Интеграл

    План. 

1. Введение…………………………………………………………………..с.2
2. Интегрирование…………………………………………………………..с.3
3. Общий принцип интегрирования иррациональных функций…………с.4
4. Нахождение интегралов вида  ……………………...с.5
5. Нахождение интегралов вида …………с.6
6. Нахождение интегралов вида …………..с.7
7. Тригонометрические подстановки для интегралов вида ……………………………………………………с.8-9
8. «Неберущиеся» интегралы……………………………………………..с.10
9. Вывод…………………………………………………………………….с.11
10. Список литературы……………………………………………………...с.12

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Введение. 

    В школьном курсе алгебры рассматриваются  различные виды уравнений – линейные, квадратные, биквадратные, кубические, рациональные, с параметрами, иррациональные и другие. Данный реферат посвящен интегрированию иррациональных уравнений, методам их интегрирования. Кроме того, в работе введены понятия интеграла, интегрирования, иррациональных функций, а также приведены примеры задач, основанных на интегрировании иррациональных уравнений. В данной работе содержится небольшая историческая справка, посвященная введению иррациональных чисел.

    Термин  «рациональное» (число) происходит от латиноамериканского слова ratio –  отношение, которое является переводом  греческого слова “логос”.      Вотличии от рациональных чисел, числа, выражающие отношение несоизмеримых величин, были названы еще в древности иррациональными, т.е. нерациональными (по-гречески “алогос”) правда, первоначально термины “рациональный” и “иррациональный”  относились не к числам, а к соизмеримым и соответственно не соизмеримым величинам, которые пифагорейцы называли выразимыми и невыразимыми, Теодор Киренский же симметричными и ассимметричными. В V-VI вв. римские авторы Капелла и Кассиодор переводили эти термины на латынь словами rationalis  и irrationalis.

    Интегрирование иррациональных выражений зачастую вызывает некоторые сложности, поскольку не от всякой иррациональной функции интеграл выражается через  элементарные функции. Далее будут рассмотрены иррациональные функции, интегралы от которых выражается через рациональные функции. 
 
 

    Интегрирование. 

    Интегрирование - операция отыскания неопределенного интеграла или решения дифференциального уравнения. Интегрировать значит находить  интеграл данной функции.

    Этот  процесс обычно используется при нахождении таких величин как площадь, объём, масса, смещение и т. д., когда задана скорость или распределение изменений этой величины по отношению к некоторой другой величине (положение, время и т. д.). 
Существует несколько различных определений операции интегрирования, отличающиеся в технических деталях. Однако все они совместимы, то есть любые два способа интегрирования, если их можно применить к данной функции, дадут один и тот же результат. Интегрирование — операция, обратная к дифференцированию.

    Знак  интеграла используется для обозначения интеграла в математике. Впервые он был использован немецким математиком и основателем дифференциального и интегрального исчислений Лейбницем в конце XVII века.

    Символ  ∫ образовался из буквы S (от лат. summa — сумма). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Общий принцип интегрирования иррациональных функций. 

    Иррациональными называются уравнения, в которых  переменная содержится под знаком корня  или под знаком операции возведения в дробную степень.

    Общий принцип интегрирования иррациональных выражений заключается в замене переменной, позволяющей избавиться от корней в подынтегральном выражении. Для некоторых классов функций эта цель достигается с помощью стандартных замен.

• Интегралы вида , где - рациональная функция своих аргументов, вычисляются заменой .
• Интегралы вида  вычисляются заменой или .
• Интегралы вида  вычисляются заменой  или .
• Интегралы вида вычисляются заменой     или .

 

   Так как  не от всякой иррациональной функции интеграл выражается через элементарные функции, рассмотрим те иррациональные функции, интегралы от которых с помощью подстановок приводятся к интегралам от рациональных  функций и, следовательно, до конца интегрируются. 
 

   Нахождение  интегралов вида

 

   Рассмотрим  интеграл , где R-рациональная функция своих аргументов.

   Пусть R-общий знаменатель дробей m/n,…r/s.Сделаем  подстановку  .Тогда каждая дробная степень х выразится через целую степень t и, следовательно, подынтегральная функция преобразуется в рациональную функцию от t.

   Пример 1. Требуется вычислить интеграл

               .

   Решение. Общий знаменатель дробей 1/2,3/4,  есть 4; поэтому делаем подстановку  ; тогда

   

   = . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Нахождение интегралов вида

 

    Рассмотрим  интеграл

     — целые числа. Замена вида

      где к — общий знаменатель или , приводит к интегралу от рациональной функции

    Пример: 1)

         

      
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Нахождение  интегралов вида

 

   Рассмотрим  теперь интеграл вида

   

   Этот  интеграл сводится к интегралу от рациональной функции с помощью  подстановки

   

   где - общий знаменатель дробей        

2) Требуется вычислить интеграл

                                 .

   Решение. Делаем подстановку  тогда

   

     
 
 
 
 
 
 

Тригонометрические  подстановки для  интегралов вида

. 

    Здесь мы рассмотрим тригонометрические подстановки  для вычисления таких интегралов, которые сводят подынтегральную функцию к функции, рационально зависящей от и . После выделения полного квадрата в трёхчлене (и соответствующей линейной замены переменной) интеграл сводится, в зависимости от знаков и дискриминанта трёхчлена, к интегралу одного из следующих трёх видов: , , .

      Далее, что было рассмотрено до этого:

     рационализируется подстановкой x = a sin t (или x = a cos t).

     рационализируется подстановкой (или , или ).

     рационализируется подстановкой x = a tg t (или x = a ctg t, или x = a sh t).

     
Примеры:

     1. . Интеграл вида , из возможных подстановок наиболее удобной оказывается x = ctg t . , поэтому . , поэтому .

3).  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

   «Неберущиеся» интегралы. 

До этого были рассмотрены классы интегрируемых функций. Но можно привести многочисленные примеры интегралов от элементарных функций, которые существуют, но не выражаются через элементарные функции. Например,

     — интеграл Пуассона,

     — интегральный синус,

     — интегральный косинус,

     — интегральный логарифм,

    интегралы Френеля, 

    и интеграл от иррационального выражения

    

    Для их решения можно воспользоваться, например, разложением подынтегральной  функции в ряд. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Вывод. 

    Итак, в реферате были рассмотрены интегралы вида:    

 

а также различные методы их нахождения.

    Было  выяснено, что при интегрировании иррациональностей вида удобнее пользоваться тригонометрической подстановкой, в остальных случаях подстановкой вида x = t ⁿ , или

    Таким образом, с помощью подстановок и замен переменной легко избавиться от корней в подынтегральном выражении и найти интеграл уже от рациональной функции, что не составляет больших затруднений. А для решения «неберущихся» интегралов от иррациональных функций необходимо разложить данную подынтегральную функцию в ряд.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Список  литературы.

1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т.1:учебное пособие для вузов/ Н.С.Пискунов.-13-е издание.-М.:Наука, 1985г.- 429с.
2. Зарубин В.С., Иванова Е.Е., Кувыркин Г.Н. Интегральное исчисление Функции одной переменной/ В.С.Зарубин, Е.Е.Иванова, Г.Н.Кувыркин.-3-е издание.-М.: Просвещение, 1999 г.-100с.
3. Математический анализ, часть 1./ П.П.Коровкин. – М.: Просвещение, 1972 г.-345с.
4. Фихтенгольц Г.М.Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2, 3./Фихтенгольц Г.М.– М.: Наука, 1972 г.-560с.
5. КолмогоровА.Н.Элементы теории функций и функционального анализа./ А.Н.Колмогоров; под ред. С.В.Фомина. — 6-е издание.- М.:Наука, 1968 г.-789с.
6. СмирновВ.И.Курс высшей математики. Т. 1, 2, 5./ - 6-е издание.- М.:Просвещение, 1961—1966 г.-700с.