Исчисление высказываний

 

Нетрудно видеть, вычисление “в лоб” таблицы истиности для этого выражения потребовало бы таблицы из 2⁴=16 строк. Используя прием незначащих состояний, удается сократить число рассматриваемых состояний до 5.

Тавтология.

Высказывания, которые истинны  при любом состоянии своих  переменных, играют особую роль и называются общезначимыми или тавтологиями.

Определение 5.2. Тавтология - высказывание, значение которого - Т  на любом состоянии переменных этого  выражения. Противоречие - высказывание, значение которого - F, на любом состоянии  переменных этого выражения.

Для доказательства утверждения, что некоторое выражение - тавтология, у нас пока есть только таблицы  истиности. Докажем, что pÚØp - тавтология. Ниже показана таблица истиности для pÚØp (Таблица 5.6.)

Таблица 5.6.

Таблица истиности для pÚØp

 

p	Øp	pÚØp
T	F	T
F	T	T

 

Эта таблица подтверждает наше интуитивное представление  о том, что утверждение и его  отрицание не могут быть истинны одновременно. Эта тавтология в исчислении высказываний называется законом исключения третьего.

Рассуждения с помощью  исчисления высказываний.

Прежде всего, надо обеспечить способ сравнения двух высказываний на эквивалентность, для того, чтобы, при необходимости, заменять одно другим. Так же, нам потребуется техника  для обнаружения тавтологий, более  мощная, чем таблица истиности. И, наконец, мы рассмотрим методы рассуждений, которые могут быть полезны для разрешения логических проблем, сформулированных на естественном языке. Все это нам потребуется для анализа различных свойств как алгоритмов, так и программ на языке программирования Pascal.

Эквивалентность.

Рассмотрим высказывание

(pÚq)Ù(pÚØq).

Его таблица истиности представлена в таблице 5.7.

Таблица 5.7.

Таблица истиности для (pÚq)Ù(pÚØq)

 

p	q	(pÚq)Ù(pÚØq)
T	T	T
T	F	T
F	T	F
F	F	F

 

нетрудно заметить, что  последний столбец в этой таблице  совпадает со столбцом для p. Поэтому, можно сказать, что с этой точки зрения выражение (pÚq)Ù(pÚØq) эквивалентно p, и везде, где мы встретим это выражение, мы можем его заменить на p.

Как мы уже отмечали, одной  из наших забот является упрощение  сложных высказываний. Поэтому, для  упрощения выражений, мы определим, что означает для двух выражений  быть эквивалентными и заменим более  сложное на менее сложное.

Определение 5.3. Два высказывания называются эквивалентными, если они  на одних и тех же состояниях своих  переменных принимают одни и те же значения.

Другими словами, если эти  высказывания имеют одинаковые таблицы  истиности, то они эквивалентны. Таким образом, один способ установить эквивалентность двух высказываний - вычислить их таблицы истиности и сравнить. Мы, однако, воспользуемся другим способом.

Теорема 5.1. Два высказывания p и q - эквивалентны (обозначается pºq) тогда и только тогда, когда pÛq  - общезначимо.

Доказательство:

Пусть pºq.  Значит таблицы истиности для p и q совпадают. Следовательно, на тех состояниях, где p=Т,  q=Т  также, а где p=F, то и q=F. Отсюда следует, что pÛq всегда Т (поскольку мы имеем либо ТÛТ, либо FÛF), т.е. pÛq   -  общезначимо или тавтология.

Пусть pÛq   -общезначимо. Тогда если p=Т, то q должно быть Т, а если p=F, то и q должно быть F.

Таким образом, на одних и  тех же состояниях эти выражения  принимают одинаковые значения. Следовательно, таблицы истиности для p и q совпадают. Последнее означает по определению , что pºq.

(Доказательство закончено.)

Эта теорема показывает, что установить эквивалентность  можно, доказав общезначимость специального высказывания.

Свойства эквивалентности.

Основные, часто используемые свойства эквивалентности приведены  в таблице 5.8.

Таблица 5.8.

Свойства эквивалентности

 

I.	Коммутативность	II.	Ассоциативность
1.	pÙq º qÙp	1.	pÙ(qÙr) º (pÙq)Ùr
2.	pÚq º qÚp	2.	pÚ(qÚr) º (pÚq)Úr
III.	Дистрибутивность	IV.	Закон Де Моргана
1.	pÙ(qÚr) º (pÙq)Ú(pÙr)	1.	Ø(pÚq) º ØpÙØq
2.	pÚ(qÙr) º (pÚq)Ù(pÚr)	2.	Ø(pÙq) º ØpÚØq
V.	Закон импликации	VI.	Закон прямого и обратного  условий
1.	pÞq º ØpÚq	1.	pÛq º (pÞq)Ù(qÞp)
VII.	Cвойство отрицания	VIII.	Закон идентичности
1.	Ø(Øp) º p	1.	p º p
IX.	Закон исключения третьего	X.	Закон противоречия
1.	pÚØp º Т	1.	pÙØp º F
XI.	Свойства дизъюнкции	XII.	Коньюнкция
1.	pÚp º p	1.	pÙp º p
2.	pÚÒ º Т	2.	pÙÒ º p
3.	pÚF º p	3.	pÙF º F
4.	pÚ(pÙq) º p	4.	pÙ(pÚq) º p

 

Нетрудно углядеть сходство многих свойств эквивалентности в исчислении высказываний с аналогичными свойствами операций в арифметике. Например, законы ассоциативности, дистрибутивности и коммутативности, позволяющие упрощать арифметические операции и аналогичные законы из таблицы 5.8., позволяющие упрощать высказывания.

Мы будем использовать эти свойства в разных целях. Коммутативность, например, позволяет нам менять местами  элементы высказывания , в целях его упрощения. Ассоциативность позволяет снимать скобки. Например, т.к. pÙ(qÙr) º (pÙq)Ùr , то мы можем просто писать pÙqÙr. Дистрибутивность позволяет собирать подобные члены, подобно тому как мы это делаем в арифметическом выражении. Закон импликации позволяет уходить от операции Þ , используя только операции Ø, Ú, Ù. Для того, чтобы убедиться в правильности этих свойств, достаточно построить их таблицы истиности. Например, в таблице 5.9. показана корректность закона импликации. Остальные свойства читателю предлагается доказать в качестве упражнения.

Таблица 5.9.

Доказательство корректности закона импликации

 

p	q	pÞq	ØpÚ q
T	T	T	T
T	F	F	F
F	T	T	T
F	T	T	T

 

Теперь сосредоточимся на упрощении выскзываний, используя свойства эквивалентности. Под упрощением мы будем понимать такое преобразование высказывания, которое принимает форму, удобную для нас в каком-то смысле. Например, содержит меньше переменных, операций Ú или Ù.

Рассмотрим несколько  примеров.

(pÚØq)ÙrÙ(ØpÚq)

(pÚØq)Ù(ØpÚq)Ùr  I.1

(ØqÚp)Ù(ØpÚq)Ùr  I.2

(qÞp)Ù(pÞq)Ùr   V.1

(pÛq)Ùr    VI.1

Таким образом 

(pÚØq)ÙrÙ(ØpÚq) º (pÛq)Ùr

Другой пример, упростить

pÚ(ØqÞp)ÚØq

pÚ(Ø(ØqÚp)ÚØq   V.1

pÚ(qÚp)ÚØq   VII.1

pÚ(qÚp)ÚØq   I.2

(pÚp)Ú(qÚØq)   II.2

pÚ(qÚØq)    XI.1

pÚT    IX.1

T     XI.2

Тем самым, мы доказали, что

pÚ(ØqÞp)ÚØq º Т  -  тавтология.

Упростить

((pÞq)Þp)Þp

(Ø(pÞq)Úp)Þp   V.1

(Ø(ØpÚq)Úp)Þp   V.1

((Ø(Øp)ÙØq)Úp)Þp  IV.1

((pÙØq)Úp)Þp   VII.1

(pÚ(pÙØq))Þp   I.2

pÞp    XI.4

ØpÚp    V.1

pÚØp    I.2

T     IX.1

Таким образом

((pÞq)Þp)Þp  -  тавтология.

5.2.3. Доказательство:  правила  вывода.

Основной целью всякого  рассуждения является установление истины в форме некоторого общезначимого  утверждения, т.е. тавтологии. Для простых  случаев, у нас есть метод таблиц истиности. Однако, он становится громоздким при числе переменных больше четырех.

Есть другой метод, называемый доказательством, который представляет собой последовательность логических выводов, правильность каждого из которых  строго логически обоснован. Таким  образом, рассуждение в этом методе принимает форму последовательности логических выводов.

Процесс доказательства, по существу, является развитием метода, который мы использовали для упрощения  высказываний. Однако, доказательство включает важный дополнительный компонент: вывод из предположения. Вывод в доказательстве основан на небольшом числе правил вывода, корректность которых вне сомнений. Эти правила устанавливают, что одни высказывания могут следовать из других, истиность которых либо уже была установлена, либо считаются таковыми по предположению. Эти правила приведены в таблице 5.10.

Таблица 5.10.

Правила вывода

 

I.	Введение Þ	II.	Введение Û
	[p]		pÞq
III.	Удаление Þ p	IV.	Удаление Û
1.	(Modus ponens)	1.
2.	Øq (Modus tollens)	2.
V.	Введение Ø	VI.	Удаление Ø
1.	[p]	1.   2.	p
VII.	Введение Ù	VIII.	Введение Ú
1.	p	1.   2.
IX.	Удаление Ù	X.	Удаление Ú
1.   2.		1.	[p] [q]                      r

 

Доказательство в исчислении высказываний есть по существу последовательность преобразований высказывания р с целью показать, что р общезначимо. Каждый шаг в доказательстве есть либо уже доказанное высказывание, либо высказывание, истинное по предположению и вводимое для последующих шагов. Каждый шаг , который является предположением, заключается в скобки [ ]. Все другие шаги должны быть доказаны. Последним шагом в доказательстве должно быть само высказывание р.

 

Докажем высказывание  

[p]

p

   Правило I

Первым шагом мы делаем предположение, что р - общезначима. Тогда второй шаг непосредственно следует из первого. Раз мы предположили общезначимость р на первом шаге, то мы используем этот факт на втором. На третьем шаге мы используем правила вывода I, которое устанавливает общезначимость высказывания .

Доказательство с помощью  правил вывода гибче, чем доказательство с помощью таблицы истиности. В первом случае мы можем проанализировать каждый шаг в цепочке доказательства. В то же время, неограниченный рост таблицы истиности не позволят нам этого сделать.

Присмотревшись внимательно  к правилам вывода, можно увидеть, что они хорошо согласуются с  нашей интуицией. Например, возьмём  правило VIII. Если на предыдущих шагах  была доказана общезначимость высказываний p и q, то очевидно что высказывание - тоже общезначимо.

Итак, в дальнейшем при  доказательстве мы будем использовать либо правила эквивалентности (в  этом случае каждый шаг будет замещением правого вхождения в высказывании на левую часть правила) либо правила  вывода.

5.2.4. Некоторые приёмы  доказательства.

Дедуктивный вывод.

Доказать 

[p] - Предположение

[q] - Предположение

р -  1.

  - I, 2, 3

- I, 1, 4

Мы предположили общезначимость утверждений p и q и воспользовавшись правилом I. введение .

Использование правила Моdus Рonens. Это правило хорошо работает когда надо доказать высказывания типа “Если в этом кинотеатре дают “Анаконду”, то я куплю билеты.” Если кто-то сделал это утверждение и вы увидели, что в кинотеатре идет “Анаконда”, то вы можете заключить, что этот человек купил билеты.

Доказать 

   - Предположение

     - IX. Удаление  , 1

r      - IX. Удаление , 1

р      - III. Моdus Рonens, 2, 3

p q     - IX. Удаление , 1

q      - III. Моdus Рonens. 4, 5

  - I. Введение  , 1, 6

Использование Моdus Tollens.

Доказать 

    - Предположение

p q     - IX. Удаление , 1

Øq     - IX. Удаление , 1

Øp     - III.2. Modus Tollens, 2, 3

   - I. Введение  , 1, 4

Использование Введения Ø и Удаления Ø .

Докажем

   - Предположение

p q     - IX. Удаление , 1

Øq     - IX. Удаление , 1

[p]    - Предположение

q      - III. Моdus Ðonens, 4, 2

Øq     - 3

F      - VI. Удаление , 5, 6

Øp     - V. Введение Ø 4, 7

   - I. Введение Ø 1, 8

Доказательство от противного.

На использовании правила V. Введение Ø основан часто используемый прием доказательства - доказательство от противного. Мы его уже использовали несколько раз. Его идея состоит в следующем.

Пусть мы хотим доказать общезначимость высказывания Q :

“Треугольник со сторонами 2, 3, 4 - не прямоугольный.”

Предположим, что ØQ - общезначимо, т.е треугольник со сторонами 2, 3, 4 - прямоугольный. Тогда, используя теорему Пифагора, мы можем утверждать, что 4+9=16 , но 4+9 ¹ 16. Отсюда, используя правило VI.1 Удаление Ø , получаем F. Имея F и предположение об общезначимости ØQ, с помощью правила V, получаем общезначимость Ø(ØQ). Откуда, с использованием правила VII из таблицы 5.8., получаем общезначимость Q.

Доказать 

    - Предположение

     - Закон импликации V.1, 1

    - Закон Де Моргана IV.1

Øq       - IX.2. Удаление , 3

      - IX.1. Удаление  , 3

       - IX.1. Удаление  , 5

p        - IX.2. Удаление , 6

q        - III.1. Моdus Рonens, 6, 7

F        - V.1 Удаление Ø , 4, 8

     - V. Введение Ø , 1, 9