История систем исчисления

История систем счисления

Современный человек в  повседневной жизни постоянно сталкивается с числами: мы запоминаем номера автобусов  и телефонов, в магазине подсчитываем стоимость покупок, ведём свой семейный бюджет в рублях и копейках (сотых  долях рубля) и т.д. Числа, цифры... они с нами везде. А что знал человек о числах несколько тысяч  лет назад? Вопрос непростой, но очень  интересный. Историки доказали, что  и пять тысяч лет назад люди могли записывать числа и производить  над ними арифметические действия. Конечно, принципы записи были совсем не такими, как сейчас. Но влюбом случае число изображалось с помощью одного или нескольких символов.

Эти символы, участвующие  в записи числа, в математике и  информатике принять называть цифрами

Но что же люди понимают тогда под словом "число"?

Первоначально понятие отвлечённого числа отсутствовало, число было "привязано" к тем конкретным предметам, которые пересчитывали. Отвлечённое понятие натурального числа появляется вместе с развитием  письменности. Дробные же числа изобрели тогда, когда возникла необходимость  производить измерения. Измерение, как известно, это сравнение с  другой величиной того же рода, выбираемой в качестве эталона.

Эталон называется ещё  единицей измерения. Понятно, что единица  измерения не всегда укладывалась целое  число раз в измеряемой величине. Отсюда и возникла практическая потребность  ввести более "мелкие" числа, чем  натуральные. Дальнейшее развитие понятия  числа было обусловлено уже развитием  математики.

Понятие числа - фундаментальное  понятие как математики, так и информатики. В дальнейшем при изложении материала под числом мы будем понимать его величину, а не его символьную запись.

Сегодня, в самом конце XX века, для записи чисел человечество использует в основном десятичную систему  счисления. А что такое система  счисления?

Система счисления - это способ записи (изображения) чисел.

Различные системы счисления, которые существовали раньше и которые  используются в настоящее время, делятся на две группы: позиционные  и непозиционные.

Наиболее совершенными являются позиционные системы счисления, т.е. системы записи чисел, в которых  вклад каждой цифры в величину числа зависит от её положения (позиции) в последовательности цифр, изображающей число. Например, наша привычная десятичная система является позиционной: в  числе 34 цифра 3 обозначает количество десятков и "вносит" в величину числа 30, а в числе 304 та же цифра 3 обозначает количество сотен и "вносит" в величину числа 300.

Системы счисления, в которых  каждой цифре соответствует величина, не зависящая от её места в записи числа, называются непозиционными.

Позиционные системы счисления - результат длительного исторического  развития непозиционных систем счисления.

Единичная система

Потребность в записи чисел  появилась в очень древние  времена, как только люди начали считать. Количество предметов, например овец, изображалось нанесением чёрточек или засечек на какой - либо твёрдой поверхности: камне, глине, дереве (до изобретения бумаги было ещё очень и очень далеко). Каждой овце в такой записи соответствовала одна чёрточка. Археологами найдены такие "записи" при раскопках культурных слоёв, относящихся к периоду палеолита (10 - 11 тысяч лет до н.э.).

Учёные назвали этот способ записи чисел единичной ("палочной") системой счисления. В ней для  записи чисел применялся только один вид знаков - "палочка". Каждое число в такой системе счисления  обозначалось с помощью строки, составленной из палочек, количество которых и  равнялось обозначаемому числу.

Неудобства такой системы  записи чисел и ограниченность её применения очевидны: чем большее  число надо записать, тем длиннее  строка из палочек. Да и при записи большого числа легко ошибиться, нанеся лишнее количество палочек или, наоборот, не дописав их.

Можно предложить, что для  облегчения счёта люди стали группировать предметы по 3, 5, 10 штук. И при записи использовали знаки, соответствующие  группе из нескольких предметов. Естественно, что при подсчёте использовались пальцы рук, поэтому первыми появились  знаки для обозначения группа предметов из 5 и 10 штук (единиц). Таким  образом, возникли уже более удобные  системы записи чисел.

Древнеегипетская  десятичная непозиционная система

В древнеегипетской системе  счисления, которая возникла во второй половине третьего тысячелетия до н.э., использовались специальные цифры для обозначения чисел 1, 10, 10², 10³, 10⁴, 10⁵, 10⁶, 10⁷. Числа в египетской системе счисления записывались как комбинации этих цифр, в которых каждая из них повторялась не более девяти раз.

Пример. Число 345 древние  египтяне записывали так:

	единицы
	десятки
	сотни
	тысячи
	десятки тысяч
	сотни тысяч
	миллионы

В основе как палочной, так  и древнеегипетской системы счисления  лежал простой принцип сложения, согласно которому значение числа равно сумме значений цифр, участвующих в его записи. Учёные относят древнеегипетскую систему счисления к десятичной непозиционной.

Вавилонская шестидесятеричная  система

Также далеко от наших дней, за две тысячи лет до н.э., в другой великой цивилизации -вавилонской - люди записывали цифры по-другому.

Числа в этой системе счисления  составлялись из знаков двух видов: прямой клин служил для обозначения единиц, а лежачий клин - для обозначения  десятков.

Для определения значения числа надо было изображение числа  разбить на разряды справа налево. Новый разряд начинался с появления  прямого клина после лежачего, если рассматривать число справа налево.

Например: Число 32 записывали так:

Знаки прямой клин и лежачий  клин служили цифрами в этой системе. Число 60 снова обозначалось тем же прямым клином, что и 1, этим же знаком обозначались и числа 3600=60², 216000=60³ и все другие степени 60. Поэтому вавилонская система счисления получила название шестидесятеричной.

Значение числа определяли по значениям составляющих его цифр, но с учётом того, что цифры в  каждом последующем разряде значили  в 60 раз больше тех же цифр в предыдущем разряде.

Пример. Число 92=60+32 записывали так:

а число 444 в этой системе  записи чисел имело вид

т.к. 444=7*60+24.

Исключительно для наглядности  разделён пробелом (которого не было у  вавилонян) старший разряд (левый) и  младший.

Все числа от 1 до 59 вавилоняне записывали в десятичной непозиционной  системе, а число в целом - в  позиционной системе с основанием 60.

Запись числа у вавилонян  была неоднозначной, т.к. не существовало цифры для обозначения нуля. Запись числа 92, приведённая выше, могла  обозначать не только 92=60+32, но и, например, 3632=3600+32. Для определения абсолютного  значения числа требовались дополнительные сведения. Впоследствии вавилоняне ввели  специальный символ для обозначения  пропущенного шестидесятеричного разряда

что соответствует появлению  цифры 0 в записи десятичного числа.

Пример. Число 3632 теперь нужно  было записывать так:

Но в конце числа  этот символ обычно не ставился, т.е. этот символ всё же не был цифрой "ноль" в нашем понимании, и опять  же требовались дополнительные сведения для того, чтобы отличить 1 от 60, от 3600 и т.д.

Таблицу умножения вавилоняне никогда не запоминали, т.к. это было практически невозможно. При вычислениях  использовались готовые таблицы  умножения.

Шестидесятеричная вавилонская система - первая известная нам система счисления, частично основанная на позиционном принципе.

Система вавилонян сыграла  большую роль в развитии математики и астрономии, её следы сохранились  и до наших дней. Так, мы до сих  пор делим час на 60 минут, а  минуту на 60 секунд. Следуя примеру  вавилонян, мы и окружность делим  на 360 частей (градусов).

Римская система

Знакомая нам римская система не слишком принципиально отличается от египетской. В ней для обозначения чисел 1, 5, 10, 50, 100, и 1000 используются заглавные латинские буквы I, V, X, C, D и M соответственно, являющиеся цифрами этой системы счисления.

Число в римской системе  счисления обозначается набором  стоящих подряд цифр. Значение числа  равно:

1. сумме значений идущих подряд нескольких одинаковых цифр (назовём их группой первого вида);
2. разности значений двух цифр, если слева от большей цифры стоит меньшая. В этом случае от значения большей цифры отнимается значение меньшей цифры. Вместе они образуют группу второго вида. Заметим, что левая цифра может быть меньше правой максимум на один порядок: так, перед L(50) и С(100) из "младших" может стоять только X(10), перед D(500) и M(1000) - только C(100), перед V(5) - только I(1);
3. сумме значений групп и цифр, не вошедших в группы первого или второго вида.

Пример 1. Число 32 в римской  системе счисления имеет вид XXXII=(X+X+X)+(I+I)=30+2 (две группы первого вида).

Пример 2. Число 444, имеющее  в своей десятичной записи 3 одинаковые цифры, в римской системе счисления  будет записано в виде CDXLIV=(D-C)+(L-X)+(V-I)=400+40+4 (три группы второго вида).

Пример 3. Число 1974 в римской  системе счисления будет иметь  вид MCMLXXIV=M+(M-C)+L+(X+X)+(V-I)=1000+900+50+20+4 (наряду с группами обоих видов в формировании числа участвуют отдельные "цифры").

Славянская система  счисления

Данная система счисления  является алфавитной т.е. вместо цифр используются буквы алфавита. Данная система счисления применялась нашими предками и была достаточно сложной, т.к. использует в качестве цифр 27 букв.

	аз	1		и	10		рцы	100
	веди	2		како	20		слово	200
	глаголь	3		люди	30		твёрдо	300
	добро	4		мыслите	40		ук	400
	есть	5		наш	50		ферт	500
	зело	6		кси	60		хер	600
	земля	7		он	70		пси	700
	иже	8		покой	80		o	800
	фита	9		червь	90		цы	900

Большие числа представлялись на основе данных чисел.

Например, тысяча представлялась так

Более крупные числа, как, например, миллион, или тьма, выглядели  следующим образом.

Вот некоторые числа записанные в славянской системе счисления

12		500005
129		514238
2800		5388

Данная система является непозиционной, т.е. число не зависит  от последовательности цифр.

Греческая (ионийская) система счисления

Данная система счисления, так же как и славянская, является алфавитной, т.е. использует буквы в  написании чисел. Определённой букве  в соответствие ставилась цифра:

	альфа	1		йота	10		ро	100
	бета	2		каппа	20		сигма	200
	гамма	3		ламбда	30		тау	300
	дельта	4		мю	40		ипсилон	400
	эпсилон	5		ню	50		фи	500
	вау	6		кси	60		хи	600
	дзета	7		омикрон	70		пси	700
	эта	8		пи	80		омега	800
	тета	9		коппа	90		сампи	900