Двоиные интегралы и дифференциальные уравнения второго порядка

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА «ДВОИНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ  И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО  ПОРЯДКА»

 
Вариант-8 

1. Вычислить интегралы:
1. где D – прямоугольник

Выразим двойной интеграл через повторный. Сначала проинтегрируем по x, затем по y.

         1.2 где D – область, ограниченная линиями  

Область интегрирования представлена на рисунке

Рассматривая  ее как область, элементарную, относительно оси Ox, двойной интеграл можно преобразовать в повторный и вычислить следующим образом:

2. Найти общее решение  уравнений:

Характеристическое  уравнение имеет вид

Тогда общее  решение имеет вид

Общее решение  соответствующего уравнения имеет  вид

Найдем 

В правой части  заданного уравнения стоит произведения многочлена первой степени на показательную  функцию  при .

Тогда решение  данного уравнения найдем в виде

Подставляя в  исходное уравнение, получаем

Тогда общее  решение имеет вид