Екінші ретті жай дифференциалдық теңдеулерді шешу

ҚР ДЕНСАУЛЫҚ  САҚТАУ МИНИСТРЛІГІ С.Д.АСФЕНДИЯРОВ  АТЫНДАҒЫ ҚАЗАҚ ҰЛТТЫҚ МЕДИЦИНА УНИВЕРСИТЕТІ

МИНИСТЕРСТВО  ЗДРАВООХРАНЕНИЯ РК КАЗАХСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ МЕДИЦИНСКИЙ  УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ  С.Д.АСФЕНДИЯРОВА

 

 

 

 

 

 

 

   

 

СӨЖ

 

 

 

 

 

Екінші және жоғары ретті дифференциалдық теңдеулер                             

 

 

 

 

                                                Тексерген: Рысхан.А.Р

                                                      Орындаған:Жұмабек Ә.Ж.

                                            Группа:ФА-11-003-01

 

 

 

 

 

 

 

 

                  Алматы-2011г.

 

 

 

Жоспары:

 

 

1. Дифференциалдық теңдеулер. Негізгі ұғымдар.
2. Коши есебі.
3. Тұрақты коэффициентті сызықтық біртекті екінші ретті дифференциалдық теңдеулер.
4. Тұрақты коэффициентті екінші ретті сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеулер.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дифференциалдық теңдеулер.

Негізгі ұғымдар.

Анықтама: аргумент x-ті, ізделетін функция у-ті және оның туындыларын байланыстыратын теңдеулерді дифференциалдық теңдеулер деп атайды.

 

Анықтама: ізделетін у функцияның туындыларының ең үлкен реті сол теңдеудің реті деп аталады.

 

n-ші ретті дифференциалдық  теңдеу жалпы түрде былай жазылады:

 

(1)

 

ал бірінші ретті дифференциалдық  теңдеу жалпы түрде былай жазылады:

 

  (2)

 

Мұндағы у=у(х) – ізделетін функция, х – аргумент, функцияның туындысы, ал F – берілген функция.

 

 Анықтама: (3) түрінде берілген теңдеулер арқылы айқындалған теңдеулер деп аталады.

 

Анықтама: аргумент х-тен және еркін С тұрақтыдан тәуелді

 

y=φ(x;c) (4)

 

функциясы өзінің туындысымен  бірге (3) теңдеуіне қойғанда теңдеу теңбе-теңдікке айналатын болса, онда осы функцияны (3) теңдеуінің жалпы шешімі деп атайды.

 

Егер (4) теңдеуінде С тұрақтының мәні белгілі болса, онда ол (3) теңдеуінің дербес шешімі деп аталады.

Жалпы шешім айқындалмаған

 

Ф(х,у,с)=0

 

түрінде табылуы мүмкін. Мұны теңдеудің жалпы интегралы деп атайды.

 

 

 

Мысал: функциясы теңдеуінің шешімі болады ма?

Δ Бұны анықтау үшін берілген функциямен бірге, оның туындысын теңдеуге қояйық:

 

х-х=0

0=0

 

Берілген теңдеу теңбе-теңдікке айналды, сондықтан, функциясы теңдеуінің шешімі болады.

 

Анықтама: y=φ(x) теңдеуімен берілген кез келген қисық (3) теңдеуінің интегралдық қисығы деп аталады. Мұндағы φ(x) - (3) теңдеуінің шешімі.

 

 

 

 

 

Коши есебі.

 

Анықтама: (3) теңдеуінің бастапқы шартын қанағаттандыратын шешімін табу мәселесін Коши есебі деп атайды.

 

Коши теоремасы: егер (3) теңдеудегі f (x;y) және оның дербес туындысы жабық D аймағында үзіліссіз болса және (x0 , y0) D болса, онда осы аймақта (3) теңдеудің жалғыз шешімі бар болады.

Коши теоремасымен анықталмайтын  шешімдерді ерекше деп атайды.

Коши теоремасының геометриялық мағынасы: М(x0, y0) нүктесінен өтетін интегралдық қисық тек біреу ғана болады.

 

 

 

 

Тұрақты коэффициентті  сызықтық біртекті екінші ретті дифференциалдық  теңдеулер.

 

   Анықтама: тұрақты коэффициентті екінші ретті дифференциалдық теңдеу деп   (1) теңдеуін атайды.

   Егер p(x) және q(x) –  тұрақты, ал f(x)=0 болса, онда екінші  ретті сызықтық теңдеу тұрақты коэффициентті біртекті теңдеу деп аталады.

   Сонымен, тұрақты  коэффициентті сызықтық біртекті  екінші ретті дифференциалдық  теңдеу    (2) түрінде жазылады.

 

  Теорема: Егер және (2) теңдеудің дербес шешімі болса, және қатынасы тұрақты болмаса, онда функциясы (2) теңдеудің жалпы шешімі болады. Мұнда және - еркін тұрақтылар.

(2) теңдеудің шешімін  (k-тұрақты) түрінде іздейміз.

 болғандықтан (2) теңдеудің сол  жағында  орындарына осы мәндерді қойып

 

 

теңдеуіне келеміз.

 көбейткішіне қысқартамыз: 

 

   (3)

 

(3) теңдеу сызықтық біртекті  теңдеудің характеристикалық теңдеуі деп аталады.

Харакеристикалық теңдеуді шығарғанда келесі жағдайлар болуы  мүмкін:

 

 

 

 

 

№	Теңдеудің түбірлері	Дербес шешімдері	Жалпы шешімі
1	Әртүрлі нақты сандар:
2	Өзара тең нақты сандар:
3	Комплекс сандар

 

 

 

 

 

 

 

 

  Мысал:  теңдеуінің жалпы шешімін табу керек.

Δ   теңдеудің характеристикалық теңдеуінің түбірлерін табайық:

 

 

Характеристикалық теңдеудің  түбірлері әр түрлі және нақты. Сондықтан  - дербес шешімдер, ал - берілген теңдеудің жалпы шешімі болады.

 

Мысал: теңдеуінің y(0)=4, шарттарын қанағаттандыратын дербес шешімін табу керек.

 

Δ  характеристикалық теңдеуінің нақты өз ара тең түбірлері бар. Сондықтан - берілген дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі.

 

Дербес шешімін табу үшін ті тауып алайық:

 

 

Енді бастапқы шарттарды  у және -тің орындарына қояйық:

   немесе 

осыдан 

 

 

Тапқан мәндерді жалпы  шешімге қойып, дербес шешімді табамыз:

 

 

 

 

 

 

Мысал: теңдеуінің жалпы шешімін табу керек.

Δ   характеристикалық теңдеудің түбірлерін табайық:

 

 

 
Теңдеудің түбірлері – комплекс сандар, сондықтан  берілген дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі.

 

 

 

 

Жаттығулар.

 

№1. Келесі дифференциалдық  теңдеулердің жалпы шешіміндерін табыңдар.

1.                        6.
2.       7.
3.                        8.
4.                             9.
5.     

 

      

№2. Келесі дифференциалдық  теңдеулердің дербес шешімдерін табыңдар:

1.    y(1)=e, 
2.   y(0)=1, 
3.     y(0)=3, 
4.   y(0)=0, 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Жауаптары:

№1.

1.     4.                 7.
2.     5.          8.
3.    6.     9.

№2.

1.

2.

3.

4.

 

 

 

 

 

 

Тұрақты коэффициентті  екінші ретті сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеулер.

 

    Анықтама: Тұрақты коэффициентті екінші ретті сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеу деп

  (1)

 

түрінде берілген теңдеуді атайды.

   Бұл теңдеудің  жалпы шешімі    түрінде ізделеді.

   Мұнда  (1) теңдеудің характеристикалық

 

 

теңдеудің жалпы шешімі, ал біртекті емес теңдеудің дербес шешімі.

Қарапайым жағдайларда, (1) теңдеіндегі f(x) функциясы полином немесе көрсеткіштік функция болса, дербес шешім анықталмаған коэффициенттер әдісі арқылы ізделінеді.

 

1. Егер  (a,m-тұрақтылар) болса, онда дербес шешімдер келесі түрде ізделінеді:

 

а) m- характеристикалық теңдеудің бірі емес. Бұл жағдайда дербес шешім     түрінде ізделеді.

 

 

 

 

 

    Мысалы: теңдеуінің жалпы шешімін табу керек.

Δ  Алдынала біртекті теңдеуінің жалпы шешімін тауып аламыз.

                                     

                     

 

 

 

Енді берілген теңдеудің  дербес шешімін табамыз. Мұнда    (яғни a=6, m=2) және m=2 – характеристикалық теңдеудің түбірі болмағандықтан дербес шешімді

түрінде іздейміз.

Осы функцияның туындыларын  тауып берілген теңдеуге қойсақ

теңдеуіне келеміз. Осыдан   A=3. Онда  дербес шешім 

функциясы болады.

Сонымен, берілген теңдеудің  жалпы шешімін табамыз:

 

 

б) m- характеристикалық теңдеудің  қарапайым немесе еселі түбірі. Бұл       жағдайда дербес шешім сәйкесінше 

                                                    

   немесе        түрінде ізделеді.

 

  Мысалы: теңдеудің жалпы шешімін табу керек.

Δ   біртекті теңдеуінің жалпы шешімі

 

     болады.

 

 

 

 

Мұнда және   характеристикалық теңдеудің еселі түбірі, сондықтан дербес шешімді    түрінде іздейміз.

Осы функцияның туындыларын  берілген теңдеуге қойып, А-ны табамыз.

 

 

 

Сонымен, берілген теңдеудің  шешімі болады.

 

2. Егер f(x)=a cosmx+b sinmx (a, b, m-тұрақтылар) болса, онда дербес шешімдер келесі түрде ізделеді.

a) болса, онда дербес шешімі    болады.

 

    Мысалы: теңдеуінің жалпы шешімін табу керек.

Δ    біртекті теңдеудің шешімі      болады.

Берілген теңдеудің оң жағында  түріндегі полином a=3, b=2, m=2.

 

 болғандықтан дербес шешім 

 

түрінде ізделеді.

 

 немесе 

 

Осыдан    ,  яғни  

Сонымен,  дербес шешім  формуласымен анықталады.

Берілген теңдеудің жалпы  шешімі   болады.

 

б)   болса, онда дербес шешім

Мысалы:    

Δ біртекті теңдеудің жалпы шешімі 

 

    болады.

 

 шарты орындалғандықтан дербес  шешімді  

 

   

 

түрінде іздейміз.

 

 

Осыдан -8A=0, 8B=24 , яғни    А=0, В=3