История задач на максимум и минимум

     В мире не происходит ничего, в чем бы не был виден смысл какого-нибудь максимума или минимума.

     Л.Эйлер

     В жизни постоянно приходится сталкиваться с необходимостью принять наилучшее возможное (иногда говорят — оптимальное) решение. Экстремальные задачи во все времена привлекали внимание ученых. Из попыток решить ту или иную экстремальную задачу возникали и развивались новые теории, а иногда и целые направления математики. В чём причина такого интереса? Во-первых, среди задач на максимум и минимум много красивых задач, которые интересно и приятно решать. Но люди занимаются ими отнюдь не только «из любви  к искусству». Много экстремальных задач, ложащихся на письменный стол учёного, приходит из практики. Например, каковы должны быть очертания судна, для того чтобы оно испытывало при движении в воде наименьшее  сопротивление? Огромное число оптимальных проблем возникает в экономике и технике. При этом часто случается так, что полезно прибегнуть к математике. В математике исследование задач на экстремум (т.е. на максимум и минимум) началось очень давно—двадцать пять веков назад.

     История сохранила легенду о следующей  самой древней экстремальной  задаче, известной как задача Дидоны: указать форму границы участка, имеющей заданную длину, при которой площадь участка максимальна. Считается, что история этой задачи началась в IX веке до н.э., когда, как написал в своей поэме «Энеида» древнеримский поэт Вергилий, царевне Дидоне пришлось решать изопериметрическую задачу. Согласно преданию давным-давно финикийская царевна Дидона с небольшим отрядом преданных ей людей покинула родной город Тир, спасаясь от преследований своего брата Пигмалиона. Ее корабли отправились на запад по Средиземному морю, и плыли  пока Дидона не заметила удобное для поселения место на африканском побережье, в нынешнем Тунисском заливе.  Король местных жителей нумидийцев Ярб согласился продать Дидоне лишь маленький, по его мнению, участок земли, «в пределах воловьей шкуры». Однако Дидона поступила хитрее. Она разрезала шкуру на тонкие ремни и связала их в одну длинную ленту. Затем перед царевной стояла задача, как этой лентой отгородить участок земли наибольшей площади. Дидона успешно справилась с поставленной задачей и на этом месте основала город Карфаген. Итак,  Дидоне пришлось решать следующую задачу: «Как нужно расположить шнур фиксированной длины L, чтобы он отгораживал от прямолинейного берега участок земли максимальной площади?»

     Задача  Дидоны является частным случаем изопериметрических задач. Это название происходит от двух греческих слов: isos - равный и perimetron - обмер, обвод. Изопериметрическая задача состоит в том, чтобы среди данной совокупности фигур, имеющих одинаковую длину контура (одинаковый периметр), найти ту, чья площадь больше площади любой другой фигуры рассматриваемой совокупности.

            Рассмотрим простой  пример. Пусть выделенный класс геометрических фигур состоит из всех треугольников с данным периметром, тогда изопериметрическая задача заключается в том, чтобы найти треугольник данного периметра, у которого площадь максимальна. Таким треугольником является равносторонний треугольник. Значительно более сложной является основная изопериметрическая задача: «Среди всех плоских фигур данного периметра L найдите ту, которая имеет максимальную площадь». Ответом этой задачи является круг. Еще в древней Греции было известно, что круг имеет большую площадь, чем все другие фигуры с тем же самым периметром, а шар — наибольший объем среди всех тел с одной и той же поверхностью. Недаром круг и шар были в древности символами геометрического совершенства. В начале второго века до нашей эры греческий геометр Зенодор написал специальный трактат «О фигурах, имеющих равную периферию». О существовании этого трактата известно из сочинений греческих комментаторов Зенодора — Паппа (III в. н. э.) и Теона (IV в. н. э.). Сама рукопись Зенодора утеряна. Хотя ответ в основной изопериметрической задаче и кажется очевидным, строгое ее решение содержит определенные трудности. Швейцарский геометр Штейнер, впервые, доказавший что только круг может служить решением изопериметрической задачи предположил, что фигура наибольшей площади существует. Однако это рассуждение не является строгим. Рассмотрим общие свойства изопериметрических фигур максимальной площади, для множества фигур на плоскости с данным периметром р.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Свойство 1. Всякая максимальная фигура выпукла.

Доказательство.

Пусть хорда А₁В₁, соединяющая точки А₁, В₁ нашей фигуры, не лежит целиком внутри нее. Тогда, очевидно, некоторый отрезок этой хорды, скажем АВ, лежит весь (кроме концов) вне фигуры. Можно считать поэтому, что дана фигура с периметром АаВС, равным р, не содержащая хорду АВ (рис. 1.2.1). Заменим дугу а хордой АВ. Периметр при такой замене уменьшится, а площадь увеличится на часть АаВ. Построим теперь фигуру, подобную построенной фигуре А ВС, но с периметром, равным периметру первоначальной фигуры АаВС. У новой фигуры площадь будет больше, чем у второй (поскольку коэффициент подобия больше единицы), и подавно больше, чем у первоначальной.                                                                                                                                                                                         

                                                                                                                           Рис. 1.2.1

Свойство  доказано. [5, 24]                                              

Свойство 2. Всякая хорда максимальной фигуры с периметром р, делящая пополам ее периметр, обязательно делит ровно пополам и ее площадь.

Доказательство.

Действительно, пусть у фигуры АВСD с периметром р хорда АС делит периметр пополам (рис. 1.2.2). Обозначим через S₁, площадь фигуры AВС, а через S₂ - площадь АDС. Предположим, что S₁>S₂. Построим тогда новую фигуру АВСEА, заменив линию АDС линией АЕС, симметричной с АВС относительно хорды АС. Новая фигура АВСЕА, имея прежний периметр, имеет площадь больше площади первоначальной  фигуры, так как площадь новой фигуры равна 2S₁, а площадь первоначальной равна S₁+S₂,  в то  время как по  предположению S₁>S₂ и, следовательно, 2S₁>S₁+S₂. Поэтому фигура АВСD не является, вопреки предположению, максимальной. Это доказывает, что предположение S₁> S₂ неверно. Аналогично доказывается, что и предположение S₁<S₂ приводит к противоречию. Окончательно, S₁= S_2.

Свойство доказано. [3, 31]                                                                                        
 
 

                                                                                                                                         Рис. 1.2.2

     Рассмотрим  решение задачи  Дидоны, пользуясь изопериметрическим свойством круга (см. задачу 1.2.6).

Пусть AВС и А’В’С’ представляют собой полукруг и какую-нибудь другую фигуру, удовлетворяющую всем условиям задачи. Прибавляя к этим фигурам фигуры АDС и А’D’С’, симметричные с первыми относительно осей АС и А’С’, составим две новые фигуры: круг АВСD и отличную от круга фигуру А’В’С’D’, периметры которых равны 2l. Согласно основной теореме об изопериметрах, площадь круга АВСD больше площади фигуры А’В’С’D’. Поэтому площадь полукруга АВС больше площади фигуры А’В’С’ и полукруг АВС будет решением задачи Дидоны. [5, 25] 

     Экстремальными  задачами занимались многие античные ученые (Евклид, Архимед, Аристотель и  др.). В началах Евклида – первой научной монографии и первом учебном  пособии в истории человечества, в труде вышедшем в IV веке до н.э. имеется задача на максимум. В современной редакции она выглядит так: в данный треугольник АВС вписать параллелограмм ADEF, наибольшей площади. Нетрудно показать, что решением этой задачи является параллелограмм, вершины D, E, F которого делят соответствующие стороны треугольника пополам.

     Известна  также задача античного математика Герона Александрийского, с которой мы знакомимся еще в школе: даны две точки А и В по одну сторону от прямой l. Требуется найти на прямой l такую точку D, что бы сумма расстояний от А до D и от В до D была наименьшей.  Книга, где была изложена эта задача, называется «О зеркалах». Время написания этой книги неизвестно, но большинство исследователей считают, что она написана в I веке до н.э. При этом сам труд Герона не сохранился, и о нем известно из комментариев к нему написанных позже. 

     Долгое время к задачам на отыскание экстремумов не было единых подходов. Но примерно триста лет назад — в эпоху формирования математического анализа — были созданы первые общие методы решения исследования задач на экстремум. Тогда же выяснилось, что некоторые специальные задачи оптимизации играют очень важную роль  в естествознании, а именно обнаружилось, что многие законы природы допускают вывод  «вариационных принципов», согласно которым истинное движение механической системы, света, электричества, жидкости, газа и т. п. можно выделить из произвольной совокупности допустимых движений тем, что они минимизируют или максимизируют некоторые величины. В конце XVII столетия было поставлено несколько конкретных экстремальных задач естественно научного содержания. Потребность решать какие, так и многие другие проблемы, возникающие в геометрии, физике, механике, привела к созданию новой главы математического анализа, получившей название вариационного исчисления. Интенсивное развитие вариационного исчисления продолжалось около двух столетий. В нем принимали участие многие замечательные ученые XVIII и XIX веков, и к началу XX столетия стало казаться, что они почти исчерпали эту тематику. Но это оказалось не так. Потребности практической жизни, особенно в области экономики и техники, в последнее время выдвинули такие новые задачи, которые старыми методами решить не удавалось. Надо было идти дальше. Пришлось  развить математический анализ и создать новый его раздел—«выпуклый анализ», где изучались выпуклые функции, выпуклые экстремальные задачи.

     С другой стороны, потребности техники, в частности космической, выдвинули  серию задач, которые также не поддавались средствам вариационного  исчисления. Необходимость решать их привела к созданию новой теории, получившей название теории оптимального управления. Основной метод в теории оптимального управления был разработан в 1950—60-е годы нашими соотечественниками —Л.С .Понтрягиным и его учениками. Это привело к тому, что теория экстремальных задач получила новый мощный толчок к дальнейшим исследованиям.

     Задачи  на экстремумы актуальны и в настоящее  время, так как имеется много  нерешенных задач на наибольшее и  наименьшее значение некоторых величин, связанных с выпуклой фигурой. Так, например, до сих пор не решены следующие  задачи: найти минимальную площадь  S выпуклой фигуры, если известен диаметр D и ширина этой фигуры, причем ; найти минимальную площадь выпуклой фигуры, если известна ширина и периметр фигуры.