Исследование на совместность системы линейных уравнений

Министерство образования  и науки РФ   Тверской государственный  университет

Факультет прикладной математики и кибернетики

Кафедра математического  моделирования

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Курсовая работа по линейной алгебре

I курс, I семестр

 

 

Тема: «Исследование на совместность системы линейных уравнений»

 

Вариант № 18

 

 

 

 

 

Выполнила: студентка 12 группы

Пылаева Елена

                                                                     Руководитель работы: к.ф.-м.н.

 Рыбаков М.Н.

 

 

 

 

 

 

Тверь – 2011

СОДЕРЖАНИЕ:

 

 

1. Постановка задачи…………………………………………………3
2. Решение задачи: 

2.1.Исследование системы  на совместность в зависимости  от параметров…………………………………………………….…4

2.2.Нахождение общего  решения системы…………………....6

    3.  Результаты  исследования………………………………………….7

    4.  Список  литературы………………………………………………...8         

            

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1. Постановка задачи

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дана система линейных уравнений, зависящая от параметров  α и ß

 Требуется исследовать  систему на совместность в  зависимости от значений этих параметров и найти общее решений системы, а также оформить результаты исследования (т.е. представить решение).

 

 

 

 

Система, в отношении которой дано задание:

 

 x₁   –  x₂  + 2x₃ = 1,

2x₁ + 3x₂ +  x₃    = 1,

-x₁  –4x₂  + α x₃  = 3,

-x   +  x₂  – 2 x₃  = ß.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

2. Решение задачи

 

 

 

2.1. Исследование системы на совместность в зависимости от параметров

 

Чтобы проверить, совместна ли заданная система, я воспользуюсь теоремой Кронекера – Капели, которая гласит:

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы, причём система имеет единственное решение, если ранг равен числу неизвестных, и бесконечное множество решений, если ранг меньше числа неизвестных.

 

1. Произведем элементарные преобразования расширенной матрицы системы и найдем ее ранг:

 

 

 1    -1     2     1                               

2     3     1     1         -2I                                        

-1    -4    α     3         +I

-1     1    -2    ß        +I                                           

 

 

 

1    -1     2        1                                  

0     5     -3       -1                               

0    -5   α+2     4         +II

0     0     0       ß+1       

 

 

1    -1     2        1                                   Данная система будет иметь решение только   

0     5     -3       -1                                   при ß = -1, α ≠ 1.  Запишем эту систему при

0    0   α-1     3                                    ß = -1

0     0   0        ß+1       

 

4

1    -1     2        1                                 Ранг расширенной матрицы системы равен                          

0    5     -3       -1                                числу ненулевых строк после элементарных               

0    0   α-1     3                                 преобразований, соответственно ранг

0     0   0        0                              расширенной матрицы равен 3. Обозначим эту                  

                                                             систему как система (*)

 

Найдём ранг основной матрицы:

 

 1    -1     2                                  

2     3     1              -2I                                        

-1    -4    α             +I

-1     1    -2             +I                                           

 

1    -1     2                                          

0     5     -3                                    

0    -5   α+2          +II

0     0     0           

 

1    -1     2                                             Исходная система будет совместной при   α ≠ 1              

0     5     -3                                            При   α ≠ 1 ранг основной матрицы будет              

0    0   α-1                                           равен 3.

0     0   0            

 

Ранг основной матрицы  системы равен рангу её расширенной  матрицы, соответственно система совместна  при α ≠ 1 и ß = -1.

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

2. Нахождение общего решения системы

 

 

Решение исходной системы  будет единственно, т.к. ранг равен  числу неизвестных. Найдем это решение  при α ≠ 1 и ß = -1 :

 

Найдем решения системы (*) методом Гаусса:

 

1    -1     2        1                                

0     5     -3       -1                               

0    0   α-1     3                                

0     0   0        0            

                  

 

 x₁   –  x₂  + 2x₃    = 1,

          5x₂ - 3x₃   = -1,

                (α-1) x₃  = 3,

 

Из третьего уравнения  системы найдем x_3:

x₃ = 3 / (α-1)

Из второго уравнения  системы найдем x_2:

5x₂ – 3(3/(α-1))= -1

5x₂ = (10- α) / (α-1)

x₂ = (10- α) / 5(α-1)

Из первого уравнения  системы найдем x₁

x₁ = 1+ (10- α) / 5(α-1) - 6 / (α-1)

x₁ = 1+ (- α -20) / 5(α-1)

x₁ = (4α -25) / 5(α-1)

 

 

 

 

6

3. Результаты исследования

 

Исходная система совместна  при α ≠ 1 и ß = -1

 

Общее решение системы :

{((4α -25) / 5(α-1), (10- α) / 5(α-1), 3 / (α-1), α ≠ 1)}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

4. Список литературы

 

1. Курош А.Г. Курс высшей алгебры (16-е издание). Издательство «Лань»; М.: Издательство «Физматкнига», 2007

 

2. Д.К.Фаддеев. „Сборник задач по высшей алгебре”./ Д.К.Фадеев, И.С.Саминский. Москва: „Наука”, 1977г.

 

3. http://www.exponenta.ru

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8