Философские проблемы в математике

Содержание

1.    Введение       3

2.    Экскурс в историю.... 5

1.1.          Греческая философия и ее математика          5

1.2.          Возрождение. Философские предпосылки обоснования исчисления бесконечно малых..... 8

1.3.          Неевклидовы геометрии и развитие философии математики в XIX в.......                  9

1.4.          Математика в XX в. 12

3.       Философия и математика 13

4.       Заключение   19

5.    Список литературы 20 

1.    Введение

Роль математики в современной науке постоянно  возрастает. Это связано с тем, что, во-первых, без математического  описания целого ряда явлений действительности трудно надеяться на их более глубокое понимание и освоение, а, во-вторых, развитие физики, лингвистики, технических  и некоторых других наук предполагает широкое использование математического  аппарата. Более того, без разработки и использования последнего было бы, например, невозможно ни освоение космоса, ни создание электронно-вычислительных машин, нашедших применение в самых  различных областях человеческой деятельности.

Есть и другая сторона данного вопроса. Математика – чрезвычайно своеобразная наука, философский анализ целого ряда положений  которой весьма сложен. И хотя особенности  математического знания были предметом  пристального внимания выдающихся философов  и математиков всех времен и народов, многие методологические проблемы математики остаются недостаточно разработанными, что в свою очередь тормозит развитие как «чистой» и прикладной математики, так и других отраслей науки, в  том числе философии.

Философия в  сфере математики способствует выработке  адекватного понимания математического  знания, решению естественно возникающих  вопросов о предмете и методах  математики, специфике ее понятий. Действительно  философское понимание математики может предстать только как сумма  выводов, сумма определений, полученных на основе анализа различных ее сторон. Правильное понимание математики не может быть получено умозрительно или  путем простого сравнения случаев, которые подходят под известное  интуитивное представление, и подыскания затем некоторых объединяющих их признаков. Такой метод необходим  для предварительного понимания любого предмета, но сам по себе он недостаточен.

Математики много  раз меняли представление о своей науке и делали это каждой раз под давлением определенных фактов, которые заставляли их отказаться от устоявшихся привычных воззрений.  Другими словами, современное понимание математики не может быть сформулировано как простое собрание имеющихся интуитивных представлений об этой науке, не может быть взято непосредственно из знакомства с теми или другими математическими теориями, то есть только на основе здравого смысла математика. Оно требует исследования истории математики, необходимо прибегнуть к исследованиям ее структуры, функции, отношения к другим наукам.

2.    Экскурс в историю

1.1.  Греческая философия и ее математика

Первой философской  теорией математики был пифагореизм, который рассматривал математическое знание как необходимую основу всякого  другого знания и как наиболее истинную ее часть. Как философское  течение пифагореизм выходит  за рамки собственно философии математики, но в центре его тем не менее  лежит определенное истолкование сути математического знания.

Истоки математики уходят в глубокую древность, к Египту и Вавилону. Большинство историков  науки относят, однако, появление  математики как теоретической дисциплины к более бозднему периоду, а именно к греческому периоду ее развития, так как ни в египетской, ни в  вавилонской математике, несмотря на наличие там довольно сложных  и точных результатов, не найлено  какго-либо следа собственно математического, дедуктивного рассуждения, то есть вывода одних формул и правил на основе других или иначе – математического  доказательства в обычном смысле этого слова.

Громадный сдвиг, осуществленный в греческой математике, заключается в идее доказательства или дедуктивного вывода. Доказательство первых геометрических теорем приписывается  выдающемуся греческому философу Фалесу из Милета, который жио между 625 – 547 гг. до н.э. Если верно, что дедуктивный  метод в математику был внесен Фалесом, то надо сказать, что математика в Греции, начиная с этого момента, развивалась чрезвычайно быстрыми темпами, и прежде всего в плане  логической систематизации. В результате математика оформилась как особая наука, она нашла свой специфический  метод – метод дедуктивного доказательства, который определяет ее развитие до настоящего времени.

Появление математики как систематической науки оказало  в свою очередь громадное влияние  на философское мышление, которое  оказалось  в определенном смысле подчиненном математике. Это и естественно. Познание того времени было несколько ограниченным мифологическим и антропоморфным объяснением природы. На фоне разного рода неустойчивых представлений, которые так же трудно доказать, как и опровергнуть, где реальное смешалось с фантастическим, математика появилась как знание совершенно особой природы, достоверность которого не вызывает никакого сомнения, посылки которого ясны, а выводы совершенно непреложны.

Неудивительно, что в математике греки увидели  не просто практически полежное средство, но, прежде всего, выражение глубинной  сущности мира, нечто связанное с  истинной и неизменной природой вещей. Они космологизировали и мистифицировали  математику, сделав ее исходным пунктом  в своих подходах к описанию действительности. Эта мистификация математики нашла  свое выражение в философском  учении Пифагора и его последователей. Основной тезис пифагореизма состоит  в том, что «все есть число». Смысл  этого утверждения не сводится к  тому естественному истолкованию, под  которым подписался бы и современный  ученый, что всюду могут быть обнаружены количественные связи и что всякая закономерность может быть выражена посредством неких математических соотношений. Греческая философия  того времени ориентировалась на отыскание первоосновы мира, начала, из которого можно было бы объяснить  все происходящее.  Для пифагорейцев именно числа играли роль начала, роль исходных сущностей, определяющих некоторым образом видимые явления и процессы. Чувственно воспринимаемые вещи стали истолковываться в своей структуре лишь как подражание числам, свойства их стали рассматриваться в соответствии со свойствами того или иного числа или числового соотношения, как проявление числовой гармонии.

Греки заметили, что арифметические действия обладают особой очевидностью, безусловной необходимостью, принудительной для разума, которой  не обладают никакие утверждения  о реальных событиях и фактах. Это  обстоятельство было истолковано как  проявление особого отношения чисел  к истине. Философия превратилась у пифагорейцев в мистику чисел  и геометрических фигур, убеждение  в истинности тиго или иного утверждения  о мире достигалось сведением  его к числовой гармонии.

Что касается природы  самой математической закономерности, истоков ее безусловной истинности, то ранние пифагорейцы скорее всего  не задумывались над этим вопросом. У Платона, однако, мы находим уже  некоторую теорию на этот счет. Математические истины для Платона врождены, они  представляют собой впечатления  об истине самой по себ, которые душа получила, пребывая в более совершенном  мире, мире идей. Математическое познание есть поэтому просто припоминание, оно требует не опыта, не наблюдения природы, а лишь видения разумом.

Наряду с пифпгорейской  философией, существовала другая, более  реалистическая (с современной точки  зрения) философия математики, идущая от атомизма Левкиппа и Демокрита. Известно, что Демокрит отрицал возможность  геометричесикх построений в пустоте: геометрические фигуры были для него не умозрительными сущностями, а прежде всего материальными телами, состоящими из атомов.

Математический  атомизм появился скорее как частная  эвристическая идея в геометрии, чем как особый взгляд на природу  математики в целом. Однако он неяво  содержал в себе определенную антитезу пифагореизму. Если для пифагорейцев математические объекты (числа) составляли основу мира в онтологическом смысле и основу его понимания, то в атомистической эвристике математические закономерности выступают уже как вторичные  по отношению к атомам как первосущностям. Физическое здесь логически предшествует математическому и определяет свойства математических объектов. Пифагорейцы были правы, возражая против превращения математики в физику, настаивая на чистоте математического метода, а также и на идеализации бесконечной делтмости геометрических величин. Система евклидовской математики не могла быть построена без такой идеализации. Но математический атомизм тем не менее содержал в зародыше будущую, более эмпиристскую философию математики, которая неизбежно должна была выйти на сцену в связи с ростом влияния естественных наук.

1.2.  Возрождение. Философские предпосылки обоснования исчисления бесконечно малых

За тысячу лет, которую мы называем эпохой средневековья, в математике не произошло существенных переворотов, хотя математические и  логические истины были постоянным объектом различных схоластических спекуляций. Философия математики также стояла на мертвой точке: она не вышла  за рамки пифагореизма в его платонической  и неоплатонической интерпретации. Только в XIV-XV вв. В Европе началось возрождение творческого математического мышления в арифметике, алгебре и геометрии. Следующие два столетия ознаменовались появлением и развитием совершенно новых математических идей, которые мы относим сегодня к дифференциальному и интегральному исчислению. Новые идеи возникли всвязи с потребностями науки, в особенности механики и это обстоятельство предопределило появление принципиально новой философии математики. Математика стала рассматриваться не как врожденное и абсолютное знание, а скорее как знание вторичное, опытное, зависящее в своей структуре от некоторых внешних реальностей. Эта философская установка проепределила в свою очередь конкретное методологическое мышление, ярко проявившееся в сфере обоснования дифференциального и интегрального исчислений.

Основным понятием теории математика и философа Лейбница было понятие дифференциала, или  бесконечно малого приращения функции. Пусть мы имеем функцию y=f(x). Если мы увеличим ее аргумент (x) на некоторую величину h, то получим приращение функции dy=f(x+h)-f(x). Для Лейбница  dy не равно  0, но вместе с тем эта величина столь мала, что, умножив ее на любое конечное число, мы не получим конечной величины. В основном своем определении Лейбниц проводил чуждую математике и вообще здравому смыслу идею неархимедовой величины.

Противоречивость  алгоритмов дифференциального исчисления, несогласие их с представлениями  о математической строгости, бало очевидным  для большинства математиков XVIII в. Между тем само это исчисление находило все новые приложения в механике и астрономии, превращаясь в центральную и наиболее продуктивную часть математического знания. Проблема обоснования дифференциального исчисления становилась все более актуальной, перерастая в некоторую проблему века, вызвавшую, по словам Маркса, отклик даже в мире неспециалистов.

Движение математического  анализа в XVIII в. к обоснованию, кажется, можно полностью описать в системе «теория-приложение», те есть как диалектическое взаимодействие этих двух моментов. Необходимость вычисления площадей, ограниченных произвольными кривыми и.т.д. привело к открытию алгоритмов дифференциального исчисления. Приложение этих алгоритмов к новым задачам заставило обобщить и уточнить исходные понятия и сделать более строгими сами алгоритмы. В конечном итоге анализ сформировался как логически непротиворечивая, относительно замкнутая и полная понятийная система.

1.3.  Неевклидовы геометрии и развитие философии математики в XIX в.

Философские дискуссии  в математике XIX в. Были связаны в основном с развитием геометрии, а именно с истолкованием неевклидовых геометрий. В области математического анализа также возникли принципиальные трудности, но они казались легко устранимыми и некоторые из них, действительно, были устранены. Неевклидовы геометрии были фактом совсем другого рода. Вопрос о природе математического знания возник всвязи с ними снова и не менее остро чем в предыдущем столетии, в связи с обоснованием исчисления бесконечно малых.

11 февраля 1826 г. Профессор Казанского университета  Н.И. Лобачевский представил ученому  совету физико-математического факультета  доклад с изложением основ  геометрии. Главная идея его  состояла в том, что аксиома  Евклида о параллельных прямых  независима от других аксиом  евклидовой геометрии (невыводима  из них) и, следовательно, возможно  построить другую геометрию, столь  же непротиворечивую, как и евклидова,  если в евклидовой геометрии  заменить аксиому о параллельных  на противоположное утверждение.  В последующие годы Лобачевский  всесторонне разработал теорию  новой геометрии и указал ряд  ее приложений в области математического  анализа.