Джелорамо Кардано

Джерола́мо Карда́но

Научная деятельность.

Кардано внёс значительный вклад в развитие алгебры: его имя носит формула Кардано для нахождения корней кубического неполного уравнения вида x³ + ax + b = 0. Он же первым в Европе стал использовать отрицательные корни уравнений. В действительности Кардано не открывал этот алгоритм и даже не пытался приписать его себе. В своём трактате «Высокое искусство» («Ars magna») он признаётся, что узнал формулу от Никколо Тартальи, пообещав сохранить его в тайне, однако обещание не сдержал и спустя 6 лет (1545) опубликовал упомянутый трактат. Из него учёный мир и узнал о замечательном открытии. Кардано также включил в свою книгу ещё одно открытие, сделанное его учеником Лодовико (Луиджи) Феррари: общее решение уравнения четвёртой степени. Кардано также обнаружил, что кубическое уравнение может иметь три вещественных корня (этот факт остался незамеченным даже в трудах Омара Хайяма), причём сумма этих корней всегда равна коэффициенту при x² (одна из формул Виета).

 

Формула Кардано  

Если воспользоваться  современным математическим языком и современной символикой, то вывод  формулы Кардано может быть найден с помощью следующих в высшей степени элементарных соображений: 
Пусть нам дано общее уравнение 3-й степени:

. (1)

Если положить , то мы приведем уравнение (1) к виду

, (2)

где , . 
Введем новое неизвестное с помощью равенства . 
Внося это выражение в (2), получим

. (3)

Отсюда

,

следовательно,

.

Если числитель  и знаменатель второго слагаемого умножить на выражение  и учесть, получающееся в результате выражение для оказывается симметричным относительно знаков « » и « », то окончательно получим

.

(Произведение кубических  радикалов в последнем равенстве  должно равняться  ). 
Это и есть знаменитая формула Кардано. Если перейти от вновь к , то получим формулу, определяющую корень общего уравнения 3-й степени. 
Молодой человек, так безжалостно обошедшийся с Тарталья, разбирался в математике столь же легко, как и в правах неприхотливой тайны. Феррари находит способ решения уравнения 4-й степени. Кардано поместил этот способ в свою книгу. Что же представляет собой этот способ? 
Пусть

— (1)

— общее уравнение 4-й степени. 
Если положить , то уравнение (1) можно привести к виду

, (2)

где , , — некоторые коэффициенты, зависящие от , , , , . Легко видеть, что это уравнение можно записать в таком виде:

. (3)

В самом деле, достаточно раскрыть скобки, тогда все члены, содержащие , взаимно уничтожается, и мы возвратимся к уравнению (2). 
Выберем параметр так, чтобы правая часть уравнения (3) была полным квадратом относительно . Как известно, необходимым и достаточным условием этого является обращение в нуль дискриминанта из коэффициентов трехчлена (относительно ), стоящего справа:

. (4)

Получили полное кубическое уравнение, которое мы уже можем  решить. Найдем какой либо его корень и внесем его в уравнение (3), теперь примет вид

.

Отсюда

.

Это квадратное уравнение. Решая его, можно найти корень уравнения (2), а, следовательно, и (1). 
За 4 месяца до смерти Кардано закончил свою автобиографию, которою он напряженно писал весь последний год и которая должна была подвести итог его сложной жизни. Он чувствовал приближение смерти. По некоторым сведениям его собственный гороскоп связывал его кончину с 75-летием. Он умер 21сентября 1576 г. за 2 дня до годовщины. Имеется версия, что он покончил с собой в ожидании неминуемой смерти или даже чтобы подтвердить гороскоп. В любом случае Кардано — астролог относился к гороскопу серьезно. 

Замечание о формуле Кардано

Проанализируем формулу  для решения уравнения  в вещественной области. Итак,

.

При вычислении нам приходится извлекать в начале квадратный корень, а затем кубический. Мы сможем извлечь квадратный корень, оставаясь в вещественной области, если . Два значения квадратного корня, отличающихся знаком, фигурируют в разных слагаемых для . Значения кубического корня в вещественной области единственно и получается единственный вещественный корень при . Исследуя график кубического трехчлена , нетрудно убедиться, что он, в самом деле, имеет единственный вещественный корень при . При имеется три вещественных корня. При имеется двукратный вещественный корень и однократный, а при — трехкратный корень . 
Продолжим исследование формулы при . Оказывается, что если при этом уравнение с целыми коэффициентами имеет целочисленный корень, при вычислении его по формуле могут возникнуть промежуточные иррациональности. Например, уравнение имеет единственный корень (вещественный) — . Формула Кардано дает для этого единственного вещественного корня выражение

.

Значит,

.

Но фактически любое  доказательство предполагает использование  того, что это выражение является корнем уравнения  . Если же не угадать того, при преобразовании будут возникать неистребимые кубические радикалы. 
О проблеме Кардано-Тартальи вскоре забыли. Формулу для решения кубического уравнения связали с «Великим искусством» и постепенно стали называть формулой Кардано. 
У многих возникало желание восстановить истинную картину событий в ситуации, когда их участники, несомненно, не говорили всей правды. Для многих было важно установить степень вины Кардано. К концу XIX века часть дискуссий стала носить характер серьезных историко-математических исследований. Математики поняли, какую большую роль в конце XVI века сыграли работы Кардано. Стало ясно то, что еще раньше отмечал Лейбниц: «Кардано был великим человеком при всех его недостатках; без них он был бы совершенством».

Это был линейный способ вычисления формулы Кардано,рассмотрим матричный:

Матричный метод.

Тут дается новый  вывод правила Кардано для  решения кубических уравнений;

его можно назвать «матричным выводом» ,поскольку он опирается на свойства циркулянта (третьего порядка)

Пусть дано любое  кубическое уравнение

        .                                    (1)

Если  - его корень, то , поэтому

     , т.е.

есть корень уравнения, получающегося из (1) делением всех коэффициентов  т правой

части на , и

обратно. Поэтому (1) эквивалентно уравнению.

     .                                        (2)

Таким образом, можно  сказать, что решение любого кубического  уравнения

сводится к решению  кубического уравнения со старшим  коэффициентом, равным 1,

т.е. уравнения вида

     ,                                           (3)

которое получается из (2) после переобозначения коэффициентов; такое

уравнение называется унитарным. Если к уравнению (3) применить  подстановку

     ,                                                        (4)

получим:

    

    

    

    

    

    

     , т.е.

     ,

                                                                             (5)

где и

определяются по заданным коэффициентам 

уравнения (3). Уравнение (5) эквивалентно уравнению (3), поэтому  достаточно

научиться решать уравнения  типа (5). В силу этого, обозначив через 

неизвестное, мы видим, что решение любого кубического  уравнения вида

     ,                                             (6)

называется приведенным  или (неполным) кубическим уравнением. Покажем теперь,

как можно найти  все корни уравнения (6). Для этого  заметим, что в силу

тождества (1) §2, полученного  с использованием циркулянта третьего порядка

имеет место тождество

                                                                          

     (7)

где - любые числа,

- один из корней  третьей степени из единицы,  так что 

(проверка тождества  опирается на равенство 

). Попробуем теперь  отождествить наше уравнение  (6) с уравнением

     ,                                                 (8)

т.е. положим

    

где и пока неизвестны. Чтобы вычислить их, имеем систему

    

которая показывает (в силу теоремы Виета), что 

и являются корнями

квадратного уравнения

    

т.е.

       

и поэтому

                                          (9)

Таким образом, уравнение (6) эквивалентно уравнению (8), в котором 

и определяются по

формулам (9). В свою очередь, уравнение (8) в силу (7) равносильно  уравнению

    

и теперь получаем:

                          (10)

где и

определяются по (9). При этом надо иметь ввиду, что  кубические корни из (9)

имеют по три значения и их необходимо комбинировать с  учетом равенства 

; если одна пара  значений 

и выбрана указанным

образом, то все три  корня определяются по формулам (10). Сказанное можно

представить и по другому; можно сказать, что значения неизвестного

определяются из равенства

    

т.е.

                             (11)

причем остается в силе сказанное относительно комбинаций значений этих

кубических радикалов.