Гиперболические функции

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Введение

  Гиперболические  функции – это класс, являющийся одним  из важней классов элементарных функций (который включает в себя также другие классы функций, таких как степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрическая и другие).

Гиперболические функции  во многом аналогичны обыкновенным тригонометрическим функциям cosx и sinx, и тесно связаны с гиперболой, имеющие к ней такое же отношение, какое имеют cosx и sinx к окружности.

Цель - подробно и доступно изложить материал, выявить аналогии гиперболических и тригонометрических функций.

Задачи - рассмотреть понятия гиперболических функций, их свойства, определить через уравнение гиперболы, а также исследование функций при помощи интеграла, проследить связь с показательной и тригонометрическими функциями.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Основная часть

1. Определение гиперболических функций 

Гиперболическими (по Виленкин Н.Я., Куницкая Е.С. Математический анализ и по Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления.)  называют функции имеющие вид:

   (гиперболический косинус),

 (гиперболический синус),

   (гиперболический тангенс),

   (гиперболический котангенс), 

Рис. 1	Рис. 2
Рис. 3	Рис. 4

 

 
            Областью определения функций  shx , chx , thx является вся числовая  ось; функция y=cthx не определена  в точке х=0.

 

2. Аналогия с тригонометрическими функциями

(Натансон И.П. Краткий  курс высшей математики)

 

Каждая гиперболическая  функция имеет аналог с тригонометрическими функциями. Приведем ряд таких аналогий, где в первом столбце гиперболические функции:

ch2 x – sh2 x = 1	,
sh (x + y) = sh x ch y + ch x sh y,	,
ch (x + y) = ch x ch y + sh x sh y,	,
ch(-x)=chx,	cos(-x)=cosx,
sh(-x)=-shx,	sin(-x)=-sinx,
ch2x=ch2 x + sh2 x,	,
sh2x=2shxchx,	,
ch0=1,sh0=0,	9)cos0=1,sin0=0,
ex= sh x + ch x ,	exi=cos x +  sin x,
,	,
,	,
	14)

 

а во втором тригонометрические:

 

Проверка любой формулы  из первого столбца не представляет ни каких трудностей. Например, чтобы  доказать формулу ch (x + y) = ch x ch y + sh x sh y,

пишем на основании

  _,

_.

3. Свойства гиперболических функций:

Гиперболические функции  обладают рядом свойств, аналогичных  свойствам тригонометрических функций (Смотреть пункт «аналогия с тригонометрическими функциями»).

1. sh x + ch x = e^x,
2. ch² x – sh² x = 1
3. ch 2x = 1 + 2 sh² x
4. sh 2x = 2 sh x ch x
5. sh (x + y) = sh x ch y + ch x sh y,
6. ch (x + y) = ch x ch y + sh x sh y.

 

Например:

Значит,  

Далее,

,

.

Из

,

получаем:

.

4.  Связь гиперболических  функций с показательной и тригонометрическими функциями

Определим гиперболические  функции  и как фундаментальные решения уравнения

, 

которые определяются начальными условиями

;   и, соответственно,   ; . Рекуррентной формулой для уравнения   будет

,

а в таком случае, находим,   что  гиперболические функции  определяются рядами

,

,

радиус сходимости которых .

Дифференцируя эти формулы, сразу же находим

 

Воспользовавшись рядами

и взяв полусумму и полуразность этих выражений, получаем формулы

 

  

устанавливающие связь между гиперболическими функциями и функцией экспоненциальной. При действительных значениях аргумента z = х формулы тождественно совпадают с формулами и .Далее непосредственно из формул

  , 

,

  

(вполне аналогично   тому,   как   это  было сделано  для круговых функций) вытекает основное тождество

свойство четности и нечетности

  

и периодичность с чисто мнимым периодом

 

   

Заменяя в 

  

z на iz и воспользовавшись формулами  Эйлера 

,

,

устанавливаем связь между тригонометрическими  и гиперболическими функциями:

    

      

Формулы

 

 позволяют все результаты, установленные для тригонометрических функций, легко перенести на случай гиперболических функций.

Например,    заменяя  в формулах ,

  ,

на  и на , имеем

Воспользовавшись теперь  формулами

 

, получаем

Сократив первое равенство  на i и учтя, что  , получаем теоремы сложения для функций shz и chz:

В качестве упражнения читатель легко может вывести формулы  двойного и половинного аргумента для функций и .

Из   формул

  , также следует, что

 при  , где

и

при ,где

т. е. все нули функций  и расположены на мнимой оси, в том числе и точка z=0, которая также является нулем функции .

Определим действительную и мнимую части тригонометрических и гиперболических функций.

Воспользовавшись теоремами сложения и формулами

  , имеем

Таким образом, функции sinz, cosz, shz, chz от комплексного аргумента

z=х+iy выражаются комплексными  числами, которые определяются при помощи тригонометрических и гиперболических функций действительного аргумента.

Пример.   Вычислить 

 и  .

По таблицам I и II приложения находим

sin1,3 = 0,963558; sh0,5 = 0,521095;

cos1,3 = 0,267499; ch0,5 = 1,127626,

и по формулам (Х.155) вычисляем

sin(1,3+ 0,5i) = 1,086533 + 0,139392i;

 соs(1,3 + 0,5i) = 0,301639 — 0,502105i.

Можно эти же вычисления проводить и непосредственно  с комплексными числами при помощи рядов, которыми определяются функции sinz, cosz, однако это приведет к значительно большему объему вычислений.

Кроме функций shz и chz еще получили распространение   функции thz —  гиперболический тангенс и cth —  гиперболический котангенс, которые  определяются формулами

Графики гиперболических  функций для действительного  аргумента z = х были рассмотрены на рис.5.

Отметим еще, что в  теории функций комплексного переменного  тригонометрические и гиперболические  функции, по сути, теряют право на самостоятельное существование, так как они являются весьма простыми рациональными функциями от показательной функции .

Их самостоятельное существование  обусловлено тем, что исторически  эти функции возникли и изучались  вначале только для действительных значений аргумента, а в области действительных аргументов между ними нет никакой связи.

 

5. Определение через уравнение гиперболы.

Термин “гиперболический”  означает, что равенство  ,  задают гиперболу, (т.к.  - равнобочная гипербола). Подобно тому как равенство ,  задают окружность ( ).

Рассмотрим уравнение гиперболы:

Его можно записать в  параметрическом виде, используя гиперболические функции (этим и объясняется их название).

Обозначим y= b·sht , тогда . Откуда x=± a·cht .

 
            Таким образом мы приходим к следующим параметрическим уравнениям гиперболы : 

 

x= ± a ·cht ,

 
у= в ·sht , – < t < .

Рис. 5.

Знак ''+'' в формуле x= ± a ·cht ,у= в ·sht , – < t < соответствует правой ветви гиперболы, а знак ''-'' - левой (см. рис. 5). Вершинам гиперболы А(– а ; 0) и В( а ; 0) соответствует значение параметра t=0.

Для сравнения можно  привести параметрические уравнения  эллипса, использующие тригонометрические функции :

 
x=а·cost ,

 
y=в·sint , 0 t 2p .

Очевидно, что функция y=chx является четной и принимает  только положительные значения. Функция y=shx – нечетная, т.к. :

.

Функции y=thx и y=cthx являются нечетными как частные четной и нечетной функции. Отметим, что  в отличие от тригонометрических, гиперболические функции не являются периодическими.

Исследуем поведение  функции y= cthx в окрестности точки  разрыва х=0: 
 
            Таким образом ось Оу является вертикальной асимптотой графика функции y=cthx . Определим наклонные (горизонтальные) асимптоты :

 
            Следовательно, прямая у=1 является правой горизонтальной асимптотой графика функции y=cthx . В силу нечетности данной функции ее левой горизонтальной асимптотой является прямая у= –1. Нетрудно показать, что эти прямые одновременно являются асимптотами и для функции y=thx. Функции shx и chx асимптот не имеют.

 
            Найдем производные основных гиперболических функций:

2) (chx)'=shx (показывается  аналогично).

4)

Здесь так же прослеживается определенная аналогия с тригонометрическими  функциями.

Нетрудно вычислить вторые производные основных гиперболических функций:

1)

2)

3)

4)

6. Исследование функций при помощи интеграла

(Фильчаков П.Ф. Справочник по высшей математике)

Заметим попутно, что слово «синус» произошло  от слова «хорда». Тригонометрия возникла в I—II веках н. э. в Александрии, в работах знаменитых александрийских астрономов, наиболее крупным из которых был Клавдий Птолемей — автор известного астрономического тракта «Альмагест» и ряда других.

В V веке н. э. александрийская научная школа была уничтожена религиозными фанатиками, но один из ученых этой школы по имени Паулос бежал в Индию, где написал о достижениях александрийской школы на санскрите — научном языке индусов. В этой книге, получившей название «Паулиса — сиддханта», т. е. «Учение Паулисы» (как называли индусы Паулоса), хорда называлась санскритским словом «джива», обозначавшим тетиву лука, а дуга — тем же словом, что и лук.

Рис. 6.

Позднейшие индусские  астрономы и математики, крупнейшим из которых был живший в VII веке Брахмагупта, заменили хорды полухордами, т. е. линиями синуса. Эти линии они сначала называли «ард-джива» — полутетива, а затем для краткости стали называть их просто «джива». При переводе индусских книг на арабский язык (в котором отсутствует буква «в» и гласные не пишутся) была допущена неточность, и санскритское слово «джива» написали по арабски как «джайб», что означало впадину, пазуху. Это же искаженное слово перевели затем на латинский язык словом «sinus», также означающим впадину, пазуху, бухту, залив, изгиб, кривизну. Слово «косинус» является сокращением от complementi sinus — синус дополнения, «тангенс» происходит от латинского tangens— касающийся, «котангенс» — complementi tangens.

Рассмотрим аналогичные  функции для равнобочной гиперболы  (ограничиваясь только ее правой ветвью) и обозначим через х площадь гиперболического сектора СОВ (см. рис. 6). В результате придем к гиперболическим функциям, для обозначения которых употребляются первые буквы их латинских названий: shx=ВС — гиперболический синус (sinus hyperbolicus), chх = 0В — гиперболический косинус (cosinus hyperbolicus).

Вычислим площадь х гиперболического сектора СОD. Для площади, которую вырезает гипербола (обозначим ее через S1), имеем

 

.

 Далее, (ОВ)² - (СВ)² =1, так что

и тогда 

 Но есть площадь треугольника СОD. Следовательно,

откуда

или

Решив полученное уравнение относительно ВС, имеем

Но по определению  ВС = shх, следовательно,

Аналогичным путем доказываем, что

Дифференцируя эти формулы, сразу же находим, что

    ,

Далее, из форму и непосредственно вытекает основное тождество для гиперболических функций

Действительно, заменяя chx и shx их значениями, имеем

Кроме функций shx и chx получили распространение также функции thx— гиперболический тангенс и cthx — гиперболический котангенс, которые определяются формулами

Дифференцируя  эти  равенства и учитывая , , , ,

Получаем

Рис.7.

Отсюда

На рис. 7 приведены графики гиперболических функций, причем для сравнения даны пунктирные кривые и , с помощью которых можно тотчас же построить кривые и .

Таким образом, гиперболические  функции имеют вполне определенные значения для всех значений х, кроме при х = 0, где эта функция обращается в бесконечность.

Функция у = shх принимает всевозможные значения ; — значения, не меньшие единицы ( ); значения функции у = thх не превышают по модулю единицы (—1<thx<+1); значения cthх не меньше 1 при x> 0 и не больше —1 при х<0. Прямые

у = +1 и у = —1 служат асимптотами для линий у = thх, у = cthх.

Далее, функция у = chх является четной, так как 

 а_: функции у = shх, у=thх, у = cthх—нечетные,  поскольку  при замене х на —х они меняют свой знак:

   

Гиперболические функции  связаны между собой соотношениями:      

и другими, аналогичными соотношениям для тригонометрических функций. Так

 
Все они вытекают из формул , ,

Обратными гиперболическими функциями («ареа-функциями») называются величины, определяемые равенствами