоскости . Подставим это значение в параметрические уравнения прямой
и получим : x = -2 , y = 0 , z = -3 . Итак , координаты точки пересечения данных прямой и
плоскости будут (-2 , 0 , -3) .
Координаты второй точки искомой прямой определим с помощью проекции любой точки
данной прямой на данную плоскость , то есть опустим перпендикуляр из этой любой точки на
плоскость и найдём координаты основания этого перпендикуляра . Например , рассмотрим
точку (1 , -1 , 2) , принадлежащую данной прямой , и напишем сразу уравнения прямой ,
проходящей через эту точку , в параметрическом виде :
x = m
t
+ 1
y = n
t
– 1
z = p
t
+ 2
На основании формул
(4.25)
– условия перпендикулярности прямой и плоскости заменим в
последних уравнениях m , n и p соответственно числами 1 , 1 , -2 из уравнения данной
плоскости , получим : x = 1·
t
+ 1
y = 1·
t
– 1
z = -2·
t
+ 2
Подставляя эти значения x , y и z в уравнение плоскости x + y – 2z – 4 = 0 , будем иметь
t
+ 1 +
t
– 1 – 2(-2
t
+2) – 4 = 0
Из него следует , что
t
= . Подставим найденное значение в параметрические уравнения
прямой и получим : x = , y = , z = - . Итак , координаты второй точки нужной
нам проекции данной прямой на данную плоскость имеют вид : ( , , - ) .
Наконец , воспользовавшись уравнением
(4.19)
, получим уравнение проекции , проходящей
через найденные две точки :
x – 1
3
y + 1
-1
z – 2
5
x – 1
3
y + 1
-1
z – 2
5
4
3
7
3
1
3
2
3
7
3
1
3
2
3

---

Page 32

32
= =
Умножив знаменатели уравнений на
3
, найдём нужное :
= =
II способ .
Этот способ решения заключается в следующем : прежде всего найдём плоскость ,
перпендикулярную данной плоскости и проходящей через данную прямую , а затем запишем
уравнение искомой проекции в виде системы двух линейных уравнений .
Чтобы найти плоскость , перпендикулярную плоскости x + y – 2z – 4 = 0
и проходящей через прямую
= = ,
нужно определить координаты вектора N
2
– вектора нормали этой плоскости , которые найдём
как векторное произведение вектора N
1
(1 , 1 , -2) – вектора нормали данной плоскости и
вектора a (3 , -1 , 5) – направляющего вектора данной прямой , то есть
N
2
= [ N
1
, a ] = = (3 , -11 , - 4)
Так как искомая плоскость проходит через прямую
= = , а значит и
через любую точку этой прямой , например , возьмём точку (1 , -1 , 2) и найденные координаты
N
2
и подставим в уравнение
(4.10)
, получим
3(x – 1) – 11(y – (-1)) – 4(z – 2) = 0
3x – 11y – 4z – 6 = 0 .
Запишем систему : x + y – 2z – 4 = 0
3x – 11y – 4z – 6 = 0 .
Это и есть уравнение проекции , записанное в общем виде .
x + y – 2z – 4 = 0
Ответ : = =
или
3x – 11y – 4z – 6 = 0 .
7. Написать уравнение плоскости , проходящей через параллельные прямые
= = и
= =
Решение :
На первой прямой рассмотрим точку M(3 , 0 , 1) , а на второй прямой – точку M
0
(-1 , 1 , 0) ,
тогда вектор M
0
Mбудет иметь координаты (4 , -1 , 1) .
Чтобы найти искомое уравнение плоскости , проходящей через данные две параллельные
прямые , найдём прежде её вектор нормали N , как векторное произведение вектора
M
0
M (4 , -1 , 1) и вектора a (2 , 1 , 2) – направляющего вектора данных параллельных прямых ,
то есть N = [ M
0
M , a ] = (-3 , -6 , 6) . Искомая плоскость проходит через данные параллельные
прямые , а значит и через любую точку этих прямых , например , точку M(3 , 0 , 1) . Подставляя
координаты вектора нормали N и точки M в уравнение
(4.10)
, получим :
-3(x – 3) – 6(y – 0) + 6(z – 1) = 0
x + 2
13
y
1
z + 3
7
x – 1
3
y + 1
-1
z – 2
5
i j k
1 1 -2
3 -1 5
x – 1
3
y + 1
-1
z – 2
5
x + 2
13
y
1
z + 3
7
x – 3
2
y
1
z – 1
2
x + 1
2
y – 1
1
z
2
y – 0
– 0
1
3
x – (-2)
– (-2)
7
3
z – (-3)
- – (-3)
2
3

---

Page 33

33
или
x + 2y – 2z – 1 = 0 .
Ответ : x + 2y – 2z – 1 = 0 .
Задачи для самостоятельного решения:
1. Даны три последовательные вершины параллелограмма A(-3 , -2 , 0) ; B(3 , -3 , 1) ;
C(5 , 0 , 2) . Найти его четвёртую вершину D .
Ответ : D (-1 , 1 , 1) .
2. Даны три последовательные вершины параллелограмма A(1 , 2 , 1) ; B(-5 , 3 ,-2) ; C(4 , 4 ,-3)
Найти его четвёртую вершину D .
Ответ : D (10 , 3 , 0) .
3. Определить координаты и длину вектора c , делящего угол между векторами a (8 , 0 , -6) и
b (-3 , 4 , 0) пополам .
Ответ : c ( , , - ) ; c = .
4. Определить координаты и длину вектора c , делящего угол между векторами a (-1 , 2 , 2) и
b (4 , 0 , -3) пополам .
Ответ : c ( , , ) ; c = .
5. В треугольнике ABC с вершинами A(1 , 1 , 1) ; B(2 , 3 , 3) ; C(4 , 1 , 5) найти : 1) длины
сторон ; 2) углы ; 3) площадь ; 4) координаты направляющего вектора медианы AM ;
5) координаты направляющего вектора биссектрисы AN .
Ответ : 1) AB = 3 ; BC = 2 3 ; AC = 5 ; 2) cos ∠A = ; cos ∠B = ;
cos ∠C = ; 3) S = 26 ; 4) AM (2 , 1 , 3) ; 5) AN ( , , ) .
6. В треугольнике ABC с вершинами A(2 , -1 , -1) ; B(1 , 1 , 1) ; C(5 , -1 , 3) найти : 1) длины
сторон ; 2) углы ; 3) площадь ; 4) координаты направляющего вектора медианы AM ;
5) координаты направляющего вектора биссектрисы AN .
Ответ : 1) AB = 3 ; BC = 2 6 ; AC = 5 ; 2) cos ∠A = - ; cos ∠B = - ;
cos ∠C = ; 3) S = 5 2 ; 4) AM (1 , 1 , 3) ; 5) AN ( , , ) .
7. Найти векторное произведение двух векторов a (3 , 4 , 5) и b (-3 , -1 , -2) и вычислить его
модуль .
Ответ : c ( -3 , -9 , 9 ) , c = 3 19 .
8. Найти векторное произведение двух векторов a (-3 , -1 , 0) и b (3 , 2 , 1) и вычислить его
модуль .
Ответ : c ( -1 , 3 , -3 ) , c = 19 .
9. Найти координаты точки A
1
, симметричной точке A(3 , -1 , 1) относительно плоскости
x + 2y + 2z + 6 = 0 .
Ответ : A
1
( 1 , -5 , -3 ) .
10. Найти координаты точки A
1
, симметричной точке A(3 , 1 , -1) относительно плоскости
x + 2y + 3z – 30 = 0 .
Ответ : A
1
( 7 , 9 , 11 ) .
11. Найти координаты точки M
1
, симметричной точке M(1 , -1 , 0) относительно прямой
1
5
4
5
3
5
26
5
7
15
10
15
1
15
6
3
11
15
3
9
7 3
15
14
15
10
15
22
15
6
3
4
15
10
15
22
15
1
3
6
9

---

Page 34

34
= = .
Ответ : M
1
( - , , - ) .
12. Найти координаты точки M
1
, симметричной точке M(1 , 2 , 8) относительно прямой
= = .
Ответ : M
1
( 5 , -4 , -6) .
13. В треугольнике ABC с вершинами A(1 ,-1 , 2) ; B(2 , 1 , 2) ; C(1 , 1 , 4) найти : 1) вектор
нормали плоскости (ABC) ; 2) уравнение плоскости (ABC) ; 3) площадь треугольника ABC ;
4) уравнение высоты AH .
Ответ : 1) n (4 , -2 , 2) ; 2) 2x – y + z – 5 = 0 ; 3) S = 6 ;
4) = = .
14. В треугольнике ABC с вершинами A(3 , 4 , 0) ; B(1 , -2 , 2) ; C(2 , 0 , 3) найти : 1) вектор
нормали плоскости (ABC) ; 2) уравнение плоскости (ABC) ; 3) площадь треугольника ABC ;
4) уравнение высоты AH .
Ответ : 1) n (-10 , 4 , 2) ; 2) 5x – 2y – z – 7 = 0 ; 3) S = 30 ;
4) = = .
15. Написать уравнение плоскости , проходящей через прямую
= =
и точку M (1 , 0 , -1) .
Ответ : 10x – 7y + z – 9 = 0 .
16. Написать уравнение плоскости , проходящей через прямую
= =
и точку M (1 , 1 , -2) .
Ответ : 2x + y – z – 5 = 0 .
17. Найти расстояние между параллельными плоскостями 5x + 3y – 4z + 15 = 0 и
15x + 9y – 12z – 5 = 0 .
Ответ : d = 2
18. Найти расстояние между параллельными плоскостями 2x – 3y + 6z – 14 = 0 и
2x – 3y + 6z + 28 = 0 .
Ответ : d = 6 .
19. Через точку (- 4 , -1 , 2) провести плоскость , параллельную плоскости 3x + 4y – z – 8 = 0 .
Ответ : 3x + 4y – z + 18 = 0 .
20. Через точку ( 2 , 5 , -1) провести плоскость , параллельную плоскости x + 3y – 4z + 5 = 0 .
Ответ : x + 3y – 4z – 21 = 0 .
21. Через точки ( 1 , 2 , 3) и (-2 , -1 , 3) провести плоскость , перпендикулярную плоскости
x + 4y – 2z + 5 = 0 .
Ответ : 2x – 2y – 3z + 11 = 0 .
22. Через точки (-1 , 2 , -3) и ( 1 , 4 , -5) провести плоскость , перпендикулярную плоскости
3x + 5y – 6z + 1 = 0 .
Ответ : x – 3y – 2z + 1 = 0 .
23. Найти точку пересечения прямых
= = и
= = и уравнение плоскости , в которой они расположены .
x – 1
2
y – 3
1
z
3
x – 1
2
y
-1
z
1
x – 1
2
y + 1
5
z – 2
1
x – 3
0
y – 4
-1
z
2
x
2
y + 1
3
z – 2
1
x – 1
2
y – 3
1
z
5
5
3
x + 3
1
y + 1
2
z + 1
1
x + 4
3
y – 2
1
z
1
1
7
45
7
12
7

---

Page 35

35
Ответ : (-1 , 3 , 1) ; x + 2y – 5z = 0 .
24. Найти точку пересечения прямых
= = и
= = и уравнение плоскости , в которой они расположены .
Ответ : (3 , 0 , 3) ; 2x + 2y – z – 3 = 0 .
25. Найти проекцию прямой
= = на плоскость 2x + 2y – z + 5 = 0 .
Ответ : = =
.
26. Найти проекцию прямой
= = на плоскость 3x – y + 2z – 2 = 0 .
Ответ : = =
.
27. Написать уравнение плоскости , проходящей через параллельные прямые
= = и
= = .
Ответ : x – y – z = 0 .
28. Написать уравнение плоскости , проходящей через параллельные прямые
= = и
= = .
Ответ : 4x + 13y – z – 5 = 0 .
29.Найти уравнение плоскости , проходящей через три точки : M
1
(1 , -3 , 4) ; M
2
(0 , -2 , -1) ;
M
3
(1 , 1 , -1) .
Ответ : 15x – 5y – 4z – 14 = 0 .
30. Найти уравнение плоскости , проходящей через три точки : M
1
(0 , 1 , -2) ; M
2
(4 , 1 , 1) ;
M
3
(2 , 0 , -4) .
Ответ : 3x + 14y – 4z – 22 = 0 .
Приложение 1 .
§1 Расстояние от точки M
0
(x
0
,y
0
) до
прямой Ax + By + C = 0 , A
2
+ B
2
≠ 0 .
Расстояние от точки M
0
до прямой равно длине отрезка M
0
M , где M – основание
перпендикуляра , опущенного из точки M
0
на прямую Ax + By + C = 0 .Уравнение
перпендикуляра (M
0
M) имеет вид :
x = x
0
+ A
t
B(x – x
0
) – A(y – y
0
) = 0 или
= =
t
или
y = y
0
+ B
t
Найдём точку M из системы уравнений
x = x
0
+ A
t
x = x
0
+ A
t
x = x
0
+ A
t
M : y = y
0
+ B
t
y = y
0
+ B
t
y = y
0
+ B
t
Ax + By + C = 0 A(x
0
+ A
t
) + B(y
0
+ B
t
) + C = 0
t
= –
Искомое расстояние M
0
M найдём по формуле :
d = M
0
M = (x – x
0
)
2
+ (y – y
0
)
2
= (A
t)
2
+ (B
t)
2
=
t
A
2
+ B
2
=
x – 1
2
y – 1
-1
z – 1
2
x + 11
1
y + 6
2
z
1
x + 26/5
1
y – 28/5
-8
z – 29/5
-14
x – 1/2
- 1
y + 5/2
5
z + 1
4
x – 1
1
y + 1
-2
z – 2
3
x
1
y + 1
-2
z – 1
3
x + 2
4
y – 1
-1
z
3
x – 1
4
y
-1
z + 1
3
x – 1
1
y + 2
1
z
2
x – x
0
A
y – y
0
B
Ax
0
+ By
0
+ C
A
2
+ B
2
x – 1
1
y – 2
-1
z – 3
0

---

Page 36

36
= – A
2
+ B
2
= .
d =
§2 Расстояние от точки M
0
(x
0
, y
0
, z
0
) до
плоскости Ax + By + Cz + D = 0 , A
2
+ B
2
+ C
2
≠ 0 .
Расстояние от точки M
0
до плоскости равно длине отрезка M
0
M , где M – основание
перпендикуляра , опущенного из точки M
0
на плоскость Ax + By + Cz + D = 0 . Вектор
направления перпендикуляра к плоскости коллинеарен нормали плоскости n = (A , B , C) ,
поэтому уравнение перпендикуляра (M
0
M) имеет вид :
x = x
0
+ A
t
= = =
t
или
y = y
0
+ B
t
z = z
0
+ C
t
Найдём точку M из системы уравнений
x = x
0
+ A
t
x = x
0
+ A
t
M : y = y
0
+ B
t
y = y
0
+ B
t
z = z
0
+ C
t
z = z
0
+ C
t
Ax + By + Cz + D = 0 A(x
0
+ A
t
) + B(y
0
+ B
t
) + C(z
0
+ C
t
) + D = 0
x = x
0
+ A
t
y = y
0
+ B
t
z = z
0
+ C
t
t =
–
Расстояние d = M
0
M найдём по формуле :
d = M
0
M = (x – x
0
)
2
+ (y – y
0
)
2
+ (z – z
0
)
2
= (A
t
)
2
+ (B
t
)
2
+ (C
t
)
2
=
t
A
2
+ B
2
+ C
2
=
= – A
2
+ B
2
+ C
2
= .
d =
Приложение 2 .
П 1
. Индивидуальное задание .
В треугольнике ABC найти :
1) уравнение плоскости треугольника (ABC) ; уравнения медианы , высоты ,
биссектрисы , выходящих из точки A .
2) длины медианы , высоты , биссектрисы , выходящих из вершины A .
Ax
0
+ By
0
+ C
A
2
+ B
2
Ax
0
+ By
0
+ C
A
2
+ B
2
Ax
0
+ By
0
+ C
A
2
+ B
2
x – x
0
A
y – y
0
B
z – z
0
C
Ax
0
+ By
0
+ Cz
0
+ D
A
2
+ B
2
+ C
2
Ax
0
+ By
0
+ Cz
0
+ D
A
2
+ B
2
+ C
2
Ax
0
+ By
0
+ Cz
0
+ D
A
2
+ B
2
+ C
2
Ax
0
+ By
0
+ Cz
0
+ D
A
2
+ B
2
+ C
2

---

Page 37

37
3) уравнения сторон треугольника
ABC .
4) площадь треугольника ABC .
5) углы в треугольнике ABC .
6) проекцию точки A на сторону BC .
Варианты заданий :
1) A(0 , 1 , 1) ; B(1 , 3 , 3) ; C(4 , 4 , 1)
2) A(1 , 0 , 1) ; B(3 , 1 , 3) ; C(4 , 4 , 1)
3) A(-1 , 1 , 0) ; B(0 , 3 , 2) ; C(3 , 4 , 0)
4) A(2 , -1 , 1) ; B(1 , 1 , 3) ; C(5 , -1 , 4)
5) A(1 , 1 , 0) ; B(0 , 3 , 2) ; C(1 , 4 , 4)
6) A(-1 , 1 , 0) ; B(0 , 3 , 2) ; C(-1 , 4 , 4)
7) A(1 , -1 , 0) ; B(2 , 1 , 2) ; C(4 , -1 , 4)
8) A(1 , 0 , -1) ; B(2 , 2 , 1) ; C(1 , 3 , 3)
9) A(0 , -1 , 1) ; B(2 , 0 , 3) ; C(3 , 3 , 1)
10)A(0 , 1 , -1) ; B(2 , 0 , 1) ; C(4 , 4 , -1)
11)A(2 , 1 , 1) ; B(1 , 3 , 3) ; C(2 , 4 , 5)
12)A(-2 , 1 , 1) ; B(0 , 2 , 3) ; C(2 , 4 , 1)
13)A(2 , 1 , -1) ; B(0 , 2 , -2) ; C(5 , 4 , -1)
14)A(-2 , 1 , 0) ; B(0 , 2 , 2) ; C(2 , 4 , 0)
15)A(2 , 0 , -1) ; B(5 , 4 , -1) ; C(0 , 1 , 1)
16)A(1 , -2 , 1) ; B(1 , 2 , 4) ; C(2 , 0 , 3)
17)A(0 , 2 , -1) ; B(4 , 2 , 2) ; C(1 , 0 , 1)
18)A(-1 , 0 , 2) ; B(2 , 4 , 2) ; C(0 , 2 , 4)
19)A(1 , -2 , 0) ; B(2 , 0 , 1) ; C(1 , 2 , 3)
20)A(1 , 2 , 1) ; B(3 , 1 , 3) ; C(4 , 2 , 5)
21)A(0 , -2 , 1) ; B(3 , -2 , 5) ; C(1 , 0 , 3)
22)A(2 , -1 , 1) ; B(2 , 3 , 4) ; C(1 , 1 , 3)
23)A(-2 , 1 , 1) ; B(0 , 2 , 3) ; C(-2 , 4 , 5)
24)A(2 , -1 , -1) ; B(1 , 1 , 1) ; C(5 , -1 , 3)
25)A(0 , 1 , -2) ; B(4 , 1 , 1) ; C(2 , 0 , -4)
26)A(1 , 1 , 1) ; B(2 , 3 , 3) ; C(4 , 1 , 5)
П 2 .
Образец экзаменационного теста
В задачах группы “A” решите задание, сравните полученный ответ с предложенными.
В задачах группы “B” напишите ответ к предложенному заданию.
В задачах группы “C” напишите подробное решение предложенных задач.
Задания
Варианты ответов
A1. Найти площадь треугольника ABC , если
уравнение сторон имеет вид AB : x – 7y = -17 ;
BC : 2x + y= - 4 ; AC : 3x – y = 9 ;
1) 20 ; 2) 10 ; 3) 35 ; 4) 30 ; 5) 31.
A2. Найти расстояние между двумя
параллельными прямыми: 4x + 3y + 1 = 0 и
4x – 3y –14 = 0;
1) 5 ; 2) 3 ; 3) 2 ; 4) 15 ; 5) 13.
A3. Даны три последвательные вершины
параллелограмма: A(-3, -2, 0) , B (3,-3,1) ,
C(5, 0, 2) . Найти координаты его четвёртой
вершины D.
1) (2, 5, 3) ; 2) (1,1,1) ; 3) (2,0,1) ; 4) (-1,1,-1) ;
5) (-1,1,1).
A4. В треугольнике ABC с вершинами :
A(1,1,1) , B(2,3,3) , C(4,1,5) определить
1) (1,2,3) ; 2) (1,-1,2) ; 3) (2,1,3) ; 4) (3,-2,1) ;
5) (2,3,-1).

---

Page 38

38
координаты напрявляющего вектора
медианы AM .
A5. Найти модуль векторного произведения
двух векторов a(1,1,1) и b(5,6,-7) .
1) 305 ; 2) 17 ; 3) 18 ; 4) 314 ; 5) 317.
B1. Найти координаты точки A
1
, симметричной точке A (3,-1) относительно прямой
3x – y + 2 = 0 .
B2. В треугольнике ABC с вершинами : A(1,1,1), B(2,3,3), C(4,1,5) определить координаты
напрявляющего вектора биссектрисы AN .
B3. Найти уравнения биссектрис углов между прямыми x + 2y + 1 = 0 и 2x + y – 3 = 0 .
B4. Написать каноническое уравнение эллипса , директрисами которого служат прямые
x = ± 9 , а большая полуось a = 3 .
B5. Найти уравнения касательных к гиперболе
– = 1 , проведённых из точки
A(1,2) .
C1. Найти общее уравнение гиперболы , если известны её фокусы F
1
(0 , - 1) ; F
2
(1 , 0) и
действительная ось a = 1.
C2. Найти координаты точки M
1
, симметричной точке M(1 , 2 , 8) относительно прямой
= = .
C3. Найти проекцию прямой
= = на плоскость 3x – y + 2z – 2 = 0 .
Ответы :
A1 : 4) ; A2 : 2) ; A3 : 5) ; A4 : 3) ; A5 : 4) .
B1 : (- , ) ; B2 : ( , , ) ; B3 : x – y – 4 = 0 и 3x + 3y – 2 = 0 ;
B4 : + = 1 ; B5 : 3x – 4y + 5 = 0 и x + y – 3 = 0 .
C1 : 3x
2
– 2xy – 4x + 3y
2
+ 4y = 0 ; C2 : (5 , -4 , -6) ; C3 : = = .
x
2
17
y
2
8
x – 1
2
y
-1
z
1
x – 1
1
y + 2
1
z
2
21
5
7
5
14
15
10
15
22
15
x
2
9
y
2
8
x – 1/2
-1
y + 5/2
5
z + 1
4

---

Page 39

39
Литература
1. В.А.Ильин,Э.Г.Позняк, “Аналитическая геометрия “ М.-изд-во”Наука”1968г.
2. Н.В. Ефимов “Краткий курс аналитической геометрии”. М.- изд-во “Наука”,
1969г.
3. О.Н. Цубербиллер “Задачи и упражнения по аналитической геометрии”. М. –
изд-во “Наука”, 1970г.