Дифференциальные уравнения Дарбу и Якоби

 

Курсовая работа

Дифференциальные  уравнения Дарбу и Якоби

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Оглавление

 

Введение 3

Глава 1. Уравнение Дарбу 5

Глава 2. Уравнение Якоби 7

Глава 3. Примеры 12

Пример 1. 12

Пример 2. 12

Пример 3. 13

Пример 4. 15

Заключение 17

ЛИТЕРАТУРА 18

 

 

 

 

 

Введение

Устанавливая существование  решения, удовлетворяющего тем или  иным дополнительным условиям, либо обладающим теми или иными свойствами, общая  теория обыкновенных дифференциальных уравнений даёт во многих случаях  и общие методы построения решений, причём в результате применения этих методов иногда удаётся выделить новые типы уравнений, интегрируемые  и в элементарных функциях или  квадратурах.

Данная работа посвящена изучению таких дифференциальных уравнений, как уравнения Дарбу и Якоби.

Выбранная тема имеет теоретическое и практическое значение, так как к дифференциальным уравнениям приводят многие задачи из механики, физики, астрономии и других естественных наук, а также многие проблемы техники.

Целью работы является введение понятий  дифференциальных уравнений Дарбу и Якоби, методики их интегрирования.

В первой главе дано определение  уравнения Дарбу, показывается, что его можно свести к уравнению Бернулли. Также в данной главе рассматривается метод для нахождения общего интеграла уравнения Дарбу.

Во  второй главе  дано определение уравнения Якоби как одного из видов дифференциальных уравнений. Рассмотрены частные случаи, в которых уравнение Якоби вырождается в одно из уравнений (уравнение Дарбу, линейное уравнение, простейшее уравнение, приводящееся к однородному или к уравнению с разделяющимися переменными) и методика интегрирования данного дифференциального уравнения.

В заключительной третьей главе  приведены примеры дифференциальных уравнений Дарбу и Якоби.

Для написания данной работы была использована следующая литература: Н.М. Матвеев “Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений” и “Сборник задач по дифференциальным уравнениям”           А.Ф. Филиппова.

 

Глава 1. Уравнение Дарбу

Рассмотрим уравнение  вида

, (1)

где M и N− однородные функции степени m, а P− однородная функция степени l. Уравнение такого вида называется уравнением Дарбу. Если l=m-1, то уравнение Дарбу будет, очевидно, однородным уравнением.

Покажем, что уравнение  Дарбу приводится к уравнению  Бернулли.

Для этого сделаем подстановку:

,    (2)

где z− новая неизвестная функция. Имеем:

,  . (3)

Поэтому, переписав уравнение (1) в виде

 

и выполняя подстановку (2), получим:

.

Сократим на (при этом, быть может, теряем решение , если m>0 и ) и соберём члены при и :

(x=0?)

Деля обе части этого  уравнения на и на (тем самым принимаем z за независимую переменную) получаем:

(4)

Это− уравнение Бернулли с искомой функцией x от независимой переменной z. Интегрируя уравнение (4) и возвращаясь к переменной y, найдём общий интеграл уравнения Дарбу. Прямые вида , где a− корень уравнения , могут быть особыми решениями.

 

Глава 2. Уравнение Якоби

Некоторым обобщением одного частного случая уравнения Дарбу  является уравнение Якоби

. (1)

Не умаляя общности, можно  считать, что a=0, ибо если a≠0, то,разместив произведение по другим слагаемым, мы получим опять уравнение Якоби, в котором a=0. Свободный член a введён в (1) только для симметрии выкладок. С этой же целью скобка при dy взята со знаком минус. Покажем, что уравнение Якоби всегда интегрируется в квадратурах.

Отметим сначала частные  случаи, в которых уравнение Якоби  вырождается в одно из уравнений:

1. – уравнение Дарбу;
2. – линейное уравнение;
3. – простейшее уравнение, приводящееся к однородному (или к уравнению с разделяющимися переменными).

Рассмотрим общий случай. Введём вместо переменных x и y новые переменные ξ и η, положив:

               ,              (2)

Имеем:

                (3)

где

                               (4)

Далее:

              ,  ,          (5)

  (6)

Выполняя теперь подстановку (2), получим:

 

      (7)

Разместив второе слагаемое  левой части по двум последним, будем  иметь:

 

    (8)

Выберем α и β такими, чтобы

                       (9)

При таком выборе α и  β полученное уравнение будет  уравнением Дарбу (так как от коэффициента A можно освободиться указанным выше приёмом).

Система (9) есть система двух уравнений второй степени с неизвестными α и β. Приведём задачу решения  этой системы к решению одного уравнения третьей степени и  двух уравнений первой степени. Введём для этого параметр λ, полагая  A=λ, тогда получим систему

                                   (10)

которую, заменив A, B и C их значениями согласно (4), можно переписать так:

 

или

             (11)

Полученная система содержит три неизвестных α, β, и λ. Для  решения её поступим следующим образом.

Так как систему (11) можно  переписать в виде

                (12)

то условие разрешимости её сводится к тому, чтобы система

               (13)

имела решение, в котором  γ≠0. Но тогда определитель системы (13) должен равняться нулю:

                                  =0   (14)

Таким образом, мы получим для определения λ уравнение третьей степени.

Пусть корни этого уравнения  будут λ₁, λ₂, λ₃ (среди них могут быть и равные). Взяв один из этих корней и подставив в систему (11), найдём α и β, если только в решении системы (13) γ≠0, что, вообще говоря, не исключено, ибо из условия (14) вытекает лишь наличие ненулевого решения системы (13), однако при этом совершенно не обязательно, чтобы именно γ была отлична от нуля.

Предположим, что система (13) имеет решение, в котором  γ≠0. Тогда определив α и β из системы (11) и подставив их в формулы (2), получим подстановку, приводящую уравнение Якоби к уравнению  Дарбу.

Случай γ=0. В случае, когда система (13) имеет решение, в котором γ=0, мы получаем систему трёх уравнений с двумя неизвестными α и β:

                     (15)

Так как эта система  должна допускать решение, то каждое из её уравнений является следствием одного из остальных. Будем предполагать, что хоть одно из чисел a₁ и a₂ отлично от нуля (в противном случае мы бы имели частный случай 3), т.е. что первое из уравнений системы (15) не является тождеством. Пусть второе и третье уравнения системы (15) суть следствия первого, т.е. справедливы соотношения:

         (16)

где k₁ и k₂ некоторые постоянные.

Предположим, что a₂≠0, и введём новую неизвестную функцию z, полагая

                                (17)

Вычтем в уравнении (1) число  λ из коэффициента при xdy – ydx и, чтобы ничего не изменилось, разместим по другим слагаемым  произведение         λ(xdy – ydx). Имеем:

 

 

                +                     (18)

Принимая во внимание выражение  новой функции, получаем:

,        ,

 

Поэтому, выполняя подстановку (17) и принимая во внимание соотношение (16), имеем:

 

                        (19)

или

 

                     .            (20)

Получили линейное уравнение  относительно x.

Если  (но ), то уравнение (18) принимает, согласно (16), следующий вид:

 

                         (21)

и является линейным относительно y.

 

Глава 3. Примеры

 Уравнение Дарбу

Пример 1. Рассмотрим уравнение

 

Полагая y=zx, имеем:

 

или, деля на x,

(x=0?).

Отсюда

 

Это− уравнение Бернулли. Интегрируя его, найдём:

 

Возвратившись к переменной y, получим:

 

Пример 2. Решить уравнение

 

Приведём к виду уравнения  Дарбу

 

Полагая y=zx, имеем:

 

Разделим на

   (x=0?).

Отсюда

 

Интегрируя данное уравнение, получим:

 

Вернёмся к переменной y:

 

 

Уравнения Якоби

Пример 3. Дано уравнение

(*)

Перепишем это уравнение  в виде

 

Получим:

 

Составим уравнение для λ:

 

или     

Это уравнение имеет корни:  λ₁=0,  λ₂=1,  λ₃=2.

Возьмём корень λ₁=0 и составим систему для нахождения α и β:

 

Решая эту систему, находим  α=-1,  β=0, так что подстановка 

,  имеет вид:

,   .   (**)

Выполняя в уравнении (*) подстановку (**), имеем

 

или

(***)

Полагая в полученном уравнении  Дарбу , имеем:

 ,    du.

Поэтому уравнение (***) приведётся к уравнению Бернулли с искомой функцией ξ:

,  (1+u=0?).

Деля обе части уравнения  на и полагая , придём к линейному уравнению

 

Интегрируя это уравнение, найдём

 

Возвращаясь к переменным x и y по формулам

,  

получим общий интеграл уравнения (*) в виде

 

Особых решений нет.

Пример 4. Проинтегрировать уравнение

, (****)

где      m = const ≠ 0.

Уравнение для λ имеет вид

 

или      ,

откуда     λ₁=λ₂=λ₃=2.

Составим систему для  нахождения α и β:

 

Эта система несовместна. Имеем здесь случай γ=0.

Подстановка    имеет вид: .

Выполняя её, приведём уравнение  Якоби (*) к линейному относительно x:

 

откуда

   или      .

Общим интегралом уравнения (****) будет

 

Особых решений нет. 

Заключение

Цель данной работы достигнута. Введены  понятия дифференциальных уравнений  Дарбу и Якоби. Рассмотрены методы  интегрирования этих уравнений, частные случаи, приведены примеры.

Несмотря  на большое количество результатов, полученных в общей теории дифференциальных уравнений, элементарные методы интегрирования по-прежнему остаются важными методами интегрирования.

Дифференциальные уравнения, представляющие сами по себе большой теоретический и практический интерес, являются фундаментом для многих других разделов высшей математики, например для уравнений с частными производными, уравнений математической физики, вариационного исчисления, а также – базой для глубокого изучения механики, физики и других естественных наук.

В настоящее время теория дифференциальных уравнений является одной из важнейших математических дисциплин и основным аппаратом математического естествознания.

 

 

ЛИТЕРАТУРА

1. Матвеев, Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений / Н.М. Матвеев. – Москва : Высшая школа, 1963. – 548 с.
2. Филиппов, А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям / А.Ф. Филиппов. – Москва : Наука, 1973. – 128 с.
3. Матвеев, Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений / Н.М. Матвеев. – Санкт-Петербург : Лань, 2003. – 832 с.