Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений

Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений приобретают особую актуальность, в связи с тем, что к ним не возможно применить прямые методы решения. Только лишь в редких случаях систему можно решить непосредственно. Для системы из двух уравнений иногда удаётся выразить одно неизвестное через другое и свести решение системы к решению одного нелинейного уравнения относительно одного неизвестного. Поэтому итерационные методы решения для нелинейных систем уравнений приобретают особую актуальность.

Системы нелинейных уравнений могут иметь единственное решение, множество решений или вообще не иметь его. Значит численное решение систем нелинейных уравнений проводят в два этапа:

1 этап: отделение решений.

Отделить решение это значит установить сколько решений имеет система нелинейных уравнений, также определить приближенные значения каждого из них или указать область, в которой решение существует и является единственным.  

Чтобы реализовать данный этап используют как графический, так и аналитический  способы:

- аналитический

При отделении корней аналитическим  способом используется теорема:

непрерывная строго монотонная функция  имеет нуль на отрезке [a;b] ( и при том единственный) тогда и только тогда, когда на его концах она принимает значение разных знаков. Достаточным признаком монотонности функции f(x) на отрезке [a;b]  является сохранение знака производной функции.

-графический 

Графический способ мы можем использовать тогда, когда есть возможность построить  график функции. Из графика мы можем  узнать о количестве нулей и их расположении, что позволяет нам определить промежутки, внутри которых находится только один корень.

Если же мы не можем построить  график функции у = f(x), то часто оказывается удобным преобразовать это уравнение к эквивалентному виду f₁(x)=f₂(x) и построить два графика функции y=f₁(x) и y=f₂(x). Тогда абсциссы пересечения этих двух графиков и будут соответствовать значениям корней нашего уравнения. Отделение корней графическим способом больше подходит для системы двух уравнений с двумя неизвестными.

2 этап: уточнение всех решений

Уточнение интересующего нас решения  до требуемой точности ε производится итерационными методами. Примером такого метода является метод Ньютона или метод касательных.

Метод Ньютона (метод касательных) — это итерационный численный метод нахождения корней заданной нелинейной системы уравнений. Метод был впервые предложен английским физиком, математиком и астрономом Исааком Ньютоном. Поиск решения осуществляется путём построения последовательных приближений и основан на принципах простой итерации. Метод Ньютона наиболее распространенный метод решения систем нелинейных уравнений. Он является наиболее быстро сходящимся методом и имеет квадратичную скорость сходимости.

Рассмотрим нелинейную систему  уравнений:

                                   

или в векторной форме  f(x)=0,

                                 где  и       

Для решения системы f(x)=0 можно воспользоваться методом последовательных приближений. Предположим, что нам известно k-тое приближение

                        x^(k)=( x₁^(k), x₂^(k),…, x_n^(k))

одного из изолированных  корней  x=(x₁,x₂,…,x_n) векторного уравнения f(x)=0. Тогда точный корень уравнения можно представить в виде

                                                                         (1)

где    - поправка (погрешность корня).

Представляя выражение (1) в виде f(x)=0, получаем

                                                          (2)

Если предположить, что  функция f(x) непрерывно дифференцируема в некоторой выпуклой области, содержащей x и x^(k), то можно разложить левую часть уравнения (2) по степеням малого вектора , ограничиваясь линейными членами

                             

Из последней формулы  вытекает, что под производной  следует понимать матрицу Якоби системы функции относительно переменных или иначе

                             

или в краткой записи

                                            (i, j=1,2,….,n)

Поэтому формула (2) может  быть записана в следующем виде:

                                       

Если      , то

Очевидно, что метод  Ньютона решения системы нелинейных уравнений состоит в построении итерационной последовательности:

                                    где (k=0,1,2,…)

Если все поправки становятся очень малыми, то счёт прекращается. Достоинством методов Ньютона является:

- быстрая сходимость

Недостатками методов Ньютона:

        - сложность расчетов (вычисление производных, многократное решение системы линейных уравнений)

       -сильная зависимость от начального приближения.

Метод Ньютона имеет преимущества по сравнению с другими методами. Но для метода Ньютона так же существует проблема сходимости, с увеличением числа неизвестных область сходимости уменьшается, а в случае больших систем, сходимость обеспечивается если начальная точка близка к искомому решению.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Литература:

1. Калиткин Н. Н. Численные методы – учебник для студентов математических, физических и технических специальностей: Москва, 2000.
2. Ханова А. А. Численное решение уравнений и систем уравнений – методическое пособие для студентов: Астрахань 2001.
3. Краткий курс вычислительной математики, Чита 1998.
4. Интернет ресурс: www.intuit.ru