Формула Бернулли

2. Формула Бернулли 
Пусть произведено два испытания(n=2). В результате возможно наступление одного из следующих событий:  
 
Соответствующие вероятности данных событий такие: . 
 
 или  - наступление события только в одном испытании. 
 
 - вероятность наступления события два раза. 
 
 - вероятность наступления события только один раз. 
 
 - вероятность наступления события нуль раз. 
 
Пусть теперь n=3. Тогда возможно наступление одного из следующих вариантов событий: 
. 
Соответствующие вероятности равны . 
 
Очевидно, что полученные результаты при n=2 и n=3 являются элементами 
и . 
Теперь допустим, произведено n испытаний. Событие А может наступить n раз, 0 раз, n-1 раз и т.д. Напишем событие, состоящее в наступлении события А m раз 
 
 
 
 
 
Необходимо найти число испытаний, в которых событие А наступит m раз. Для этого надо найти число комбинаций из n элементов, в которых А повторяется m раз, а  n-m раз. 
 
 - вероятность наступления события А. 
(1) 
Последняя формула называется формулой Бернулли и представляет собой общий член разложения : 
. 
Из формулы (1) видно, что ее удобно использовать, когда число испытаний не слишком велико. 
 
Примеры 
 
№1. Бросается монета 7 раз. Найти вероятность наступления орла три раза. 
 
Решение. 
n=7, m=3 
 
 
 
 
 
. 
 
 
№2. Каждый день акции корпорации АВС поднимаются в цене или падают в цене на один пункт с вероятностями соответственно 0,75 и 0,25. Найти вероятность того, что акции после шести дней вернутся к своей первоначальной цене. Принять условие, что изменения цены акции вверх и вниз – независимые события. 
 
Решение. Для того, чтобы акции вернулись за 6 дней к своей первоначальной цене, нужно, чтобы за это время они 3 раза поднялись в цене и три раза опустились в цене. Искомая вероятность рассчитывается по формуле Бернулли 
 
№3. Моторы многомоторного самолёта выходят из строя во время полёта независимо один от другого с вероятностью р. Многомоторный самолёт продолжает лететь, если работает не менее половины его моторов. При каких значениях р двухмоторный самолёт надёжней четырёхмоторного самолёта? 
 
Решение. Двухмоторный самолёт терпит аварию, если отказывают оба его мотора. Это происходит с вероятностью р². Четырёхмоторный самолёт терпит аварию, если выходят из строя все 4 мотора а это происходит с вероятностью р⁴, либо выходят из строя три мотора из 4-х. Вероятность последнего события вычисляется по формуле Бернулли: . Чтобы двухмоторный самолёт был надёжнее, чем четырёхмоторный, нужно, чтобы выполнялось неравенство 
р²<р⁴+4p³(1–p) 
Это неравенство сводится к неравенству (3р–1)(р–1)<0. Второй сомножитель в левой части этого неравенства всегда отрицателен (по условию задачи). Следовательно, величина 3р–1 должна быть положительной, откуда следует, что должно выполняться условие р>1/3. Следует отметить, что если бы вероятность выхода из строя мотора самолёта превышала одну треть, сама идея использования авиации для пассажирских перевозок была бы очень сомнительной. 
 
№4. Бригада из десяти человек идёт обедать. Имеются две одинаковые столовые, и каждый член бригады независимо один от другого идёт обедать в любую из этих столовых. Если в одну из столовых случайно придёт больше посетителей, чем в ней имеется мест, то возникает очередь. Какое наименьшее число мест должно быть в каждой из столовых, чтобы вероятность возникновения очереди была меньше 0,15? 
 
Решение. Решение задачи придётся искать перебором возможных вариантов. Сначала заметим, что если в каждой столовой по 10 мест, то возникновение очереди невозможно. Если в каждой столовой по 9 мест, то очередь возникнет только в случае, если все 10 посетителей попадут в одну столовую. Из условия задачи следует, что каждый член бригады выбирает данную столовую с вероятностью 1/2. Значит, все соберутся в одной столовой с вероятностью 2(1/2)¹⁰=1/512. Это число много меньше, чем 0,15, и следует провести расчёт для восьмиместных столовых. Если в каждой столовой по 8 мест, то очередь возникнет, если все члены бригады придут в одну столовую, вероятность этого события уже вычислена, или 9 человек пойдут в одну столовую, а 1 человек выберет другую столовую. Вероятность этого события рассчитывается с помощью формулы Бернулли . Таким образом, если в столовых по 8 мест, то очередь возникает с вероятностью 11/512, что пока ещё меньше, чем 0,15. Пусть теперь в каждой из столовых по 7 мест. Кроме двух рассмотренных вариантов, в данном случае очередь возникнет, если в одну из столовых придёт 8 человек, а в другую 2 человека. Это может произойти с вероятностью . Значит, в этом случае очередь возникает с вероятностью 56/512=0,109375<0,15. Действуя аналогичным образом, вычисляем, что если в каждой столовой 6 мест, то очередь возникает с вероятностью 56/512+120/512=176/512=0,34375. Отсюда получаем, что наименьшее число мест в каждой столовой должно равняться семи. 
 
№5. В урне 20 белых и 10 черных шаров. Вынули 4 шара, причем каждый вынутый шар возвращают в урну перед извлечением следующего и шары в урне перемешивают. Найти вероятность того, что из четырех вынутых шаров окажется 2 белых. 
 
Решение. Событие А – достали белый шар. Тогда вероятности 
, . 
По формуле Бернулли требуемая вероятность равна 
. 
 
№6. Определить вероятность того, что в семье, имеющей 5 детей, будет не больше трех девочек. Вероятности рождения мальчика и девочки предполагаются одинаковыми. 
 
Решение. Вероятность рождения девочки 
, тогда . 
Найдем вероятности того, что в семье нет девочек, родилась одна, две или три девочки: 
 
 
, , 
 
, . 
Следовательно, искомая вероятность 
. 
 
№7. Среди деталей, обрабатываемых рабочим, бывает в среднем 4% нестандартных. Найти вероятность того, что среди взятых на испытание 30 деталей две будут нестандартными. 
 
Решение. Здесь опыт заключается в проверке каждой из 30 деталей на качество. Событие А - "появление нестандартной детали", его вероятность , тогда . Отсюда по формуле Бернулли находим 
. 
 
№8. При каждом отдельном выстреле из орудия вероятность поражения цели равна 0,9. Найти вероятность того, что из 20 выстрелов число удачных будет не менее 16 и не более 19. 
 
Решение. Вычисляем по формуле Бернулли: 
 
 
№9. Независимые испытания продолжаются до тех пор, пока событие А не произойдет k раз. Найти вероятность того, что потребуется n испытаний (n і k), если в каждом из них . 
 
Решение. Событие В – ровно n испытаний до k-го появления события А – есть произведение двух следующий событий: 
 
D – в n-ом испытании А произошло; 
 
С – в первых (n 
–1)-ом испытаниях А появилось (к-1) раз. 
 
Теорема умножения и формула Бернулли дают требуемую вероятность: 
. 
№10. Из n аккумуляторов за год хранения k выходит из строя. Наудачу выбирают m аккумуляторов. Определить вероятность того, что среди них l исправных. n = 100, k = 7, m = 5, l = 3. 
 
Решение: Имеем схему Бернулли с параметрами p=7/100=0,07 (вероятность того, что аккумулятор выйдет из строя), n = 5 (число испытаний), k = 5-3 =2 (число "успехов", неисправных аккумуляторов). Будем использовать формулу Бернулли (вероятность того, что в n испытаниях событие произойдет k раз). 
 
Получаем 
 
 
№11. Устройство, состоящее из пяти независимо работающих элементов, включается за время Т. Вероятность отказа каждого из них за это время равна 0,2. Найти вероятность того, что откажут:  а) три элемента; б) не менее четырех элементов; в) хотя бы один элемент. 
 
Решение: Имеем схему Бернулли с параметрами p = 0,2 (вероятность того, что элемент откажет), n = 5 (число испытаний, то есть число элементов), k (число "успехов", отказавших элементов). Будем использовать формулу Бернулли (вероятность того, что для n элементов отказ произойдет в k элементах): .  Получаем а)  - вероятность того, что откажут ровно три элемента из пяти.  б)  - вероятность того, что откажут не менее четырех элементов из пяти (то есть или четыре, или пять). в)  - вероятность того, что откажет хотя бы один элемент (нашли через вероятность противоположного события - ни один элемент не откажет).  
 
№12. Сколько следует сыграть партий в шахматы с вероятностью победы в одной партии, равной 1/3, чтобы наивероятнейшее число побед было равно 5? 
 
Решение: Наивероятнейшее число побед k определяется из формулы    Здесь p =1/3 (вероятность победы), q = 2/3 (вероятность проигрыша), n - неизвестное число партий. Подставляя данные значения, получаем: 
 
Получаем, что n = 15, 16 или 17. 
3. Локальная формула Муавра-Лапласа 
 
Легко видеть, что пользоваться формулой Бернулли при больших значениях n достаточно трудно, так как формула требует выполнения действий над громадными числами. Естественно, возникает вопрос: нельзя ли вычислить интересующую нас вероятность, не прибегая к формуле Бернулли. 
 
В 1730 г. другой метод решения при p=1/2 нашел Муавр; в 1783 г. Лаплас обобщил формулу Муавра для произвольного p, отличного от 0 и 1. 
 
Эта формула применяется при неограниченном возрастании числа испытаний, когда вероятность наступления события не слишком близка к нулю или единице. Поэтому теорему, о которой идет речь, называют теоремой Муавра-Лапласа.