Интегрирование некоторых иррациональных выражений

Военная финансово-экономическая  академия (г.Ярославль) 

Кафедра высшей математики 
 
 
 
 
 
 
 

Курсовая  работа 

Тема:   Интегрирование некоторых иррациональных выражений. 
 
 
 
 
 
 
 

Исполнитель:

     Научный руководитель: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Ярославль-2007г.

План  курсовой работы 
 

1.Введение……………………………..……………………………………..…..3

2. Интегралы от иррациональных функций……………………… ………..….4

3. Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций…….10

4. Интегрирование некоторых иррациональных функций с помощью тригонометрических подстановок………………………………………….....14

5. Заключение…………………………………………………………………...17

6.Список используемой литературы……………………………………….….18 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение 
 

             Цель данной курсовой работы  – ознакомиться с интегрированием  иррациональных выражений, рассмотреть интегрирование некоторых классов тригонометрических функций и получить практические навыки в интегрировании иррациональных выражений. Данная курсовая работа может быть использована при углубленном изучении дифференциального исчисления и определенного интеграла. В данной курсовой работе автор приводит часть доказательств и сформулированных предложений. В основном рассматриваются те доказательства, которые помогают лучше усвоить исследуемый материал или же дают алгоритм решения задачи. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Интегралы от иррациональных функций

        Не от всякой иррациональной функции интеграл выражается через элементарные функции. В этом и следующем параграфах мы рассмотрим те иррациональные функции, интегралы от которых с помощью подстановок приводятся к интегралам от рациональных функций и, следовательно, до конца  интегрируются.

        I. Рассмотрим интеграл R(x, x^m/n ,..,, x^r'^s)dx, где R—рациональная функция своих аргументов.

         Пусть k—общий знаменатель дробей m/п.,..., r/s. Сделаем подстановку: 
 

        Тогда каждая дробная степень х выразится через целую степень t и, следовательно, подынтегральная функция преобразуется в рациональную функцию  от  t.

        Пример   1. Требуется вычислить интеграл

 
 
 
 
 

        Решение: Общий знаменатель дробей 1/2,3/4 есть  4;   поэтому   делаем подстановку x=t⁴, dx = 4t³dt; тогда

 
 
 
 
 
 
 
 
 

II. Рассмотрим теперь интеграл вида 

 
 
 

        Этот  интеграл   сводится   к   интегралу   от   рациональной функции с помощью подстановки

          

        где k — общий знаменатель дробей т/п, ... , r/s. Пример 2. Требуется вычислить интеграл

 
 
 
 

Решение. Делаем подстановку   x+4 = t²,   x = t² — 4,   dx = 2t dt;  тогда 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Интегралы вида 

 
 
 
 

Рассмотрим интеграл

 
 
 

        Такой интеграл приводится к   интегралу   от  рациональной  функции нового переменного с помощью следующих подстановок Эйлер; 1. Первая подстановка Эйлера.  Если а > 0, то полагаем:

 
 
 
 

Перед корнем √ а   возьмем  для   определенности   знак   плюс.   Тогда

 
 
 
 

откуда х определяется как рациональная функция от t 

 
 
 

(значит, dx  тоже будет выражаться рационально через t),  следовательно,

 
 
 
 

                                   оказывается рациональной функцией  от t. 

        Так как                                               ,  х и dx выражаются рационально через t, то, следовательно, данный интеграл (1) преобразуется в интеграл от рациональной функции от t.

        Пример 1. Требуется вычислить интеграл

          
 
 

Решение. Так  как а=1 > 0, то полагаем √(х²+с) = -х+t, тогда 

 

Откуда 
 

Следовательно 
 
 
 

Возвращаясь к  исходному интегралу, получаем: 

 
 
 
 
 

2. Вторая подстановка Эйлера.  Если с > 0,  то   полагаем 

 
 

тогда (перед  √ с для определенности берем знак плюс) 

 
 

Отсюда  х определяется как рациональная функция от t: 
 

 
 
 

         Так как dx и                                  тоже выражаются рационально через t, то, подставляя значения х,                                       и dx в интеграл R (х,                                          

                            dx, мы сведем его к интегралу от рациональной функции от t.

        Пример  2. Требуется вычислить интеграл

 
 
 

 

Решение.   Полагаем √(х2+х+1)=хt+1 тогда 

 
 
 
 
 
 
 

Подставляя полученные выражения в исходный интеграл, находим

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

        3. .  Третья подстановка Эйлера.  Пусть   α  и   β — действительные корни трехчлена ах²+bх+с. Полагаем:

 
 
 
 
 
 
 
 
 

Отсюда находим  х как рациональную функцию от t: 

 

         Так как dx и                                         тоже рационально зависят от t, то данный интеграл преобразуется в интеграл от рациональной функции от t.

        Замечание 1. Третья подстановка Эйлера применима не только при а<0, но и при а>0—лишь бы многочлен ах²+bх-+с имел два действительных корня

         Пример   3. Требуется вычислить интеграл

          
 
 

Решение.  Так как x²+3х—4 = (x+4)(x— 1), то полагаем:

 
 
 
 
 
 
 
 

Возвращаясь к  исходному интегралу, получаем: 
 

 
 
 
 
 
 
 

        Замечание 2. Заметим, что для приведения интеграла (1) к интегралу от рациональной функции достаточно первой и третьей подстановок Эйлера. Рассмотрим трехчлен ах² + bx + с. Если b²—4ас>0, то корни трехчлена действительны и, следовательно, применима третья подстановка Эйлера. Если b²— 4ас≤0, то в этом случае

          

следовательно, трехчлен имеет знак, совпадающий со знаком а. Чтобы корень был действительным, нужно, чтобы трехчлен был положительным, а следовательно, должно быть а>0. В этом случае применима первая подстановка.

        Интегрирование  некоторых классов  тригонометрических функций

        До сих пор мы систематически изучали интегралы только от алгебраических функций (рациональных и иррациональных). В настоящем параграфе мы рассмотрим интегралы от некоторых классов неалгебраических, в первую очередь тригонометрических функций. Рассмотрим интеграл вида

 
 
 
 

Покажем, что  этот интеграл с помощью подстановки

 
 
 

всегда  сводится к интегралу от рациональной функции. Выразим sinх и cosx через tgx/2, а следовательно, и через t:

 
 
 
 
 
 
 

Далее 
 
 

         Таким образом, sin x, cosx и dx выразились рационально через t. Так как рациональная функция от рациональных функций есть функция рациональная, то, подставляя полученные выражения в интеграл (1), получим интеграл от рациональной функции

 
 
 

Пример   1. Рассмотрим интеграл 

 
 
 

На основании  написанных выше формул имеем:

 
 
 
 
 

        Рассмотренная подстановка  дает возможность проинтегрировать всякую функцию вида R (cos х, sin х). Поэтому ее иногда называют «универсальной тригонометрической подстановкой». Однако на практике она часто приводит к слишком сложным рациональным функциям. Поэтому наряду с «универсальной» подстановкой бывает полезно знать также другие подстановки, которые в некоторых случаях быстрее приводят к цели.

        1) Если интеграл  имеет вид    R (sin х) cos x dx,   то   подстановка

        sinx = t, cos xdx = dt приводит этот интеграл к виду R(t)dt. 

        2) Если интеграл имеет вид  R (cos х) sin х dx, то он приводится к интегралу от рациональной функции заменой   cosx = t,  sinxdx = - dt.

        3) Если   подынтегральная   функция   зависит   только   от   tgx,   то

замена  tg x = t, x = arctgt, dx = dt/(1+t²)  приводит этот интеграл к интегралу от рациональной функции:

 

        4) Если подынтегральная  функция имеет вид R(sinx;, cos x), но sin х и cos х входят только в четных степенях, то применяется та же подстановка:

 

так как sin² xи cos² x выражаются рационально через tgx:

 
 
 
 

После подстановки  мы получим интеграл от рациональной функции.