Гиперболические функции и их производные

26)Гиперболические  функции и их  производные

Гиперболи́ческие фу́нкции — семейство элементарных функций, выражающихся через экспоненту и тесно связанных с тригонометрическими функциями.

В математике, механике, электротехнике и некоторых других дисциплинах встречаются гиперболические  функции, определяемые следующими формулами:

 — гиперболический синус;

 — гиперболический косинус («цепная  линия»);

 — гиперболический тангенс и  котангенс

Функции sh x , ch x , th x определены и непрерывны на множестве R ,а функция cth( x)определена и непрерывна на множестве R с выколотой точкой x = 0 . Гиперболический косинус является чётной функцией, а гиперболический синус, тангенс и котангенс являются нечётными функциями:

Ch(-x) = ch(x)

Sh(-x) = -sh(x)

Th(-x)= -th(x)

Cth(-x) = -cth(x)

График гиперболического косинуса называется цепной линией. Цепная линия является линией провисания

тяжёлой нити, подвешенной  в двух точках

Между гиперболическими функциями существуют следующие  основные зависимости:

ch²x-sh²x=1;

sh(x ± у) = sh х • ch у ± ch x • sh у;

ch(x ± у) = ch x • ch у ± sh x • sh у;

sh 2x = 2 sh x • ch x;        ch 2x = ch² x + sh² x.

Все эти формулы  вытекают из определения гиперболических  функций.

На рисунках (132-135) показаны графики гиперболических  функций.

Например,

Геометрическая  интерпретация гиперболических  функций (см. рис. 137) аналогична интерпретации тригонометрических функций (см. рис. 136).

Производные гиперболических функций имеют вид